1. (2026·三门峡期中)如图,D,$E,F$分别是边$BC,AD,AC$的中点,若阴影部分的面积为9,则$△ ABC$的面积是.

24 解析: $\because D, E, F$ 分别是边 $B C, A D, A C$ 的中点, $\therefore S_{△ B D E}=$
$\frac{1}{2} S_{△ A B D}, S_{△ A C D}=S_{△ A B D}=\frac{1}{2} S_{△ A B C}, S_{△ D E F}=\frac{1}{2} S_{△ A D F}, S_{△ A D F}=$
$\frac{1}{2} S_{△ A C D}, \therefore S_{△ B D E}=\frac{1}{4} S_{△ A B C}, S_{△ D E F}=\frac{1}{2} S_{△ A D F}=\frac{1}{4} S_{△ A C D}=$
$\frac{1}{8} S_{△ A B C} . \because$ 阴影部分的面积为 $9, \therefore S_{△ B D E}+S_{△ D E F}=9$,
$\therefore \frac{1}{4} S_{△ A B C}+\frac{1}{8} S_{△ A B C}=9, \therefore S_{△ A B C}=24 .$

2. 操作与实践.
(1) 如图①,请你在 $△ ABC$ 中画一条线段,把$△ ABC$ 分成面积相等的两部分;
(2) 如图②,请你按照(1)的方法把四边形$ABCD$ 分成面积相等的两部分;
(3) 利用以上性质尝试在如图③所示的四边形$ABCD$ 中作一条线段,把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分.(无需写出画图步骤和理由)

答案合理即可, 如: (1) 如图(1), 取 $B C$ 的中点 $D, A D$ 为 $B C$ 边上的中线, 则 $B D=C D$, 根据等底同高的三角形面积相等,得 $S_{△ A B D}=S_{△ A C D}$.

(2) 如图(2), 连接 $A C$, 再取 $A C$ 的中点 $E$, 连接 $B E, D E$, 所以 $S_{△ A D E}=S_{△ C D E}, S_{△ A B E}=S_{△ B C E}$, 所以 $S_{△ A D E}+S_{△ A B E}=$ $S_{△ C D E}+S_{△ B C E}$, 所以 $S_{\mathrm{四边形 } A B E D}=S_{\mathrm{四边形 } B C D E}$.
(3) 如图(3), 连接 $A C, B D$, 取 $A C$ 的中点 $O$, 过点 $O$ 作 $O E / /$ $B D$ 交 $C D$ 于 $E$, 连接 $B E$, 线段 $B E$ 把四边形 $A B C D$ 分成面积相等的两部分.
解析: 连接 $O D$ 交 $B E$ 于 $F$, 连接 $O B, S_{△ D B E}=S_{△ B D O}$ (同底等高的三角形面积相等). 因为 $S_{△ D B E}=S_{△ B D F}+S_{△ D E F}, S_{△ B D O}=$ $S_{△ B D F}+S_{△ O B F}$, 所以 $S_{△ D E F}=S_{△ O B F}$. 因为点 $O$ 是 $A C$ 的中点, 由(2) 知, $S_{△ A D O}=S_{△ C D O}, S_{△ A B O}=S_{△ C B O}$, 所以 $S_{△ B C E}=S_{△ C B O}+$ $S_{△ O B F}+S_{△ C E O}+S_{△ O E F}=S_{△ C B O}+S_{△ D E F}+S_{△ C E O}+S_{△ O E F}=S_{△ C B O}+$ $S_{△ C D O}, S_{\mathrm{四边形 } A B E D}=S_{\mathrm{四边形 } A B F D}+S_{△ D E F}=S_{△ A B O}+S_{△ A D O}-S_{△ O B F}+$ $S_{△ D E F}=S_{△ A B O}+S_{△ A D O}=S_{△ C B O}+S_{△ C D O}$. 所以 $S_{△ B C E}=S_{\mathrm{四边形 } A B E D}$,即线段 $B E$ 把四边形 $A B C D$ 分成面积相等的两部分.

3. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$AC$上一点,$E$为$BC$上一点,$AD=\dfrac{2}{3}CD$,连接$BD$,$AE$交于点$F$.若$S_{△ ACE}=S_{△ BCD}$,$S_{△ ABC}=15$,则$△ ABE$的面积为.

6 解析: 因为 $A D=\frac{2}{3} C D$, 所以 $A D=\frac{2}{5} A C$. 因为 $S_{△ A B C}=15$,所以 $S_{△ A B D}=\frac{2}{5} S_{△ A B C}=\frac{2}{5} × 15=6$. 因为 $S_{△ A C E}=S_{△ B C D}$, 所以 $S_{△ A B E}=S_{△ A B D}=6$.

4. (2025·资阳期末) 如图，$△ ABC$ 中，分别延长边 $AB,BC,CA$，使得 $BD=AB,CE=2BC,AF=3CA$，若 $△ ABC$ 的面积为 2，则 $△ DEF$ 的面积为.

36 解析: 连接 $A E, C D$, 因为 $B D=A B$, 所以 $S_{△ A B C}=$ $S_{△ B C D}=2$, 则 $S_{△ A C D}=2+2=4$. 因为 $A F=3 A C$, 所以 $F C=4 A C$,所以 $S_{△ F C D}=4 S_{△ A C D}=4 × 4=16$. 同理可以求得 $S_{△ A C E}=$ $2 S_{△ A B C}=4$, 则 $S_{△ F C E}=4 S_{△ A C E}=4 × 4=16, S_{△ D C E}=2 S_{△ B C D}=$ $2 × 2=4$, 所以 $S_{△ D E F}=S_{△ F C D}+S_{△ F C E}+S_{△ D C E}=16+16+4=36$.

5.【基础知识】我们知道:如果两个三角形的高相同,那么它们的面积比等于对应底边的比.
如图①,点 M 是$△ ABC$的边 BC 上一点,则有$\dfrac{S_{△ ABM}}{S_{△ ACM}}=\dfrac{BM}{CM}$,根据以上知识回答以下问题:
(1)【知识应用】如图②,$△ ABC$的边 BC 上有一点 M,N 为 AM 上任意一点,猜想$\dfrac{S_{△ ABN}}{S_{△ ACN}}$与$\dfrac{BM}{CM}$之间的关系为.
(2)【知识迁移】如图③,在$△ ABC$中,D,F 分别在边 AB,AC 上,且$AD=2DB$,$CF=2AF$.若$△ ABC$的面积为 1,求四边形 ADPF 的面积.
(3)【知识延伸】如图④,在$△ ABC$中,D,E,F 分别在边 AB,BC,CA 上,且$AD=2DB$,$BE=2EC$,$CF=2AF$,连接 AE,BF,CD,交点为 P,Q,M,若$△ PQM$的面积为 1,则$△ ABC$的面积为.

(1) $\frac{S_{△ A B N}}{S_{△ A C N}}=\frac{B M}{C M}$ 解析: 由题得, $\frac{S_{△ A B N}}{S_{△ B M N}}=\frac{A N}{M N}, \frac{S_{△ A C N}}{S_{△ C M N}}=\frac{A N}{M N}$, 所以 $\frac{S_{△ A B N}}{S_{△ B M N}}=\frac{S_{△ A C N}}{S_{△ C M N}}$, 所以 $\frac{S_{△ A B N}}{S_{△ A C N}}=\frac{S_{△ B M N}}{S_{△ C M N}}=\frac{B M}{C M}$.
(2) 如图(1), 连接 $P A$, 设 $S_{△ B P D}=a, S_{△ A P F}=b, S_{△ B C P}=c$. 因为 $A D=2 D B, C F=2 A F$, 所以 $S_{△ A P D}=2 S_{△ B P D}=2 a, S_{△ C P F}=$ $2 S_{△ A P F}=2 b, S_{△ A C D}=2 S_{△ B C D}, S_{△ B C F}=2 S_{△ A B F}$, 所以 $2 a+b+2 b=$ $2(a+c), 2 b+c=2(a+2 a+b)$, 所以 $2 c=3 b, c=6 a$, 所以 $2 × 6 a=$ $3 b$, 所以 $b=4 a$. 因为 $△ A B C$ 的面积为 1 , 所以 $3 a+3 b+c=1$, 即 $3 a+12 a+6 a=1$, 解得 $a=\frac{1}{21}$. 所以 $S_{\mathrm{四边形 } A D P F}=2 a+b=6 a=6 ×$ $\frac{1}{21}=\frac{2}{7} .$

(3) 7 解析: 如图(2), 连接 $P A, Q C$, 设 $S_{△ B P D}=m, S_{△ A F Q}=n$,由(2) 得, $S_{\mathrm{四边形 } A D P F}=6 m=S_{△ B C P}, S_{△ C P F}=8 m$, 同理, $S_{△ A B Q}=$ $6 S_{△ A F Q}=6 n$, 则 $m+6 m=n+6 n$, 所以 $m=n$, 即 $S_{△ B P D}=$ $S_{△ A F Q}=m$. 同理, $S_{△ C M E}=S_{△ B P D}=S_{△ A F Q}=m$, 所以 $S_{\mathrm{四边形 } B E M P}=$ $6 m-m=5 m$. 因为 $B E=2 E C, C F=2 A F$, 所以 $S_{△ B Q E}=$ $2 S_{△ C E Q}, S_{△ C Q F}=2 S_{△ A F Q}=2 m$, 所以 $S_{△ B Q C}=6 m+8 m-2 m=12 m$,所以 $S_{△ B Q E}=12 m × \frac{2}{3}=8 m$, 所以 $S_{△ P Q M}=8 m-5 m=3 m=1$, 所以 $m=\frac{1}{3}$. 所以 $S_{△ A B C}=m+6 m+8 m+6 m=21 m=21 × \frac{1}{3}=7$.