9.(宁波市镇海区)若菱形的两条对角线长分别为6 cm,8 cm,则菱形的边长为 cm,面积为 cm²。

9.5 24

10.（温州市）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AD=4，则AC的长是。

10.8

11.(诸暨市)如图,若将由四根木条钉成的矩形木框变形为$□ ABCD$的形状,并使其现在围成的面积为原来围成的面积的一半,则这个平行四边形相邻两内角度数的比是。

11.1:5或5:1

12.(宁波市镇海区)如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,EG⊥AD,EF⊥CD,BE的延长线与FG交于点H,若∠ABE=15°,则$\frac{BE}{EH}$的值为。

12.4

13.(绍兴市上虞区)如图,正方形ABCD的边长为2cm,E为边AB的中点,△AEF为等边三角形。以EF为边在EF的右侧作正方形EFGH,连结AG,在直线AG上找一点J,使△EBJ的周长最小,则△EBJ的周长最小值为$\boldsymbol{}$ cm。

13.$\sqrt{5}+1$ 【解析】连结DE与直线AG交于点N,连结NB,AH,如图。易证点D与点B关于直线AG对称,所以DN=BN。因为△AEF是等边三角形,所以∠AFE=∠AEF=60°,AF=AE。因为E为AB的中点,所以AE=EB=1 cm。在Rt△DAE中,$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}(cm)$,所以EN+BN+EB=EN+DN+BE=DE+BE=$(\sqrt{5}+1)$cm。根据两点之间线段最短可得:当点J运动到点N处时,△EBJ的周长最小,此时周长为$(\sqrt{5}+1)$cm。

14.(8分)(湖州市吴兴区)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE//AC,CE//DB,CE,DE交于点E,求证:四边形DOCE是菱形。

14. 因为DE//AC,CE//DB,所以四边形DOCE是平行四边形。又因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,OC=OA=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。所以OC=OD。所以四边形DOCE是菱形。

15.(8分)(新昌县)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一个动点。连结AG,过点G作GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足。
(1)求证:GE+GF=AB。
(2)写出GE,GF,AG三条线段满足的等量关系,并求当$AB=5,AG=\sqrt{13}$时,BG的长。

15.(1)因为在正方形ABCD中,BD是对角线,所以AB=BC,∠C=90°,∠DBC=45°。又GE⊥CD,GF⊥BC,所以四边形GECF是矩形。所以GE=FC。易证△BFG是等腰直角三角形,所以BF=GF。所以GE+GF=FC+BF=BC=AB。
(2)连结CG,EF。在△ABG与△CBG中,因为$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABG=∠CBG, \\ BG=BG, \end{cases}$
所以△ABG≌△CBG。所以AG=CG。因为$GE^2+GF^2=EF^2$,而在矩形GECF中,CG=EF,所以$GE^2+GF^2=CG^2=AG^2$。当AB=5时,设GE=x,则由(1)可知GE+GF=5,即GF=5−x。
又因为AG=$\sqrt{13}$,所以$GE^2+GF^2=AG^2=13$。所以$x^2+(5−x)^2=13$,化简得$x^2−5x+6=0$,解得$x_1=2,x_2=3$。当GE=2时,BG=$3\sqrt{2}$;当GE=3时,BG=$2\sqrt{2}$。