8. (2026·安庆期中)如图,线段 AD 是$△ ABC$的中线,线段 BE 是$△ ABD$的中线,$EF ⊥ BC$于点F.若$S_{△ ABC}=12,BD=3$,则 EF 的长为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

8. B 解析: 因为线段 AD 是$△ ABC$的中线, 所以$S_{△ ABD}=$$S_{△ ACD}=\frac {1}{2}S_{△ ABC}$. 因为$S_{△ ABC}=12$,所以$S_{△ ABD}=6$. 因为线段 BE是$△ ABD$的中线, 所以$S_{△ BDE}=S_{△ BAE}=\frac {1}{2}S_{△ ABD}=3$, 所以$\frac {1}{2}BD· EF=3$,所以$\frac {1}{2}×3×EF=3$,所以$EF=2$.故选 B.

9. 如图,在 $△ A B C$ 中, $A D$ 是 $B C$ 边上的高, $A E$,
$B F$ 分别是 $∠ B A C, ∠ A B C$ 的平分线, $∠ B A C=$
$50°, ∠ A B C=60°$, 则 $∠ E A D+∠ A B F=(\quad)$

A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$

9. A 解析:$\because AD$ 是 BC 边上的高,$\therefore ∠ ADB=90^{\circ }$.$\because ∠ ABC=$$60^{\circ }$,$\therefore ∠ BAD=180^{\circ }-∠ ADB-∠ ABC=30^{\circ }$.$\because ∠ BAC=50^{\circ }$,$AE$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAE=25^{\circ }$,$\therefore ∠ DAE=30^{\circ }-25^{\circ }=5^{\circ }$.$\because BF$ 是$∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABF=\frac {1}{2}∠ ABC=30^{\circ }$,$\therefore ∠ EAD+$$∠ ABF=35^{\circ }$,故选 A.
归纳总结 高与角平分线模型的两种常见场景:
| 模型 | 结论 |
| ---- | ---- |
| | $∠ DAE=\frac {1}{2}(∠ C-∠ B)$
已知: AD 为角平分线, AE 为高,$∠ C＞∠ B$ |
| | $∠ P=\frac {1}{2}(∠ C-∠ B)$
已知: AD 为角平分线, 点 P 在 AD 的延长线上且 $PE⊥ BC$于$E$,$∠ C＞∠ B$ |

10. (1) $AD$ 是 $△ ABC$ 的一条高, 若 $∠ BAD=65°$, $∠ CAD=30°$, 则 $∠ BAC=$.
(2) (2025·永州期中) 在 $△ ABC$ 中,$AB=AC$,一腰上的中线 $BD$ 把三角形的周长分为 9 cm和 12 cm 两部分, 则此三角形的腰长是.

10. (1)$95^{\circ }$或$35^{\circ }$ 解析:如图①,当 AD 在$△ ABC$的内部时,$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=65^{\circ }+30^{\circ }=95^{\circ }$;
当 AD 在$△ ABC$的外部时, 如图②,$∠ BAC=∠ BAD-$$∠ CAD=65^{\circ }-30^{\circ }=35^{\circ }$.

(2) 8 cm 或 6 cm 解析: 根据题意画出图形如图③, 设等腰三角形的腰长$AB=AC=2x\ \mathrm{cm}$,$BC=y\ \mathrm{cm}$,因为 BD 是腰上的中线,所以$AD=DC=x\ \mathrm{cm}$.若$AB+AD$为 12 cm,则$2x+$$x=12$,解得$x=4$,则$x+y=9$,即$4+y=9$,解得$y=5$,此时腰长为 8 cm;若$AB+AD$为 9 cm,则$2x+x=9$,解得$x=3$,则$x+$$y=12$,即$3+y=12$,解得$y=9$,此时腰长为 6 cm,所以此三角形的腰长为 8 cm 或 6 cm.

11. 如图,在$△ ABC$中,$BD = CD$,$AE = 2BE$,连接$AD,CE$相交于点$O$,若$△ ABC$的面积为24,则$△ AOE$与$△ COD$的面积之差为.

11. 4 解析: 因为$BD=CD$,$S_{△ ABC}=24$,所以$S_{△ ACD}=\frac {1}{2}S_{△ ABC}=12$. 又因为$AE=2BE$,$S_{△ ABC}=24$,所以$S_{△ AEC}=\frac {2}{3}S_{△ ABC}=$$\frac {2}{3}×24=16$. 因为$S_{△ ACD}=S_{△ AOC}+S_{△ COD}=12$ ①,$S_{△ AEC}=$$S_{△ AOC}+S_{△ AOE}=16$ ②,所以由②-①,得$S_{△ AOE}-S_{△ COD}=16-$$12=4$.

12. 如图,已知长方形$ABCD$中,$AD=10\ \mathrm{cm},DC=$$6\ \mathrm{cm}$,点$F$是$DC$的中点,点$E$从$A$点出发在$AD$上以每秒$1\ \mathrm{cm}$的速度向$D$点运动,运动时间设为$t$秒.(假定$0＜ t＜ 10$)
(1)用含$t$的式子表示阴影部分的面积;并求出当三角形$EDF$的面积等于$3\ \mathrm{cm}^2$时,阴影部分的面积是多少.
(2)过点$E$作$EG// AB$交$BF$于点$G$,过点$F$作$FH// BC$交$BE$于点$H$,请直接写出在点$E$运动过程中,$EG$和$FH$的数量关系.

12. (1) 由题意得$AE=t\ \mathrm{cm}$,$DE=(10-t)\ \mathrm{cm}$,因为$S_{△ BEF}=$$S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ BCF}-S_{△ DEF}=10×6-\frac {1}{2}×6t-\frac {1}{2}×10×3-$$\frac {1}{2}×3×(10-t)=60-3t-15-15+\frac {3t}{2}=30-\frac {3t}{2}$,所以用含 t 的式子表示阴影部分的面积为$(30-\frac {3t}{2})\mathrm{cm}^2$.当三角形 EDF的面积等于$3\ \mathrm{cm}^2$时,$S_{△ EDF}=\frac {1}{2}DE· DF=\frac {1}{2}×3×(10-t)=3$,解得$t=8$.当$t=8$时,$S_{\mathrm{阴影}}=30-\frac {3×8}{2}=18(\mathrm{cm}^2)$.
(2)$5EG=3FH$. 解析:本题可尝试用“等面积”法(若两个三角形的高(或底)相同,则它们的面积比等于对应底边(或高)的比)求出在点 E 运动过程中 EG 和 FH 的数量关系.长方形 ABCD 中有$AD⊥ CD$,$AB// CD$,$AD// BC$,因为$EG//$$AB$,$FH// BC$,所以$EG⊥ HF$,$AD⊥ EG$,$CD⊥ HF$,所以$DE,AE$分别等于$△ EGF$,$△ EGB$的 EG 边上的高,$DF,CF$分别等于$△ EHF$,$△ BHF$的 FH 边上的高,所以$S_{△ BEF}=$$\frac {1}{2}EG· DE+\frac {1}{2}EG· AE=\frac {1}{2}HF· DF+\frac {1}{2}HF· CF$,所以$\frac {1}{2}EG· (DE+AE)=\frac {1}{2}HF· (DF+CF)$,即$EG· AD=HF·$$CD$. 因为$AD=10\ \mathrm{cm}$,$DC=6\ \mathrm{cm}$,所以$10EG=6HF$,即$5EG=3FH$.

13. (2026·安庆校级月考)如图,在$△ ABC$中,$AE$平分$∠ BAC,AD ⊥ BC$于点$D$.$∠ ABD$的平分线$BF$所在直线与射线$AE$相交于点$G$,若$∠ ABC=2 ∠ C$,且$∠ G=25^{ \circ }$,则$∠ DFB$的度数是.

13.$50^{\circ }$ 解析: 设$∠ CAE=α$,$\because AE$ 平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAE=$$∠ CAE=α$,$∠ BAC=2∠ CAE=2α$.$\because ∠ ABD$ 是$△ ABC$ 的外角,$\therefore ∠ ABD=∠ BAC+∠ C=2α +∠ C$.$\because BF$ 平分$∠ ABD$,$\therefore ∠ ABF=∠ DBF=\frac {1}{2}∠ ABD=α +\frac {1}{2}∠ C$.$\because ∠ ABF$ 是$△ ABG$ 的外角,$∠ G=25^{\circ }$,$\therefore ∠ ABF=∠ BAE+∠ G=α +$$25^{\circ }$,$\therefore α +\frac {1}{2}∠ C=α +25^{\circ }$,$\therefore ∠ C=50^{\circ }$,$\therefore ∠ ABC=2∠ C=$$100^{\circ }$,$\therefore ∠ ABD=180^{\circ }-∠ ABC=80^{\circ }$,$\therefore ∠ DBF=\frac {1}{2}∠ ABD=$$40^{\circ }$.$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADB=90^{\circ }$,$\therefore ∠ DFB=90^{\circ }-∠ DBF=$$90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$.

14. 新考法 如图所示,点C为直线AB外一动点,$AB=6$,连接CA,CB,点D,E分别是AB,BC的中点,连接AE,CD交于点F,当四边形BEFD的面积为5时,线段AC长度的最小值为.

14. 5 解析: 如图, 连接 BF, 过 C 点作$CH⊥ AB$于 H. 因为D,E 分别是 AB,BC 的中点, 所以$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=$$\frac {1}{2}S_{△ ABC}=S_{△ ADC}=S_{△ BDC}$,$S_{△ AFD}=S_{△ BFD}$,$S_{△ CEF}=S_{△ BEF}$,所以$S_{△ CEF}+S_{\mathrm{四边形}BDFE}=S_{△ CEF}+S_{△ ACF}$,$S_{△ AFD}+S_{△ CEF}=S_{△ BEF}+S_{△ BFD}=$$S_{\mathrm{四边形}BDFE}=5$, 所以$S_{\mathrm{四边形}BDFE}=S_{△ ACF}=5$. 所以$S_{△ ABC}=$$S_{△ ACF}+S_{\mathrm{四边形}BDFE}+S_{△ AFD}+S_{△ CEF}=15$, 所以$\frac {1}{2}CH· AB=15$,所以$CH=5$. 因为点到直线的距离中, 垂线段最短, 所以$AC≥ CH=5$,所以 AC 的最小值为 5.