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9.(2025·杭州余杭、临平)已知两个连续正奇数的积是143,设其中较小的正奇数是$x$,可列方程:________。
答案
9.$x(x+2)=143$
解析
【分析】要列出方程，需先明确连续正奇数的数量关系：相邻两个正奇数相差2，已知较小的正奇数为$x$，则较大的正奇数为$x+2$，再结合“两个数的积是143”的条件即可列出方程。
【解析】因为两个数是连续正奇数，较小的为$x$，所以较大的正奇数是$x+2$，根据“两数的积为143”，可列方程为$x(x+2)=143$。
【答案】$x(x+2)=143$
【知识点】一元二次方程的应用、连续奇数的表示
【点评】本题属于基础的列方程题型，核心是掌握连续正奇数的差值规律，只需理清数量关系即可快速列出方程，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为两个数是连续正奇数，较小的为$x$，所以较大的正奇数是$x+2$，根据“两数的积为143”，可列方程为$x(x+2)=143$。
【答案】$x(x+2)=143$
【知识点】一元二次方程的应用、连续奇数的表示
【点评】本题属于基础的列方程题型，核心是掌握连续正奇数的差值规律，只需理清数量关系即可快速列出方程，难度较低。
【难度系数】0.8
10.(2024·宁波鄞州)如图,校园空地上有一面长为4米的墙。为了创建美丽校园,学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD。
(1)如图1,利用墙围成矩形花园ABCD,若围成的花园面积为32平方米,求花园的边长。
(2)如图2,用围栏补墙得到矩形花园ABCD,花园的面积可能为36平方米吗?若能,请求出BC的长;若不能,请说明理由。
(1)如图1,利用墙围成矩形花园ABCD,若围成的花园面积为32平方米,求花园的边长。
(2)如图2,用围栏补墙得到矩形花园ABCD,花园的面积可能为36平方米吗?若能,请求出BC的长;若不能,请说明理由。
答案
10.解:(1)设$AD$的长为$x$米,则$AB$的长为$(10-\dfrac{1}{2}x)$米,$x(10-\dfrac{1}{2}x)=32$,整理,得$x^2-20x+64=0$,$(x-4)(x-16)=0$,$x_1=4$,$x_2=16$。因为墙长为4米,所以$x_2=16$舍去。当$x=4$时,$10-\dfrac{1}{2}x=8$。答:花园的边长分别为8米和4米。
(2)设$BC$的长为$x$米,则$AB$的长为$(12-x)$米,$x(12-x)=36$,整理,得$x^2-12x+36=0$,$(x-6)^2=0$,$x_1=x_2=6$。答:能,$BC$的长为6米。
(2)设$BC$的长为$x$米,则$AB$的长为$(12-x)$米,$x(12-x)=36$,整理,得$x^2-12x+36=0$,$(x-6)^2=0$,$x_1=x_2=6$。答:能,$BC$的长为6米。
解析
【分析】
第(1)问：图1中矩形花园的边AD利用长4米的墙，围栏仅需围AB、BC、CD三边，且AB=CD，总围栏长20米。设AD的长为x米，可表示出AB的长度，再根据矩形面积公式列方程，结合墙长限制舍去不符合实际的解，即可求出花园边长。第(2)问：图2中，设BC的长为x米，先表示出AB的长度，假设花园面积为36平方米，列方程求解，判断解是否符合实际情况，得出结论。
【解析】
(1) 设$AD$的长为$x$米，因为围栏总长20米，且$AB=CD$，所以$AB$的长为$\frac{20 - x}{2}=10 - \frac{1}{2}x$米。
根据矩形面积公式，花园面积为$x(10 - \frac{1}{2}x)=32$，整理得：
$x^2 - 20x + 64 = 0$，
因式分解得$(x - 4)(x - 16)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=16$。
由于墙长为4米，$x=16$不符合实际，舍去。
当$x=4$时，$AB=10 - \frac{1}{2}×4=8$米。
答：花园的边长分别为8米和4米。
(2) 设$BC$的长为$x$米，根据围栏长度关系，$AB$的长为$(12 - x)$米，根据矩形面积公式，得：
$x(12 - x)=36$，
整理得$x^2 -12x +36=0$，
即$(x - 6)^2=0$，
解得$x_1=x_2=6$，符合实际情况。
答：能围成，$BC$的长为6米。
【答案】
(1) 花园的边长分别为8米和4米；(2) 能，BC的长为6米。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题，关键是根据围栏长度正确表示矩形的边长，需结合实际意义舍去不合理的解，难度适中，需注意边长的取值范围。
【难度系数】
0.4
第(1)问：图1中矩形花园的边AD利用长4米的墙，围栏仅需围AB、BC、CD三边，且AB=CD，总围栏长20米。设AD的长为x米，可表示出AB的长度，再根据矩形面积公式列方程，结合墙长限制舍去不符合实际的解，即可求出花园边长。第(2)问：图2中，设BC的长为x米，先表示出AB的长度，假设花园面积为36平方米，列方程求解，判断解是否符合实际情况，得出结论。
【解析】
(1) 设$AD$的长为$x$米，因为围栏总长20米，且$AB=CD$，所以$AB$的长为$\frac{20 - x}{2}=10 - \frac{1}{2}x$米。
根据矩形面积公式，花园面积为$x(10 - \frac{1}{2}x)=32$，整理得：
$x^2 - 20x + 64 = 0$，
因式分解得$(x - 4)(x - 16)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=16$。
由于墙长为4米，$x=16$不符合实际，舍去。
当$x=4$时，$AB=10 - \frac{1}{2}×4=8$米。
答：花园的边长分别为8米和4米。
(2) 设$BC$的长为$x$米，根据围栏长度关系，$AB$的长为$(12 - x)$米，根据矩形面积公式，得：
$x(12 - x)=36$，
整理得$x^2 -12x +36=0$，
即$(x - 6)^2=0$，
解得$x_1=x_2=6$，符合实际情况。
答：能围成，$BC$的长为6米。
【答案】
(1) 花园的边长分别为8米和4米；(2) 能，BC的长为6米。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题，关键是根据围栏长度正确表示矩形的边长，需结合实际意义舍去不合理的解，难度适中，需注意边长的取值范围。
【难度系数】
0.4
1.(2025·杭州滨江)下列方程中,属于一元二次方程的是 (
A.$(3x-1)(x+2)=1$
B.$3x+2=0$
C.$3x+y=0$
D.$2x^2 - \dfrac{1}{x}=0$
A
)A.$(3x-1)(x+2)=1$
B.$3x+2=0$
C.$3x+y=0$
D.$2x^2 - \dfrac{1}{x}=0$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。接下来逐个分析选项：
选项A展开整理后看是否符合定义；选项B是一次方程，排除；选项C含两个未知数，排除；选项D是分式方程，排除。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一判断：
选项A：将$(3x-1)(x+2)=1$展开并整理，得$3x^2 +5x -2=1$，即$3x^2 +5x -3=0$，满足“一个未知数、最高次数2、整式方程”，属于一元二次方程；
选项B：$3x+2=0$是一元一次方程，未知数最高次数为1，不符合；
选项C：$3x+y=0$含有两个未知数，是二元一次方程，不符合；
选项D：$2x^2 - \dfrac{1}{x}=0$中分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的核心定义，需准确把握“一元、二次、整式方程”三个关键条件，逐一排查即可快速得出答案，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。接下来逐个分析选项：
选项A展开整理后看是否符合定义；选项B是一次方程，排除；选项C含两个未知数，排除；选项D是分式方程，排除。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一判断：
选项A：将$(3x-1)(x+2)=1$展开并整理，得$3x^2 +5x -2=1$，即$3x^2 +5x -3=0$，满足“一个未知数、最高次数2、整式方程”，属于一元二次方程；
选项B：$3x+2=0$是一元一次方程，未知数最高次数为1，不符合；
选项C：$3x+y=0$含有两个未知数，是二元一次方程，不符合；
选项D：$2x^2 - \dfrac{1}{x}=0$中分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的核心定义，需准确把握“一元、二次、整式方程”三个关键条件，逐一排查即可快速得出答案，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宁波江北)用配方法解方程$x^2+4x-10=0$时,下列配方结果正确的是 (
A.$(x-2)^2=12$
B.$(x+2)^2=12$
C.$(x-2)^2=14$
D.$(x+2)^2=14$
D
)A.$(x-2)^2=12$
B.$(x+2)^2=12$
C.$(x-2)^2=14$
D.$(x+2)^2=14$
答案
2.D
解析
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题思路为：先将方程的常数项移到等号右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边式子配成完全平方式，最后对比选项选出正确结果。
【解析】用配方法解方程$x^2+4x-10=0$，步骤如下：
① 移项：把常数项移到等号右边，得$x^2+4x=10$；
② 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，等式两边同时加4，得$x^2+4x+4=10+4$；
③ 整理：左边可化为完全平方式$(x+2)^2$，右边计算得14，即$(x+2)^2=14$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，属于一元二次方程解法的入门题目，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】用配方法解方程$x^2+4x-10=0$，步骤如下：
① 移项：把常数项移到等号右边，得$x^2+4x=10$；
② 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，等式两边同时加4，得$x^2+4x+4=10+4$；
③ 整理：左边可化为完全平方式$(x+2)^2$，右边计算得14，即$(x+2)^2=14$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，属于一元二次方程解法的入门题目，难度较低。
【难度系数】0.8
3.(2024·衢州)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-1=0$的一个解是$x=-1$，则代数式$2024-a+b$的值为 （
A.$-2023$
B.$-2025$
C.$2023$
D.$2025$
C
）A.$-2023$
B.$-2025$
C.$2023$
D.$2025$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程解的应用，解题思路是：先利用“方程的解满足方程”这一性质，将已知解$x=-1$代入给定的一元二次方程，得到关于$a$、$b$的关系式，再通过变形将该关系式整体代入所求代数式，进而计算出结果。
【解析】
解：因为$x=-1$是一元二次方程$ax^2 + bx -1 =0$的解，所以将$x=-1$代入方程得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) -1 = 0$
化简得：$a - b -1 = 0$，即$a - b = 1$。
对代数式$2024 - a + b$变形可得：$2024 - (a - b)$，
将$a - b =1$代入上式得：$2024 - 1 = 2023$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程解的定义，解题关键是运用整体代入思想，将方程解代入后得到的$a$、$b$的关系整体代入所求代数式，计算过程简单，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程解的应用，解题思路是：先利用“方程的解满足方程”这一性质，将已知解$x=-1$代入给定的一元二次方程，得到关于$a$、$b$的关系式，再通过变形将该关系式整体代入所求代数式，进而计算出结果。
【解析】
解：因为$x=-1$是一元二次方程$ax^2 + bx -1 =0$的解，所以将$x=-1$代入方程得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) -1 = 0$
化简得：$a - b -1 = 0$，即$a - b = 1$。
对代数式$2024 - a + b$变形可得：$2024 - (a - b)$，
将$a - b =1$代入上式得：$2024 - 1 = 2023$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程解的定义，解题关键是运用整体代入思想，将方程解代入后得到的$a$、$b$的关系整体代入所求代数式，计算过程简单，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
4.(2024·湖州吴兴、长兴)在用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了$a,b,c$得到$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}$，则她求解的一元二次方程是（
A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$
A
）A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$
答案
4.A
解析
【分析】
要确定所求的一元二次方程，需利用一元二次方程求根公式的结构，对比已知的求根表达式反推系数。步骤如下：1.回忆求根公式的标准形式；2.对比题目给出的表达式，分别确定a、b、c的值；3.组合得到方程，匹配选项。
【解析】
根据一元二次方程求根公式 $ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $，对比题目中给出的表达式 $ x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2} $：
1. 分母为 $ 2a=2×2 $，解得 $ a=2 $；
2. 分子中 $ -b=3 $，解得 $ b=-3 $；
3. 根号内的常数项为 $ b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1) $，对应得 $ c=-1 $；
因此，所求一元二次方程为 $ ax^2+bx+c=0 $，即 $ 2x^2-3x-1=0 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程系数
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是明确求根公式中a、b、c的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要确定所求的一元二次方程，需利用一元二次方程求根公式的结构，对比已知的求根表达式反推系数。步骤如下：1.回忆求根公式的标准形式；2.对比题目给出的表达式，分别确定a、b、c的值；3.组合得到方程，匹配选项。
【解析】
根据一元二次方程求根公式 $ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $，对比题目中给出的表达式 $ x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2} $：
1. 分母为 $ 2a=2×2 $，解得 $ a=2 $；
2. 分子中 $ -b=3 $，解得 $ b=-3 $；
3. 根号内的常数项为 $ b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1) $，对应得 $ c=-1 $；
因此，所求一元二次方程为 $ ax^2+bx+c=0 $，即 $ 2x^2-3x-1=0 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程系数
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的逆用，核心是明确求根公式中a、b、c的对应关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
