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【例1】 如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO。若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2。其中正确结论的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题思路】 根据矩形的性质易得OB＝OC＝OA，结合∠COB＝60°，得出△OBC是等边三角形，∴∠BAO＝30°，∠FCO＝∠BAO＝30°，∵FC＝FO，易得∠FOC＝∠FCO＝30°，∴∠FOB＝90°，然后利用“HL”可得△FOB≌△FCB，得出∠FBO＝∠FBC，即BM是等边三角形OBC的角平分线，结合等边三角形的性质可得FB⊥OC，OM＝CM；∵O是AC的中点，结合矩形的性质可得△AOE和△COF全等，∴AE＝CF，∴BE＝DF，再结合矩形的性质可得四边形EBFD是平行四边形，结合△OBC是等边三角形，容易证明△EOB≌△FOB，得出邻边BF＝BE，从而得出四边形EBFD是菱形；设OE＝x，则OF＝x，∵∠FOM＝∠OBF＝30°，∴BF＝2x，MF＝$\frac{1}{2}x$，∴BM＝2x－$\frac{1}{2}x$＝$\frac{3}{2}x$，从而求出MB∶OE的值。
【解答过程】 解：∵四边形ABCD是矩形，且O是AC的中点，∴OB＝OC＝OA，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠BAO＝30°，∠FCO＝∠BAO＝30°，∵FC＝FO，∴∠FOC＝∠FCO＝30°，∴∠FOB＝90°，在Rt△FOB和Rt△FCB中，$\{\begin{array}{l}FB=FB,\\ FO=FC,\end{array} $∴△FOB≌△FCB，∴∠FBO＝∠FBC，即BM是等边三角形OBC的角平分线，∴FB⊥OC，OM＝CM；∵O是AC的中点，CF//AE，∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，$\{\begin{array}{l}∠ FCO=∠ EAO,\\ OC=OA,\\ ∠ FOC=∠ EOA,\end{array} $∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴BE＝DF，又EB//FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠FBO＝∠EBO，BO＝BO，∠FOB＝∠EOB，∴△EOB≌△FOB，∴BF＝BE，∴四边形EBFD是菱形；设OE＝x，则OF＝x，∵∠FOM＝∠OBF＝30°，∴BF＝2x，MF＝$\frac{1}{2}x$，∴BM＝2x－$\frac{1}{2}x$＝$\frac{3}{2}x$，∴MB∶OE＝$\frac{3}{2}x$∶x＝3∶2。∴①③④正确，故选择C。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是没有正确运用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，或者对三角形全等的条件的书写不正确。
【归纳拓展】 根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证明思路如下：
【方法规律】 ①证明线段相等一般通过三角形全等来证明；②矩形对角线的夹角为60°是常见的考点，此时常常转化为等边三角形；③利用等边三角形三线合一定理证明垂直平分线；④菱形是特殊的平行四边形，因而在判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，然后再在平行四边形的基础上增加条件（边或角）判定是菱形，菱形的判定注意选择不同的方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题思路】 根据矩形的性质易得OB＝OC＝OA，结合∠COB＝60°，得出△OBC是等边三角形，∴∠BAO＝30°，∠FCO＝∠BAO＝30°，∵FC＝FO，易得∠FOC＝∠FCO＝30°，∴∠FOB＝90°，然后利用“HL”可得△FOB≌△FCB，得出∠FBO＝∠FBC，即BM是等边三角形OBC的角平分线，结合等边三角形的性质可得FB⊥OC，OM＝CM；∵O是AC的中点，结合矩形的性质可得△AOE和△COF全等，∴AE＝CF，∴BE＝DF，再结合矩形的性质可得四边形EBFD是平行四边形，结合△OBC是等边三角形，容易证明△EOB≌△FOB，得出邻边BF＝BE，从而得出四边形EBFD是菱形；设OE＝x，则OF＝x，∵∠FOM＝∠OBF＝30°，∴BF＝2x，MF＝$\frac{1}{2}x$，∴BM＝2x－$\frac{1}{2}x$＝$\frac{3}{2}x$，从而求出MB∶OE的值。
【解答过程】 解：∵四边形ABCD是矩形，且O是AC的中点，∴OB＝OC＝OA，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠BAO＝30°，∠FCO＝∠BAO＝30°，∵FC＝FO，∴∠FOC＝∠FCO＝30°，∴∠FOB＝90°，在Rt△FOB和Rt△FCB中，$\{\begin{array}{l}FB=FB,\\ FO=FC,\end{array} $∴△FOB≌△FCB，∴∠FBO＝∠FBC，即BM是等边三角形OBC的角平分线，∴FB⊥OC，OM＝CM；∵O是AC的中点，CF//AE，∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，$\{\begin{array}{l}∠ FCO=∠ EAO,\\ OC=OA,\\ ∠ FOC=∠ EOA,\end{array} $∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴BE＝DF，又EB//FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠FBO＝∠EBO，BO＝BO，∠FOB＝∠EOB，∴△EOB≌△FOB，∴BF＝BE，∴四边形EBFD是菱形；设OE＝x，则OF＝x，∵∠FOM＝∠OBF＝30°，∴BF＝2x，MF＝$\frac{1}{2}x$，∴BM＝2x－$\frac{1}{2}x$＝$\frac{3}{2}x$，∴MB∶OE＝$\frac{3}{2}x$∶x＝3∶2。∴①③④正确，故选择C。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是没有正确运用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，或者对三角形全等的条件的书写不正确。
【归纳拓展】 根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证明思路如下：
【方法规律】 ①证明线段相等一般通过三角形全等来证明；②矩形对角线的夹角为60°是常见的考点，此时常常转化为等边三角形；③利用等边三角形三线合一定理证明垂直平分线；④菱形是特殊的平行四边形，因而在判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，然后再在平行四边形的基础上增加条件（边或角）判定是菱形，菱形的判定注意选择不同的方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从矩形的性质入手，矩形对角线相等且互相平分，结合O是AC中点可得OB=OC，再结合∠COB=60°，可推出△OBC是等边三角形，得到相关角的度数。接下来逐个验证4个结论：①结合FO=FC的条件，通过HL证明△FOB≌△FCB，利用等边三角形三线合一的性质判断FB⊥OC、OM=CM是否成立；②对比△EOB和△CMB的边和角，判断全等条件是否满足；③先通过△AOE≌△COF得到BE=DF，证出四边形EBFD是平行四边形，再证明邻边相等即可判定是否为菱形；④设OE的长度为参数，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，分别求出MB和OE的长度，计算比值判断是否正确。最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，且O是AC的中点，
∴OB＝OC＝OA，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BAO＝30°，∠FCO＝∠BAO＝30°，
∵FC＝FO，
∴∠FOC＝∠FCO＝30°，
∴∠FOB＝90°，
在$\mathrm{Rt}△ FOB$和$\mathrm{Rt}△ FCB$中，$\begin{cases}FB=FB\\FO=FC\end{cases}$，
∴$△ FOB≌△ FCB(\mathrm{HL})$，
∴∠FBO＝∠FBC，即BM是等边$△ OBC$的角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，可得FB⊥OC，OM＝CM，故①正确；
∵O是AC中点，$AB// CD$，
∴∠FCO＝∠EAO，
在$△ AOE$和$△ COF$中，$\begin{cases}∠ FCO=∠ EAO\\OA=OC\\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$，
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
∴AE＝CF，
∴$AB-AE=CD-CF$，即$BE=DF$，又
∵$BE// DF$，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠FBO＝∠EBO，$BO=BO$，∠FOB＝∠EOB＝90°，
∴$△ EOB≌△ FOB(\mathrm{ASA})$，
∴$BE=BF$，
∴平行四边形EBFD是菱形，故③正确；
$△ EOB$和$△ CMB$中，虽然∠EOB=∠CMB=90°，∠EBO=∠CBM，但对应边$OB≠ BC$，不满足全等判定条件，故②错误；
设$OE=x$，由$△ EOB≌△ FOB$得$OF=OE=x$，
∵在$\mathrm{Rt}△ OMF$中，∠FOC=30°，
∴$MF=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}x$，
又
∵在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，∠OBF=30°，
∴$BF=2OF=2x$，
∴$MB=BF-MF=2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
∴$MB:OE=\frac{3}{2}x:x=3:2$，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形综合题，需要逐个验证多个结论，综合性较强。解题时要熟练结合全等三角形判定、直角三角形30°角的性质、特殊平行四边形的性质与判定等知识逐步推导，注意不要误判全等三角形的对应条件。
【难度系数】
0.6
解题时首先从矩形的性质入手，矩形对角线相等且互相平分，结合O是AC中点可得OB=OC，再结合∠COB=60°，可推出△OBC是等边三角形，得到相关角的度数。接下来逐个验证4个结论：①结合FO=FC的条件，通过HL证明△FOB≌△FCB，利用等边三角形三线合一的性质判断FB⊥OC、OM=CM是否成立；②对比△EOB和△CMB的边和角，判断全等条件是否满足；③先通过△AOE≌△COF得到BE=DF，证出四边形EBFD是平行四边形，再证明邻边相等即可判定是否为菱形；④设OE的长度为参数，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，分别求出MB和OE的长度，计算比值判断是否正确。最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，且O是AC的中点，
∴OB＝OC＝OA，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BAO＝30°，∠FCO＝∠BAO＝30°，
∵FC＝FO，
∴∠FOC＝∠FCO＝30°，
∴∠FOB＝90°，
在$\mathrm{Rt}△ FOB$和$\mathrm{Rt}△ FCB$中，$\begin{cases}FB=FB\\FO=FC\end{cases}$，
∴$△ FOB≌△ FCB(\mathrm{HL})$，
∴∠FBO＝∠FBC，即BM是等边$△ OBC$的角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，可得FB⊥OC，OM＝CM，故①正确；
∵O是AC中点，$AB// CD$，
∴∠FCO＝∠EAO，
在$△ AOE$和$△ COF$中，$\begin{cases}∠ FCO=∠ EAO\\OA=OC\\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$，
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
∴AE＝CF，
∴$AB-AE=CD-CF$，即$BE=DF$，又
∵$BE// DF$，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠FBO＝∠EBO，$BO=BO$，∠FOB＝∠EOB＝90°，
∴$△ EOB≌△ FOB(\mathrm{ASA})$，
∴$BE=BF$，
∴平行四边形EBFD是菱形，故③正确；
$△ EOB$和$△ CMB$中，虽然∠EOB=∠CMB=90°，∠EBO=∠CBM，但对应边$OB≠ BC$，不满足全等判定条件，故②错误；
设$OE=x$，由$△ EOB≌△ FOB$得$OF=OE=x$，
∵在$\mathrm{Rt}△ OMF$中，∠FOC=30°，
∴$MF=\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}x$，
又
∵在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，∠OBF=30°，
∴$BF=2OF=2x$，
∴$MB=BF-MF=2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
∴$MB:OE=\frac{3}{2}x:x=3:2$，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形综合题，需要逐个验证多个结论，综合性较强。解题时要熟练结合全等三角形判定、直角三角形30°角的性质、特殊平行四边形的性质与判定等知识逐步推导，注意不要误判全等三角形的对应条件。
【难度系数】
0.6
