1[中]如图，AB//CD，∠ABE=150°，∠BEF=70°，则∠DFE的度数为（）


A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

1.B 【解析】过 E 作 EG//AB,如图所示,则AB//CD//EG, ∠ABE + ∠BEG = 180°, 所以∠BEG=30°. 因为∠BEF=70°,所以∠GEF=70°- 30°= 40°. 因为 AB // CD // EG, 所以∠DFE = ∠GEF=40°,故选 B.

2[2025黑龙江哈尔滨期中,中]某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画,如图,已知∠BAC=125°,AB//DE,∠D=85°,则∠ACD=°。

2.30 【解析】如图所示,延长 ED 交 AC 于点 F,取直线AB 上一点 N,点 N 位于点 A 右侧. 因为∠BAC + ∠CAN = 180°, 所以∠CAN=180°-∠BAC=55°. 因为 AB//DE,所以∠CFD = ∠CAN=55°, 所以 ∠ACD = 180°-∠CDF-∠CFD = ∠CDE - ∠CFD = 85°-55°= 30°. 故答案为 30.

3[较难]如图,将长方形ABCD沿EF翻折,再沿ED翻折,若∠FEA''=105°,则∠CFE=°

3.155 【解析】由第一次折叠可得∠A'EF = ∠AEF. 因为∠A'EF = ∠A'ED+∠DEF,∠AEF=180°-∠DEF,所以∠A'ED+∠DEF = 180°-∠DEF,所以∠A'ED = 180°-2∠DEF. 由第二次折叠可得∠A'ED = ∠A''ED. 因为∠A''ED = ∠A''EF+∠DEF = 105°+∠DEF,所以∠A'ED = 105° + ∠DEF, 所以 105° + ∠DEF = 180° - 2∠DEF,所以∠DEF = 25°. 因为 AD//BC,所以∠DEF = ∠EFB = 25°, 所以∠CFE = 180°-∠EFB = 180°-25°=155°. 故答案为 155.

4[2026江苏扬州期末,中]已知直线$MN// PQ$,直线$EF$与$MN$,$PQ$分别相交于点$E$,$F$,$∠ MEF=α(0°＜α＜90°)$.
(1)将一个含$30°$角的直角三角尺$ABC$按如图(1)所示的方式放置,点$A$,$C$分别在直线$MN$,$PQ$上,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=30°$,直接写出$∠ B$,$∠ FCA$,$∠ BAE$之间的数量关系.
(2)如图(2),在(1)的条件下,$∠ ACQ$的平分线$CG$交直线$MN$于点$G$,且$EF// AB$.
①当$CG// EF$时,求$α$的值;
②将$△ ABC$从图(2)位置沿射线$CQ$的方向平移,在平移过程中,请用含$α$的代数式表示$∠ GCF$的度数.

4.【解】(1)∠ABC+∠FCA+∠BAE = 270°. 如图(1),过点 B 作 BH//MN. 因为 MN//PQ,所以BH//MN//PQ, 所以 ∠BAE + ∠ABH = 180°,∠CBH + ∠BCF = ∠CBH + ∠ACB + ∠FCA = 180°. 因为∠ACB=90°,所以∠CBH+∠FCA = 90°,所以∠CBH + ∠FCA + ∠ABH + ∠BAE = 270°,所以∠ABC+∠FCA+∠BAE=270°.

(2)①因为 CG//EF,EF//AB,所以 AB//CG//EF, 所以 ∠BAC = ∠ACG = 30°, ∠GCF = ∠AGC = ∠MEF. 因为 CG 平分∠ACQ,所以∠ACG = ∠GCF = 30°, 所以∠MEF = 30°, 即α=30°.
②如图(2),当点 C 在 EF 左侧时,

因为 EF // AB, ∠MEF = α, 所以 ∠MAB = ∠MEF = α. 因为 ∠BAC = 30°, 所以 ∠MAC = ∠BAC+∠MAB = 30°+α. 因为 MN//PQ, 所以∠ACQ = ∠MAC = 30° + α. 因为 CG 平分∠ACQ,所以∠GCF = $\frac{1}{2}$∠ACQ = 15°+$\frac{1}{2}α$.
如图(3),当点 C 在 EF 右侧时,

因为 EF // AB, ∠MEF = α, 所以 ∠MAB = ∠MEF = α. 因为 ∠BAC = 30°, 所以 ∠MAC = ∠BAC+∠MAB = 30°+α. 因为 MN//PQ, 所以∠ACQ = ∠MAC = 30° + α. 因为 CG 平分∠ACQ,所以∠GCQ = $\frac{1}{2}$∠ACQ = 15°+$\frac{1}{2}α$, 所以∠GCF = 180°-∠GCQ = 180°-$(15°+\frac{1}{2}α)$ = 165°-$\frac{1}{2}α$.
综上可知,∠GCF 的度数为 $15°+\frac{1}{2}α$ 或 $165°-\frac{1}{2}α$.

5 核心素养几何直观[难]已知$AB// CD$，E为直线CD下方一点，BF平分$∠ ABE$.
(1)如图(1),试说明:$∠ ABE+∠ C-∠ E=180°$.
(2)如图(2),EG平分$∠ BEC$，过点B作$BH// GE$，求$∠ FBH$与$∠ C$之间的数量关系.
(3)如图(3),CN平分$∠ ECD$，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且$∠ E+∠ M=130°$，请直接写出$∠ E$的度数.

5.【解】(1)如图(1)所示,过点 E 作 EK//AB,所以∠ABE = ∠BEK. 因为 AB//CD,所以 EK//CD, 所以∠CEK+ ∠C = 180°, 即 ∠BEK - ∠BEC + ∠C = 180°, 所以 ∠ABE + ∠C - ∠BEC = 180°.

(2)因为 BF,EG 分别平分∠ABE,∠BEC,所以∠ABF = ∠EBF, ∠BEG = ∠CEG.
设∠ABF = ∠EBF = α, ∠BEG = ∠CEG = β.
因为 BH//EG,所以∠HBE = ∠BEG = β, 所以∠FBH = ∠FBE - ∠HBE = α - β. 由 (1) 知,∠ABE+∠C - ∠BEC = 180°, 即 2α + ∠C - 2β = 2(α-β) + ∠C = 180°, 所以 2∠FBH + ∠C = 180°.
(3)∠E=80°. 因为 CN,BF 分别平分∠ECD,∠ABE,所以∠ABF = ∠EBF, ∠ECN = ∠DCN.
设∠ABF = ∠EBF = x, ∠ECN = ∠DCN = y. 由 (1) 知, ∠ABE + ∠ECD - ∠E = 180°, 即 ∠E = 2(x+y)-180°. 如图(2),过 M 作 PQ//AB.
因为 AB // CD, 所以 PQ// CD // AB, 所以∠PMF = ∠ABF = x, ∠QMN = ∠DCN = y, 所以∠FMN = 180° - ∠PMF - ∠QMN = 180°-(x+y), 所以∠E + ∠FMN = x+y = 130°, 所以∠E = 2(x+y)-180°=2×130°-180°=80°.