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1. 计算:
(1)$(\sqrt{48}+\sqrt{20})+(\sqrt{12}-\sqrt{5})$；
(2)$\frac{5}{\sqrt{5}}-\sqrt{10}÷\sqrt{2}+(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$；
(3)$\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{12}$；
(4)$\sqrt{18}÷\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{\frac{4}{3}}$.
(1)$(\sqrt{48}+\sqrt{20})+(\sqrt{12}-\sqrt{5})$；
(2)$\frac{5}{\sqrt{5}}-\sqrt{10}÷\sqrt{2}+(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$；
(3)$\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{12}$；
(4)$\sqrt{18}÷\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{\frac{4}{3}}$.
答案
(1)原式=$6\sqrt{3}+\sqrt{5}$；
(2)原式=$-1$；
(3)原式=$7\sqrt{3}$；
(4)原式=$4\sqrt{2}$.
(2)原式=$-1$；
(3)原式=$7\sqrt{3}$；
(4)原式=$4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这四道题均属于二次根式的混合运算题型，解题通用思路为：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先去括号，二级运算（乘除）优先于一级运算（加减），符合乘法公式结构的优先用公式简化计算；③最后合并同类二次根式得到最终结果。计算时注意运算顺序和符号，避免化简错误。
【解析】
(1) 先化简各二次根式，再去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}\\&=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3})+(2\sqrt{5}-\sqrt{5})\\&=6\sqrt{3}+\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 分别计算二次根式的除法、乘法，再合并：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{5}-\sqrt{10÷2}+(2^2-(\sqrt{5})^2)\\&=\sqrt{5}-\sqrt{5}+(4-5)\\&=0-1\\&=-1\end{aligned}$
(3) 先化简各二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}-9×\frac{\sqrt{3}}{3}+3×2\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\&=7\sqrt{3}\end{aligned}$
(4) 按照从左到右的顺序计算二次根式的乘除，可统一为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{18÷\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{18×\frac{4}{3}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{32}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$6\sqrt{3}+\sqrt{5}$；(2)$-1$；(3)$7\sqrt{3}$；(4)$4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的常规基础题，核心考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则，以及二次根式乘除法则、乘法公式的灵活运用，计算时遵循“先化简再运算”的原则可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这四道题均属于二次根式的混合运算题型，解题通用思路为：①先将算式中所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先去括号，二级运算（乘除）优先于一级运算（加减），符合乘法公式结构的优先用公式简化计算；③最后合并同类二次根式得到最终结果。计算时注意运算顺序和符号，避免化简错误。
【解析】
(1) 先化简各二次根式，再去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}\\&=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3})+(2\sqrt{5}-\sqrt{5})\\&=6\sqrt{3}+\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 分别计算二次根式的除法、乘法，再合并：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{5}-\sqrt{10÷2}+(2^2-(\sqrt{5})^2)\\&=\sqrt{5}-\sqrt{5}+(4-5)\\&=0-1\\&=-1\end{aligned}$
(3) 先化简各二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}-9×\frac{\sqrt{3}}{3}+3×2\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}\\&=7\sqrt{3}\end{aligned}$
(4) 按照从左到右的顺序计算二次根式的乘除，可统一为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{18÷\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{18×\frac{4}{3}×\frac{4}{3}}\\&=\sqrt{32}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$6\sqrt{3}+\sqrt{5}$；(2)$-1$；(3)$7\sqrt{3}$；(4)$4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的常规基础题，核心考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则，以及二次根式乘除法则、乘法公式的灵活运用，计算时遵循“先化简再运算”的原则可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
2. 化简：$\dfrac{1}{2y - x}\sqrt{\dfrac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x^2y^4}}(x＜2y＜0).$
答案
当$x＜2y＜0$时,原式=$\dfrac{1}{2y - x}·\sqrt{\dfrac{(x-2y)^2}{x^2y^4}}=\dfrac{1}{2y - x}·\dfrac{2y-x}{-xy^2}=-\dfrac{1}{xy^2}.$
解析
【分析】
解题时首先观察根号内的分子，发现其符合完全平方公式的结构，第一步优先利用完全平方公式对根号内的分子因式分解；再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，开方结果是非负数，此时需要结合题目给出的$x＜2y＜0$的条件，分别判断各代数式的正负，正确去掉绝对值符号；最后通过约分完成化简，过程中要重点关注符号判断，避免出错。
【解析】
解：$\because x＜2y＜0$
$\therefore 2y-x＞0$，$x＜0$，$y^2＞0$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{1}{2y - x}·\sqrt{\dfrac{(x-2y)^2}{x^2y^4}}\\&=\dfrac{1}{2y - x}·\dfrac{|x-2y|}{|x|·|y^2|}\\&=\dfrac{1}{2y - x}·\dfrac{2y - x}{-xy^2}\\&=-\dfrac{1}{xy^2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{xy^2}$
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题核心是结合给定的字母取值范围，正确运用$\sqrt{a^2}=|a|$的性质去掉绝对值符号，要牢记二次根式的开方结果一定是非负数，避免忽略符号限制导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察根号内的分子，发现其符合完全平方公式的结构，第一步优先利用完全平方公式对根号内的分子因式分解；再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，开方结果是非负数，此时需要结合题目给出的$x＜2y＜0$的条件，分别判断各代数式的正负，正确去掉绝对值符号；最后通过约分完成化简，过程中要重点关注符号判断，避免出错。
【解析】
解：$\because x＜2y＜0$
$\therefore 2y-x＞0$，$x＜0$，$y^2＞0$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{1}{2y - x}·\sqrt{\dfrac{(x-2y)^2}{x^2y^4}}\\&=\dfrac{1}{2y - x}·\dfrac{|x-2y|}{|x|·|y^2|}\\&=\dfrac{1}{2y - x}·\dfrac{2y - x}{-xy^2}\\&=-\dfrac{1}{xy^2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{xy^2}$
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题核心是结合给定的字母取值范围，正确运用$\sqrt{a^2}=|a|$的性质去掉绝对值符号，要牢记二次根式的开方结果一定是非负数，避免忽略符号限制导致计算错误。
【难度系数】
0.6
3. 解方程：
(1)$2\sqrt{2}x=-\sqrt{24}$；
(2)$-2\sqrt{3}x=-\sqrt{27}$。
(1)$2\sqrt{2}x=-\sqrt{24}$；
(2)$-2\sqrt{3}x=-\sqrt{27}$。
答案
(1)$x=-\sqrt{3}$；
(2)$x=\dfrac{3}{2}.$
(2)$x=\dfrac{3}{2}.$
解析
【分析】
这两个方程都是系数含二次根式的一元一次方程，解题思路为：先通过系数化为1得到x的表达式，再根据二次根式的除法法则和化简规则计算结果，运算过程中注意符号的处理。
【解析】
(1) 解方程$2\sqrt{2}x=-\sqrt{24}$
第一步：系数化为1，得
$x=\dfrac{-\sqrt{24}}{2\sqrt{2}}$
第二步：化简二次根式计算，得
$x=-\dfrac{\sqrt{24÷2}}{2}=-\dfrac{\sqrt{12}}{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$
(2) 解方程$-2\sqrt{3}x=-\sqrt{27}$
第一步：两边同时除以$-1$消去负号，得
$2\sqrt{3}x=\sqrt{27}$
第二步：系数化为1，得
$x=\dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{3}}$
第三步：化简计算，得
$x=\dfrac{\sqrt{27÷3}}{2}=\dfrac{\sqrt{9}}{2}=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1)$x=-\sqrt{3}$；
(2)$x=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元一次方程解法、二次根式化简、二次根式除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握带根式系数的一元一次方程求解步骤，运算时要注意符号的变化，二次根式计算优先利用除法性质约分再化简，能有效减少计算错误率。
【难度系数】
0.7
这两个方程都是系数含二次根式的一元一次方程，解题思路为：先通过系数化为1得到x的表达式，再根据二次根式的除法法则和化简规则计算结果，运算过程中注意符号的处理。
【解析】
(1) 解方程$2\sqrt{2}x=-\sqrt{24}$
第一步：系数化为1，得
$x=\dfrac{-\sqrt{24}}{2\sqrt{2}}$
第二步：化简二次根式计算，得
$x=-\dfrac{\sqrt{24÷2}}{2}=-\dfrac{\sqrt{12}}{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$
(2) 解方程$-2\sqrt{3}x=-\sqrt{27}$
第一步：两边同时除以$-1$消去负号，得
$2\sqrt{3}x=\sqrt{27}$
第二步：系数化为1，得
$x=\dfrac{\sqrt{27}}{2\sqrt{3}}$
第三步：化简计算，得
$x=\dfrac{\sqrt{27÷3}}{2}=\dfrac{\sqrt{9}}{2}=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1)$x=-\sqrt{3}$；
(2)$x=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元一次方程解法、二次根式化简、二次根式除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握带根式系数的一元一次方程求解步骤，运算时要注意符号的变化，二次根式计算优先利用除法性质约分再化简，能有效减少计算错误率。
【难度系数】
0.7
4. 一个三角形的一条边长为$2\sqrt{3}$，若它的这条边上的高为$\sqrt{6}$，求这个三角形的面积.
答案
$S=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{6}=3\sqrt{2}.$
解析
【分析】
求解本题首先要明确三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底与该底边上高乘积的$\frac{1}{2}$。本题已经给出了作为底的边长和对应高的长度，只需将数值代入公式，再按照二次根式的乘法法则计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
设三角形的底为$a=2\sqrt{3}$，该底边上的高为$h=\sqrt{6}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，代入数值计算：
$S=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{6}$
先计算$\dfrac{1}{2}×2=1$，再根据二次根式乘法法则计算$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}$，
最后化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
三角形面积计算、二次根式乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查基础公式的识记和二次根式的基础运算能力，易错点是容易遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，或是二次根式化简不彻底，计算时多加注意即可得分。
【难度系数】
0.85
求解本题首先要明确三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底与该底边上高乘积的$\frac{1}{2}$。本题已经给出了作为底的边长和对应高的长度，只需将数值代入公式，再按照二次根式的乘法法则计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
设三角形的底为$a=2\sqrt{3}$，该底边上的高为$h=\sqrt{6}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，代入数值计算：
$S=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{6}$
先计算$\dfrac{1}{2}×2=1$，再根据二次根式乘法法则计算$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}$，
最后化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
三角形面积计算、二次根式乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查基础公式的识记和二次根式的基础运算能力，易错点是容易遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$，或是二次根式化简不彻底，计算时多加注意即可得分。
【难度系数】
0.85
