1[中]如图,已知直线$l_1 // l_2$, $∠ A = 125°$, $∠ B = 85°$,且$∠ 1$比$∠ 2$大$4°$,那么$∠ 1 =$.

17°
【解析】如图,过点 A 作 $l_1$ 的平行线 AC,过点 B 作 $l_2$ 的平行线 BD,则 $∠ 3 = ∠ 1$, $∠ 4 = ∠ 2$. 因为 $l_1 // l_2$, 所以 $AC // BD$, 所以 $∠CAB + ∠ABD = 180°$, 所以 $∠ 3 + ∠ 4 = 125° + 85° - 180° = 30°$, 所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 30°$. 因为 $∠ 1 = ∠ 2 + 4°$, 所以 $∠ 1 = 17°$.

2[较难]如图(1),AB//CD,E,F分别是AB,CD上任意一点,EO和FO交于点O.
(1)试猜想∠1,∠2,∠3的数量关系,并说明理由；
(2)如图(2),直线$l_1// l_2$,$AB⊥ l_1$,垂足为O,BC与$l_2$相交于点E,若∠1=30°,则∠B=；
(3)如图(3),AB//CD,图中∠1,∠2,∠3,∠4,…,∠(2n−1),∠2n之间有什么关系？

(1) $∠2 = ∠1 + ∠3$.
理由:如图(1),过点 O 作 $MN // AB$. 因为 $AB // CD$, 所以 $MN // AB // CD$, 所以 $∠1 = ∠EON$, $∠3 = ∠NOF$, 所以 $∠1 + ∠3 = ∠EON + ∠NOF = ∠EOF$, 即 $∠2 = ∠1 + ∠3$.

(2) 如图(2),过 B 作 $BM // l_1$, 则 $BM // l_1 // l_2$, 所以 $∠MBC = ∠1 = 30°$.
因为 $AB ⊥ l_1$, 则 $AB ⊥ BM$, 所以 $∠ABM = 90°$, 所以 $∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 120°$.
故答案为 $120°$.

(3) $∠1 + ∠3 + \dots + ∠(2n-1) = ∠2 + ∠4 + \dots + ∠2n$.
理由:如图(3),取有限个角,作 $EF // AB$, 则 $∠1 = ∠α$, 作 $GH // EF$, 则 $∠θ = ∠β$, $GH // AB$.
因为 $AB // CD$, 所以 $CD // GH$, 所以 $∠\gamma = ∠4$, 所以 $∠1 + ∠θ + ∠\gamma = ∠α + ∠β + ∠4$, 由此推得 $∠1 + ∠3 + \dots + ∠(2n-1) = ∠2 + ∠4 + \dots + ∠2n$.

3[2026江苏无锡期末,中]如图,直线$a// b$,点A在直线a上,点C,D在直线b上,且$AB⊥ BC$,BD平分$∠ ABC$,若$∠ 1=33°$,则$∠ 2$的度数是
()


A.$12°$
B.$13°$
C.$14°$
D.$15°$

A
【解析】延长 CB 交直线 a 于点 E,如图. 因为 $AB ⊥ BC$, 所以 $∠ABC = ∠ABE = 90°$. 因为 $∠1 = 33°$, 所以 $∠AEC = 180° - 90° - 33° = 57°$. 因为 $a // b$, 所以 $∠ECD = 180° - 57° = 123°$. 因为 BD 平分 $∠ABC$, 所以 $∠CBD = ∠ABD = 45°$, 所以 $∠2 = 180° - ∠ECD - ∠CBD = 12°$. 故选 A.

4[较难]如图,已知$AB// CD$,P是直线AB,CD间的一点,$PF⊥ CD$于点F,PE交AB于点E,$∠ FPE=120°$.
(1)如图(1),$∠ AEP$的度数为.
(2)如图(2),射线PN从PF出发,以每秒$40°$的速度绕P点按逆时针方向旋转,当$PN⊥ AB$时,立刻按原速返回至PF后停止运动;射线EM从EA出发,以每秒$15°$的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动.若射线PN,EM同时开始运动,设运动时间为t秒.
①当$∠ MEP=20°$时,求$∠ EPN$的度数;
②当$EM// PN$时,求t的值.

(1) 延长 FP 与 AB 相交于点 G,如图(1). 因为 $PF ⊥ CD$, $AB // CD$, 所以 $∠PFD = ∠PGE = 90°$. 因为 $180° - ∠EPF = 180° - (∠PGE + ∠AEP)$, 所以 $∠AEP = ∠EPF - ∠PGE = 120° - 90° = 30°$, 故答案为 $30°$.

(2) ① 如题图(2), 当 EM 运动到 PE 上方时, 因为 $∠AEP = 30°$, $∠MEP = 20°$, 所以 $∠AEM = 10°$, 所以射线 EM 运动的时间 $t = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$, 所以射线 PN 旋转的角度 $∠FPN = \frac{2}{3} × 40° = (\frac{80}{3})°$. 又因为 $∠EPF = 120°$, 所以 $∠EPN = ∠EPF - ∠FPN = 120° - (\frac{80}{3})° = (\frac{280}{3})°$.
如图(2), 当 EM 运动到 PE 下方时, 因为 $∠AEP = 30°$, $∠MEP = 20°$, 所以 $∠AEM = 50°$, 所以射线 EM 运动的时间 $t = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}$, 所以射线 PN 旋转的角度 $∠FPN = \frac{10}{3} × 40° = (\frac{400}{3})°$. 又因为 $∠EPF = 120°$, 所以 $∠EPN = ∠FPN - ∠EPF = (\frac{400}{3})° - 120° = (\frac{40}{3})°$.
综上, $∠EPN$ 的度数为 $(\frac{280}{3})°$ 或 $(\frac{40}{3})°$.

② 延长 FP 交 AB 于点 G. 易知当 $EM // PN$ 时, EM 一定在 PE 的下方. 当 PN 由 PF 运动到图(3)位置时, $EM // PN$, PN 与 AB 相交于点 H. 根据题意可知, 经过 t 秒, $∠AEM = (15t)°$, $∠FPN = (40t)°$. 因为 $EM // PN$, 所以 $∠AEM = ∠AHP = (15t)°$, 所以易得 $(40t)° = 90° + (15t)°$, 解得 $t = \frac{18}{5}$; 当 PN 由 PF 运动到 PG, 再由 PG 运动到图(4)位置时, $EM // PN$, PN 与 AB 相交于点 T. 根据题意可知, 经过 t 秒, $∠AEM = (15t)°$. 因为 $EM // PN$, 所以 $∠GTP = (15t)°$, $∠GPT = 90° - (15t)°$, 所以 PN 运动的度数为 $180° + ∠GPT = (40t)°$, 即 $180° + 90° - (15t)° = (40t)°$, 解得 $t = \frac{54}{11}$; 当 PN 运动到 PG, 再由 PG 运动到图(5)位置时, $EM // PN$. 根据题意可知, 经过 t 秒, $∠AEM = (15t)°$, $∠GPN = (40t)° - 180°$. 因为 $∠AEP = 30°$, 所以 $∠EPG = 60°$, $∠PEM = (15t)° - 30°$, 所以 $∠EPN = (40t)° - 180° - 60° = (40t)° - 240°$. 又因为 $EM // PN$, 所以 $∠PEM + ∠EPN = 180°$, 所以 $(15t)° - 30° + (40t)° - 240° = 180°$, 解得 $t = \frac{90}{11}$. 综上, 当 t 的值为 $\frac{18}{5}$ 或 $\frac{54}{11}$ 或 $\frac{90}{11}$ 时, $EM // PN$.