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31. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一。
【阅读理解】
直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方。设两条直角边长为$a$和$b$，斜边长为$c$，则有$a^2 + b^2 = c^2$。我国古代称直角边中较短者为“勾”，较长者为“股”，斜边为“弦”，故定理得名“勾股定理”。三千多年前，周朝数学家商高就发现“勾三、股四、弦五”的特例。
【应用探索】
(1)下列3条线段能否构成直角三角形？能，在括号内画“√”；否，画“×”。(2分)
①5 cm、6 cm、7 cm(
(2)公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯通过几何拼图证明了勾股定理(西方称其为毕达哥拉斯定理)。我们也一起来试试！(5分)
动手操作:用8个完全相同的直角三角形(直角边为$a$、$b$，斜边为$c$)和3个正方形(边长分别为$a$、$b$、$c$)，拼成下图所示的两个大正方形。
观察分析:图1的面积$=4$个直角三角形的面积$+$边长为$c$的正方形面积$=4×\frac{1}{2}ab+(\quad)$
图2的面积$=4$个直角三角形的面积$+$边长为$a$的正方形面积$+$边长为$b$的正方形面积$=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
因为图1、图2都是边长为$(a+b)$的正方形，所以面积相等。
整理可得$4×\frac{1}{2}ab+(\quad)=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
即:________。
(3)如图3，圆柱的高是5 cm，底面半径是4 cm，在圆柱底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，需要爬行的路程是多少？(3分)
画一画:将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示，请在图中标出点B的位置并连接AB。
算一算:蚂蚁爬行的最短路径是多少厘米？($π$值取3)
【阅读理解】
直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方。设两条直角边长为$a$和$b$，斜边长为$c$，则有$a^2 + b^2 = c^2$。我国古代称直角边中较短者为“勾”，较长者为“股”，斜边为“弦”，故定理得名“勾股定理”。三千多年前，周朝数学家商高就发现“勾三、股四、弦五”的特例。
【应用探索】
(1)下列3条线段能否构成直角三角形？能，在括号内画“√”；否，画“×”。(2分)
①5 cm、6 cm、7 cm(
×
) ②8 cm、15 cm、17 cm(√
)(2)公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯通过几何拼图证明了勾股定理(西方称其为毕达哥拉斯定理)。我们也一起来试试！(5分)
动手操作:用8个完全相同的直角三角形(直角边为$a$、$b$，斜边为$c$)和3个正方形(边长分别为$a$、$b$、$c$)，拼成下图所示的两个大正方形。
观察分析:图1的面积$=4$个直角三角形的面积$+$边长为$c$的正方形面积$=4×\frac{1}{2}ab+(\quad)$
图2的面积$=4$个直角三角形的面积$+$边长为$a$的正方形面积$+$边长为$b$的正方形面积$=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
因为图1、图2都是边长为$(a+b)$的正方形，所以面积相等。
整理可得$4×\frac{1}{2}ab+(\quad)=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
即:________。
(3)如图3，圆柱的高是5 cm，底面半径是4 cm，在圆柱底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，需要爬行的路程是多少？(3分)
画一画:将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示，请在图中标出点B的位置并连接AB。
算一算:蚂蚁爬行的最短路径是多少厘米？($π$值取3)
答案
31. (1)①× ②√
(2)$c^2$ $4×\frac{1}{2}ab$ $a^2$ $b^2$ $c^2$ $4×\frac{1}{2}ab$ $a^2$ $b^2$ $c^2=a^2+b^2$
BC的长是底面圆周长的一半:$3×4=12(\mathrm{cm})$
根据勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$,即$AB^2=5^2+12^2=169$,而$169=13×13$,所以$AB=13 \mathrm{~cm}$
答:蚂蚁爬行的最短路径是13 cm。
解析
【分析】
本题围绕勾股定理展开，分三小问逐步考察：
1. 第(1)问需用勾股定理的逆定理，判断两短边平方和是否等于长边平方，确定能否构成直角三角形；
2. 第(2)问通过两个边长为$(a+b)$的正方形面积相等，结合直角三角形和正方形面积公式，推导勾股定理；
3. 第(3)问将圆柱侧面展开为长方形，把蚂蚁爬行的最短路径转化为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算，关键是确定展开后直角三角形的两条直角边长度。
【解析】
(1) 根据勾股定理的逆定理：
① 计算两短边平方和：$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$，长边平方：$7^2 = 49$，$61≠49$，故不能构成直角三角形，填×；
② 计算两短边平方和：$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，长边平方：$17^2 = 289$，$289=289$，故能构成直角三角形，填√。
(2) 分析两个大正方形的面积：
图1是边长为$(a+b)$的正方形，面积=4个直角三角形面积 + 边长为$c$的正方形面积，即$4×\frac{1}{2}ab + c^2$；
图2是边长为$(a+b)$的正方形，面积=4个直角三角形面积 + 边长为$a$的正方形面积 + 边长为$b$的正方形面积，即$4×\frac{1}{2}ab + a^2 + b^2$；
因两正方形面积相等，故$4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + a^2 + b^2$，化简得$c^2 = a^2 + b^2$。
(3) 圆柱侧面展开为长方形，蚂蚁爬行的最短路径为展开后A、B两点的线段：
底面圆周长的一半：$\frac{1}{2}×2πr = πr$，取$π=3$，$r=4$，故$BC=3×4=12\ \mathrm{cm}$；
圆柱的高$AC=5\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ACB$中，由勾股定理：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，故$AB=13\ \mathrm{cm}$，即最短路径为13 cm。
【答案】
31. (1)①× ②√
(2)$c^2$；$4×\frac{1}{2}ab$；$a^2$；$b^2$；$c^2$；$4×\frac{1}{2}ab$；$a^2$；$b^2$；$c^2=a^2+b^2$
BC的长是底面圆周长的一半:$3×4=12(\mathrm{cm})$
根据勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$,即$AB^2=5^2+12^2=169$,而$169=13×13$,所以$AB=13 \mathrm{~cm}$
答:蚂蚁爬行的最短路径是13 cm。
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；圆柱侧面展开图
【点评】
本题从基础判断到定理推导，再到实际应用，层次清晰，既考察了勾股定理的核心内容，也培养了学生将立体问题转化为平面问题的数形结合能力，是勾股定理的典型综合题。
【难度系数】
0.6
本题围绕勾股定理展开，分三小问逐步考察：
1. 第(1)问需用勾股定理的逆定理，判断两短边平方和是否等于长边平方，确定能否构成直角三角形；
2. 第(2)问通过两个边长为$(a+b)$的正方形面积相等，结合直角三角形和正方形面积公式，推导勾股定理；
3. 第(3)问将圆柱侧面展开为长方形，把蚂蚁爬行的最短路径转化为直角三角形的斜边，利用勾股定理计算，关键是确定展开后直角三角形的两条直角边长度。
【解析】
(1) 根据勾股定理的逆定理：
① 计算两短边平方和：$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$，长边平方：$7^2 = 49$，$61≠49$，故不能构成直角三角形，填×；
② 计算两短边平方和：$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，长边平方：$17^2 = 289$，$289=289$，故能构成直角三角形，填√。
(2) 分析两个大正方形的面积：
图1是边长为$(a+b)$的正方形，面积=4个直角三角形面积 + 边长为$c$的正方形面积，即$4×\frac{1}{2}ab + c^2$；
图2是边长为$(a+b)$的正方形，面积=4个直角三角形面积 + 边长为$a$的正方形面积 + 边长为$b$的正方形面积，即$4×\frac{1}{2}ab + a^2 + b^2$；
因两正方形面积相等，故$4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + a^2 + b^2$，化简得$c^2 = a^2 + b^2$。
(3) 圆柱侧面展开为长方形，蚂蚁爬行的最短路径为展开后A、B两点的线段：
底面圆周长的一半：$\frac{1}{2}×2πr = πr$，取$π=3$，$r=4$，故$BC=3×4=12\ \mathrm{cm}$；
圆柱的高$AC=5\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ACB$中，由勾股定理：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，故$AB=13\ \mathrm{cm}$，即最短路径为13 cm。
【答案】
31. (1)①× ②√
(2)$c^2$；$4×\frac{1}{2}ab$；$a^2$；$b^2$；$c^2$；$4×\frac{1}{2}ab$；$a^2$；$b^2$；$c^2=a^2+b^2$
BC的长是底面圆周长的一半:$3×4=12(\mathrm{cm})$
根据勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$,即$AB^2=5^2+12^2=169$,而$169=13×13$,所以$AB=13 \mathrm{~cm}$
答:蚂蚁爬行的最短路径是13 cm。
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；圆柱侧面展开图
【点评】
本题从基础判断到定理推导，再到实际应用，层次清晰，既考察了勾股定理的核心内容，也培养了学生将立体问题转化为平面问题的数形结合能力，是勾股定理的典型综合题。
【难度系数】
0.6
