1. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(3,3)$,点 B 的坐标为$(3,-3)$,则线段 AB 的位置特征为（）

A.与 x 轴平行
B.与 y 轴平行
C.在第一、三象限的角平分线上
D.在第二、四象限的角平分线上

1. B 解析:
∵ 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(3,-3),
∴ 点A与点B的横坐标相同,
∴ 线段AB与y轴平行.故选B.

2. (2025·许昌校级月考)若点 $M(x,y)$ 的坐标满足 $x^{2}-y^{2}=0$, 则点 $M$ 的位置是 （）

A.在坐标轴上
B.在第一、三象限的角平分线上
C.在坐标轴夹角的平分线上
D.在第二、四象限的角平分线上

2. C 解析:
∵ $x^{2}-y^{2}=0$,
∴ $x^{2}=y^{2}$,
∴ $( \pm x)^{2}=( \pm y)^{2}$,
∴ 点M在坐标轴夹角的平分线上.故选C.

3. (1)在平面直角坐标系中,点$A(1,5),B(m-$$2,m+1)$,若直线$AB$与$y$轴垂直,则$m$的值为;
(2)(2025·日照校级月考)在平面直角坐标系中,已知点$A(-5,2)$,点$B$到$y$轴的距离为3,若线段$AB$与$x$轴平行,则线段$AB$的长为.

3. (1)4 解析:
∵ 点$A(1,5)$,$B(m-2,m+1)$,且直线AB与y轴垂直,
∴ $m+1=5$,解得$m=4$.
(2)2或8 解析:
∵ 线段AB与x轴平行,且点$A(-5,2)$,
∴ 点B的纵坐标为2.
∵ 点B到y轴的距离为3,
∴ 点B的横坐标为3或-3,
∴ $B(3,2)$或$(-3,2)$,
∴ $AB=2$或8.

4. 设计院按实际情况建构平面直角坐标系,并标注A,B,C三镇的坐标,如图所示(单位:km),有一条笔直的河流经过A,B两镇,现计划修建一条从C镇到河流的最短公路l,并在l上建一个通讯站D,使D到B,C两镇的距离相等,则D的坐标为.

4. $(-1,-7)$ 解析:如图,连接AC,BC,$\because C(-1,-17)$,$A(-1,-1)$,$B(7,-1)$,$\therefore CA ⊥ AB$,$AC=-1-(-17)=16(\mathrm{km})$,$AB=7-(-1)=8(\mathrm{km})$,
∴ 直线AC即为直线l,作直线DE垂直平分BC,直线DE交直线l于点D,交BC于点E,则D到B,C的距离相等.连接BD,设$CD=DB=x\ \mathrm{km}$,$\because AC=16\ \mathrm{km}$,$\therefore AD=AC-CD=(16-x)\ \mathrm{km}$.$\because AB=8\ \mathrm{km}$,$CA ⊥ AB$,$\therefore AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$,即$8^{2}+(16-x)^{2}=x^{2}$,解得$x=10$,即$CD=10\ \mathrm{km}$,
∴ 点D的纵坐标为$-17+10=-7$,$\therefore D(-1,-7)$.

5. 在平面直角坐标系中,点 $B(x,y)$ 在第二象限,且满足 $|x|+|y|=3$.
(1) 当 $x=-1$ 时,求 $y$ 的值;
(2) 求满足条件的所有 $B$ 点与坐标轴围成的图形面积.

5. (1)
∵ 点$B(x,y)$在第二象限,$\therefore x＜0$,$y＞0$.$\because |x|+|y|=3$,$\therefore y-x=3$.当$x=-1$时,$y=2$.
(2)可得所有点B与坐标轴围成的图形为如图所示的$△ OBB'$,其面积为$\dfrac{1}{2} × 3 × 3=\dfrac{9}{2}$.

6. 新题型 新定义 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,定义点 A 和点 B 的关联值$[A,B]$如下:若 O,A,B 在一条直线上,$[A,B]=0$;若 O,A,B 不在一条直线上,$[A,B]=S_{△ OAB}.$
已知点 A 坐标为$(4,0)$,点 B 坐标为$(0,4)$,回答下列问题:
(1)$[A,B]=$;
(2)若$[P,A]=0,[P,B]=1$,则点 P 坐标为;
(3)若点 A 和点 B 满足$[P,A]=[P,B]$,请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点 P形成的路径图形.

6. (1)8 解析:
∵ 点A坐标为$(4,0)$,点B坐标为$(0,4)$,$\therefore [A,B]=S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2} × 4 × 4=8$.
(2)$(\dfrac{1}{2},0)$或$(-\dfrac{1}{2},0)$ 解析:
∵ $[P,A]=0$,
∴ 点P在x轴上.$\because [P,B]=1$,$\therefore S_{△ POB}=1$.设$P(t,0)$,$\therefore \dfrac{1}{2}|t| × 4=1$,解得$t= \pm \dfrac{1}{2}$,
∴ 点P坐标为$(\dfrac{1}{2},0)$或$(-\dfrac{1}{2},0)$.
(3)设点P坐标为$(x,y)$,则$[P,A]=2|y|$,$[P,B]=2|x|$,$\therefore |x|=|y|$,$\therefore y=x$或$y=-x$,即为第一、三象限和第二、四象限的角平分线.画图如图.