登录
5.(2025·温岭)关于$x$的一元二次方程$2x^2 - kx - 6 = 0$的根的情况是 （
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.有两个异号的实数根
D
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.有两个异号的实数根
答案
5.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需结合根的判别式判断根的个数，再通过韦达定理（根与系数的关系）判断根的符号关系。首先计算判别式确定实根个数，再计算两根之积判断根的正负性，逐步排除错误选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$2x^2 - kx - 6 = 0$，其中$a=2$，$b=-k$，$c=-6$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 × 2 × (-6) = k^2 + 48$
因为$k^2 ≥ 0$，所以$\Delta = k^2 + 48 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，排除选项A（无实根）和B（两个相等实根）。
2. 计算两根之积（韦达定理）：
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3 ＜ 0$，说明两个实数根异号，排除选项C（两个同号实根）。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，难度较低，需熟练掌握判别式与根的个数的关系、两根之积符号与根正负性的联系，属于初中数学常规基础题。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的情况，需结合根的判别式判断根的个数，再通过韦达定理（根与系数的关系）判断根的符号关系。首先计算判别式确定实根个数，再计算两根之积判断根的正负性，逐步排除错误选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$2x^2 - kx - 6 = 0$，其中$a=2$，$b=-k$，$c=-6$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 × 2 × (-6) = k^2 + 48$
因为$k^2 ≥ 0$，所以$\Delta = k^2 + 48 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，排除选项A（无实根）和B（两个相等实根）。
2. 计算两根之积（韦达定理）：
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3 ＜ 0$，说明两个实数根异号，排除选项C（两个同号实根）。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，难度较低，需熟练掌握判别式与根的个数的关系、两根之积符号与根正负性的联系，属于初中数学常规基础题。
【难度系数】
0.7
6.(2025·奉化、象山、宁海)某校组织足球比赛,赛制为单循环形式(即每两队之间赛一场),计划安排21场比赛,应邀请多少队参加比赛?设应有$x$队参加比赛,根据题意,可列方程为 (
A.$x^2=21$
B.$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$
C.$\dfrac{1}{2}x^2=21$
D.$x(x-1)=21$
B
)A.$x^2=21$
B.$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$
C.$\dfrac{1}{2}x^2=21$
D.$x(x-1)=21$
答案
6.B
解析
【分析】
本题是一元二次方程在单循环比赛场次中的应用问题。首先明确单循环赛制的特点：每两队之间仅赛一场，无重复计数。若有$x$个队参赛，每个队需与其余$(x-1)$个队各赛一场，总场次初步计算为$x(x-1)$，但每场比赛被两个队各计一次，实际场次需除以2，据此结合题目给出的总场次21场列方程，再对应选项选出答案。
【解析】
设邀请$x$个队参加比赛。单循环赛制下，每个队要赛$(x-1)$场，$x$个队共赛$x(x-1)$场；由于每场比赛被重复计算了2次，因此实际比赛总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场。已知计划安排21场比赛，可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=21$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、单循环比赛场次计算
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，核心是理解单循环赛制中场次的重复计数问题，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程在单循环比赛场次中的应用问题。首先明确单循环赛制的特点：每两队之间仅赛一场，无重复计数。若有$x$个队参赛，每个队需与其余$(x-1)$个队各赛一场，总场次初步计算为$x(x-1)$，但每场比赛被两个队各计一次，实际场次需除以2，据此结合题目给出的总场次21场列方程，再对应选项选出答案。
【解析】
设邀请$x$个队参加比赛。单循环赛制下，每个队要赛$(x-1)$场，$x$个队共赛$x(x-1)$场；由于每场比赛被重复计算了2次，因此实际比赛总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场。已知计划安排21场比赛，可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=21$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、单循环比赛场次计算
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，核心是理解单循环赛制中场次的重复计数问题，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
7.(2024·丽水)已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx - m = 0$的一个根是$-\dfrac{1}{2}$，则方程的另一个根是 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.$-1$
C
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.$-1$
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，可通过两种思路：一是将已知根代入方程求出参数$m$，再解一元二次方程得到另一个根；二是直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算，两种方法均能得出结果。
【解析】
方法一：代入求参数后解方程
1. 将已知根$x=-\dfrac{1}{2}$代入方程$2x^2 - mx - m = 0$：
$2×(-\dfrac{1}{2})^2 - m×(-\dfrac{1}{2}) - m = 0$
计算得：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{m}{2} - m = 0$，化简为$\dfrac{1}{2} - \dfrac{m}{2} = 0$，解得$m=1$。
2. 将$m=1$代入原方程，得$2x^2 - x - 1 = 0$，因式分解为$(2x+1)(x-1)=0$，解得根为$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$，故另一个根为1。
方法二：利用韦达定理
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\dfrac{b}{a}$。本题中$a=2$，$b=-m$，设两根为$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2$，则：
$x_1 + x_2 = \dfrac{m}{2}$
代入$x_1=-\dfrac{1}{2}$求得$m=1$，因此：
$-\dfrac{1}{2} + x_2 = \dfrac{1}{2}$
解得$x_2=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查对根的性质和韦达定理的掌握，解题思路清晰，计算量小，适合作为基础巩固类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可通过两种思路：一是将已知根代入方程求出参数$m$，再解一元二次方程得到另一个根；二是直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算，两种方法均能得出结果。
【解析】
方法一：代入求参数后解方程
1. 将已知根$x=-\dfrac{1}{2}$代入方程$2x^2 - mx - m = 0$：
$2×(-\dfrac{1}{2})^2 - m×(-\dfrac{1}{2}) - m = 0$
计算得：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{m}{2} - m = 0$，化简为$\dfrac{1}{2} - \dfrac{m}{2} = 0$，解得$m=1$。
2. 将$m=1$代入原方程，得$2x^2 - x - 1 = 0$，因式分解为$(2x+1)(x-1)=0$，解得根为$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$，故另一个根为1。
方法二：利用韦达定理
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\dfrac{b}{a}$。本题中$a=2$，$b=-m$，设两根为$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2$，则：
$x_1 + x_2 = \dfrac{m}{2}$
代入$x_1=-\dfrac{1}{2}$求得$m=1$，因此：
$-\dfrac{1}{2} + x_2 = \dfrac{1}{2}$
解得$x_2=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查对根的性质和韦达定理的掌握，解题思路清晰，计算量小，适合作为基础巩固类题目。
【难度系数】
0.7
8.(2024·诸暨)已知关于$x$的方程$b^2x^2+abx+a^2-3b^2+1=0(a,b$为常数,且$ab≠0)$,下列一定不是方程的实数解的是 （
①$x=-2$;②$x=-1$;③$x=1$;④$x=2$。
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④
A
）①$x=-2$;②$x=-1$;③$x=1$;④$x=2$。
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④
答案
8.A
解析
【分析】
要判断某个值是否为方程的实数解，需将该值代入原方程，结合$ab≠0$（即$a≠0,b≠0$）的条件，通过代数式变形分析式子是否可能等于0。本题分别把四个选项的$x$代入方程，利用平方的非负性判断式子是否成立，进而确定一定不是解的选项。
【解析】
将各选项中的$x$代入原方程$b^2x^2+abx+a^2-3b^2+1=0$，结合$ab≠0$分析：
1. 代入$x=-2$：
左边$=b^2·(-2)^2 + ab·(-2) +a^2 -3b^2 +1 =4b^2 -2ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 -2ab +b^2 +1=(a-b)^2 +1$
∵$(a-b)^2≥0$，
∴$(a-b)^2 +1≥1＞0$，不可能等于0，故$x=-2$一定不是方程的解；
2. 代入$x=-1$：
左边$=b^2·(-1)^2 + ab·(-1) +a^2 -3b^2 +1 =b^2 -ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 -ab -2b^2 +1$，当$a、b$取合适值时，该式可能等于0，故$x=-1$可能是解；
3. 代入$x=1$：
左边$=b^2·1^2 + ab·1 +a^2 -3b^2 +1 =b^2 +ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 +ab -2b^2 +1$，当$a、b$取合适值时，该式可能等于0，故$x=1$可能是解；
4. 代入$x=2$：
左边$=b^2·2^2 + ab·2 +a^2 -3b^2 +1 =4b^2 +2ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 +2ab +b^2 +1=(a+b)^2 +1$
∵$(a+b)^2≥0$，
∴$(a+b)^2 +1≥1＞0$，不可能等于0，故$x=2$一定不是方程的解；
综上，一定不是方程解的是①$x=-2$和④$x=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解、代数式变形、平方的非负性
【点评】
本题通过代入验证结合配方的方法判断方程的解，核心是利用平方的非负性分析式子的取值范围，考查了代数式变形能力和对一元二次方程解的理解，需注意$ab≠0$的条件限制。
【难度系数】
0.4
要判断某个值是否为方程的实数解，需将该值代入原方程，结合$ab≠0$（即$a≠0,b≠0$）的条件，通过代数式变形分析式子是否可能等于0。本题分别把四个选项的$x$代入方程，利用平方的非负性判断式子是否成立，进而确定一定不是解的选项。
【解析】
将各选项中的$x$代入原方程$b^2x^2+abx+a^2-3b^2+1=0$，结合$ab≠0$分析：
1. 代入$x=-2$：
左边$=b^2·(-2)^2 + ab·(-2) +a^2 -3b^2 +1 =4b^2 -2ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 -2ab +b^2 +1=(a-b)^2 +1$
∵$(a-b)^2≥0$，
∴$(a-b)^2 +1≥1＞0$，不可能等于0，故$x=-2$一定不是方程的解；
2. 代入$x=-1$：
左边$=b^2·(-1)^2 + ab·(-1) +a^2 -3b^2 +1 =b^2 -ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 -ab -2b^2 +1$，当$a、b$取合适值时，该式可能等于0，故$x=-1$可能是解；
3. 代入$x=1$：
左边$=b^2·1^2 + ab·1 +a^2 -3b^2 +1 =b^2 +ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 +ab -2b^2 +1$，当$a、b$取合适值时，该式可能等于0，故$x=1$可能是解；
4. 代入$x=2$：
左边$=b^2·2^2 + ab·2 +a^2 -3b^2 +1 =4b^2 +2ab +a^2 -3b^2 +1 =a^2 +2ab +b^2 +1=(a+b)^2 +1$
∵$(a+b)^2≥0$，
∴$(a+b)^2 +1≥1＞0$，不可能等于0，故$x=2$一定不是方程的解；
综上，一定不是方程解的是①$x=-2$和④$x=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解、代数式变形、平方的非负性
【点评】
本题通过代入验证结合配方的方法判断方程的解，核心是利用平方的非负性分析式子的取值范围，考查了代数式变形能力和对一元二次方程解的理解，需注意$ab≠0$的条件限制。
【难度系数】
0.4
二、填空题
答案
解：未给出该填空题的具体题干内容，无法完成对应解答，请补充完整具体题目信息后再进行求解。
解析
【分析】由于未提供该填空题的具体题干内容，无法梳理解题思路，需补充完整题目信息后再进行分析。
【解析】因缺少该填空题的具体题干，无法进行具体的解答操作，请补充完整题目内容后再尝试求解。
【答案】解：未给出该填空题的具体题干内容，无法完成对应解答，请补充完整具体题目信息后再进行求解。
【知识点】无
【点评】题目未给出具体填空内容，无法完成解答，需补充完整题干信息。
【难度系数】0.0
【解析】因缺少该填空题的具体题干，无法进行具体的解答操作，请补充完整题目内容后再尝试求解。
【答案】解：未给出该填空题的具体题干内容，无法完成对应解答，请补充完整具体题目信息后再进行求解。
【知识点】无
【点评】题目未给出具体填空内容，无法完成解答，需补充完整题干信息。
【难度系数】0.0
9.(2025·永康)写一个二次项系数为1,两根分别为-2和3的一元二次方程：______。
答案
9.$x^2-x-6=0$
解析
【分析】本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）构造方程，对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程形式为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，只需计算两根的和与积，代入公式即可得到所求方程。
【解析】设所求一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$（二次项系数为1），已知两根$x_1=-2$，$x_2=3$。根据韦达定理：
1. 两根之和：$x_1 + x_2 = -b$，代入得$-2 + 3 = -b$，解得$b=-1$；
2. 两根之积：$x_1x_2 = c$，代入得$(-2)×3 = c$，解得$c=-6$。
因此，所求方程为$x^2 -x -6=0$。
【答案】$x^2 -x -6=0$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、构造一元二次方程
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握二次项系数为1时，利用韦达定理构造方程的方法，计算过程简单直接，是对韦达定理的基础应用考查。
【难度系数】0.8
【解析】设所求一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$（二次项系数为1），已知两根$x_1=-2$，$x_2=3$。根据韦达定理：
1. 两根之和：$x_1 + x_2 = -b$，代入得$-2 + 3 = -b$，解得$b=-1$；
2. 两根之积：$x_1x_2 = c$，代入得$(-2)×3 = c$，解得$c=-6$。
因此，所求方程为$x^2 -x -6=0$。
【答案】$x^2 -x -6=0$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、构造一元二次方程
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握二次项系数为1时，利用韦达定理构造方程的方法，计算过程简单直接，是对韦达定理的基础应用考查。
【难度系数】0.8
10.(2024·舟山定海)若关于x的一元二次方程$(a-2)x^2 - 3x + a^2 - 4 = 0$的一个根为0，则$a=$
-2
。答案
10.-2
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和方程根的性质：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，这是方程为一元二次方程的前提；其次，方程的根代入方程后等式成立，因此将x=0代入方程，再结合二次项系数的限制条件，即可求出a的值。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：对于方程$(a-2)x^2 - 3x + a^2 - 4 = 0$，它是一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即$a - 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$。
2. 利用方程根的性质：因为x=0是方程的根，将x=0代入方程，得：
$(a-2)×0^2 - 3×0 + a^2 - 4 = 0$，化简后为$a^2 - 4 = 0$，解得$a = 2$或$a = -2$。
3. 结合二次项系数的限制：由步骤1知$a ≠ 2$，因此舍去$a=2$，最终得$a=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义与根的性质，解题时需注意：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是易忽略的易错点，需仔细审题避免失分。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和方程根的性质：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，这是方程为一元二次方程的前提；其次，方程的根代入方程后等式成立，因此将x=0代入方程，再结合二次项系数的限制条件，即可求出a的值。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：对于方程$(a-2)x^2 - 3x + a^2 - 4 = 0$，它是一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即$a - 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$。
2. 利用方程根的性质：因为x=0是方程的根，将x=0代入方程，得：
$(a-2)×0^2 - 3×0 + a^2 - 4 = 0$，化简后为$a^2 - 4 = 0$，解得$a = 2$或$a = -2$。
3. 结合二次项系数的限制：由步骤1知$a ≠ 2$，因此舍去$a=2$，最终得$a=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义与根的性质，解题时需注意：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是易忽略的易错点，需仔细审题避免失分。
【难度系数】
0.5
11.(2024·宁波北仑)若实数$a,b$满足$2a^2 - 5a = 2b^2 - 5b = 3$，且$a≠b$，则$a^2b+ab^2$的值为________。
答案
11.$-\dfrac{15}{4}$
解析
【分析】
首先观察到a、b都满足等式2x² -5x =3，且a≠b，因此a、b是一元二次方程2x² -5x -3=0的两个不相等的实数根。接下来利用韦达定理求出两根之和a+b与两根之积ab，再将所求代数式a²b +ab²因式分解为ab(a+b)，代入已求得的a+b和ab的值即可算出结果。
【解析】
解：由题意可知，a、b是一元二次方程2x² -5x -3=0的两个不相等的实数根，
根据韦达定理，对于一元二次方程Ax²+Bx+C=0，两根x₁、x₂满足：x₁+x₂ = -B/A，x₁x₂ = C/A，
在此方程中，A=2，B=-5，C=-3，
因此a+b = -(-5)/2 = 5/2，ab = -3/2，
对所求代数式因式分解：
a²b +ab² = ab(a+b)，
将a+b=5/2，ab=-3/2代入得：
原式 = (-3/2)×(5/2) = -15/4。
【答案】
-15/4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；因式分解的应用
【点评】
本题核心是利用“a、b为同一一元二次方程的不等实根”的性质，结合韦达定理简化计算，避免直接求解a、b的值，体现了整体代入的数学思想，是一元二次方程章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
首先观察到a、b都满足等式2x² -5x =3，且a≠b，因此a、b是一元二次方程2x² -5x -3=0的两个不相等的实数根。接下来利用韦达定理求出两根之和a+b与两根之积ab，再将所求代数式a²b +ab²因式分解为ab(a+b)，代入已求得的a+b和ab的值即可算出结果。
【解析】
解：由题意可知，a、b是一元二次方程2x² -5x -3=0的两个不相等的实数根，
根据韦达定理，对于一元二次方程Ax²+Bx+C=0，两根x₁、x₂满足：x₁+x₂ = -B/A，x₁x₂ = C/A，
在此方程中，A=2，B=-5，C=-3，
因此a+b = -(-5)/2 = 5/2，ab = -3/2，
对所求代数式因式分解：
a²b +ab² = ab(a+b)，
将a+b=5/2，ab=-3/2代入得：
原式 = (-3/2)×(5/2) = -15/4。
【答案】
-15/4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；因式分解的应用
【点评】
本题核心是利用“a、b为同一一元二次方程的不等实根”的性质，结合韦达定理简化计算，避免直接求解a、b的值，体现了整体代入的数学思想，是一元二次方程章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
12.(2024·金华金东、婺城)对于实数a,b定义新运算：$a△ b=b^2 - ab$。若关于x的方程$6△ x = k$有两个相等的实数根，则k的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
12.-9
解析
【分析】首先明确新运算的规则：$a△b = b^2 - ab$，将$6△x$中的$a$替换为6、$b$替换为$x$，转化为代数式；再代入方程得到关于$x$的一元二次方程，利用“一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0”的性质，即可求出$k$的值。
【解析】根据新运算定义，$6△x = x^2 - 6x$，则方程$6△x = k$可转化为：
$x^2 - 6x = k$，整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - 6x - k = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当方程有两个相等实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
此方程中$a=1$，$b=-6$，$c=-k$，代入判别式得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(-k) = 36 + 4k$。
令$\Delta = 0$，即$36 + 4k = 0$，解得$k = -9$。
【答案】-9
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确解读新运算规则，将陌生问题转化为熟悉的一元二次方程问题，属于基础题型，侧重考查对概念的理解与应用。
【难度系数】0.5
【解析】根据新运算定义，$6△x = x^2 - 6x$，则方程$6△x = k$可转化为：
$x^2 - 6x = k$，整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - 6x - k = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当方程有两个相等实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
此方程中$a=1$，$b=-6$，$c=-k$，代入判别式得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(-k) = 36 + 4k$。
令$\Delta = 0$，即$36 + 4k = 0$，解得$k = -9$。
【答案】-9
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确解读新运算规则，将陌生问题转化为熟悉的一元二次方程问题，属于基础题型，侧重考查对概念的理解与应用。
【难度系数】0.5
13.(2024·丽水)《九章算术》中有如下问题:今有户不知高广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高、广、邪各几何?该问题的意思是:今有门不知其高和宽,有竿不知其长短,横放竿比门宽长出4尺,竖放竿比门高长出2尺,斜放竿与门对角线恰好相等,问门高、宽和对角线的长各是多少?则该问题中门宽为________尺。
答案
13.6
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题思路为：先设门宽为未知数，根据题意表示出门高、竿长，再利用斜放时竿长等于门对角线长，结合勾股定理建立方程，求解方程得到门宽。
【解析】
设门宽为$x$尺，则竿长为$(x + 4)$尺，门高为$(x + 4 - 2) = (x + 2)$尺。
因为斜放时竿长与门对角线相等，根据勾股定理：门宽² + 门高² = 对角线²，可列方程：
$x^2 + (x + 2)^2 = (x + 4)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x + 2) = 0$
解得$x = 6$或$x = -2$，因为长度不能为负，舍去$x = -2$，故门宽为6尺。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，关键是理清各量间的关系，通过勾股定理建立方程求解，属于中等难度的应用题型。
【难度系数】
0.5
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题思路为：先设门宽为未知数，根据题意表示出门高、竿长，再利用斜放时竿长等于门对角线长，结合勾股定理建立方程，求解方程得到门宽。
【解析】
设门宽为$x$尺，则竿长为$(x + 4)$尺，门高为$(x + 4 - 2) = (x + 2)$尺。
因为斜放时竿长与门对角线相等，根据勾股定理：门宽² + 门高² = 对角线²，可列方程：
$x^2 + (x + 2)^2 = (x + 4)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x + 2) = 0$
解得$x = 6$或$x = -2$，因为长度不能为负，舍去$x = -2$，故门宽为6尺。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，关键是理清各量间的关系，通过勾股定理建立方程求解，属于中等难度的应用题型。
【难度系数】
0.5
