1[中]已知$a,b,c$均为正数，且$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$（$k≠0$），则下列四个点中，在正比例函数$y=kx$图象上的是（）

A.$(1,\frac{1}{2})$
B.$(1,2)$
C.$(1,-\frac{1}{2})$
D.$(1,-1)$

1.A 【解析】由$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$可得$a+b=\frac{c}{k}$,$b+c=\frac{a}{k}$,$a+c=\frac{b}{k}$,$\therefore 2(a+b+c)=\frac{1}{k}(a+b+c)$,解得$k=\frac{1}{2}$. 将$k=\frac{1}{2}$代入$y=kx$得$y=\frac{1}{2}x$,将选项中点的坐标分别代入$y=\frac{1}{2}x$中可得,只有A选项满足函数表达式. 故选A.
思路分析
由题意可得
$a+b=\frac{c}{k},b+c=\frac{a}{k},a+c=\frac{b}{k}$,相加可得
$2(a+b+c)=\frac{1}{k}(a+b+c)$,
由此可求得$k$的值,进而可确定函数表达式,再将选项中的坐标一一代入函数表达式中验证即可.

2[较难]某函数的图象如图所示,当$0≤ x≤ a$时,在该函数图象上可找到$n$个不同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$,使得$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\dots=\frac{y_n}{x_n}$,则$n$的取值不可能为()


A.3
B.4
C.5
D.6

2.D 【解析】设$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\dots=\frac{y_n}{x_n}=k(k≠0)$,则$y_1=kx_1$,$y_2=kx_2$,$\dots$,$y_n=kx_n$,即点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$\dots$,$(x_n,y_n)$在正比例函数$y=kx$的图象上. 如图,正比例函数$y=kx$的图象与题中函数的图象最多有5个交点,不可能有6个交点. 故选D.
思路分析

3[2025上海闵行区期中,中]定义:对于给定的两个函数,当$x ≥ 0$时,它们对应的函数值相等;当$x＜0$时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数$y=-x$,它的相关函数为$y=\begin{cases}-x(x ≥ 0), \\x(x＜0).\end{cases}$已知正比例函数$y=2x$,若点$N(n,3)$在这个函数的相关函数的图象上,则$n$的值为 ______ .

3.$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}$ 【解析】由题意可得,正比例函数$y=2x$的相关函数为$y=\begin{cases}2x(x≥0), \\-2x(x＜0).\end{cases}$
∵点$N(n,3)$在$y=2x$的相关函数的图象上,
∴当$n≥0$时,$2n=3$,解得$n=\frac{3}{2}$;当$n＜0$时,$-2n=3$,解得$n=-\frac{3}{2}$,$\therefore n=\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}$. 故答案为$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}$.
关键点拨
根据相关函数的定义求出正比例函数$y=2x$的相关函数,再分类讨论求解即可.

4[2026江苏南京期末,中]如图,将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD的顶点都在格点上,若直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点,则k的取值范围是.

4.$\frac{1}{2}＜k＜2$ 【解析】由题意得点A的坐标为$(1,2)$,点C的坐标为$(2,1)$. 当直线$y=kx(k≠0)$经过点A时,$k=2$;经过点C时,$2k=1$,解得$k=\frac{1}{2}$.
∵直线$y=kx(k≠0)$与正方形ABCD有两个公共点,
∴结合图象可知k的取值范围是$\frac{1}{2}＜k＜2$,故答案为$\frac{1}{2}＜k＜2$.

5[2026湖北宜昌期末,较难]如图,已知直线a:$y=x$,直线b:$y=-\frac{1}{2}x$和点$P(1,0)$,过点P作y轴的平行线交直线a于点$P_1$,过点$P_1$作x轴的平行线交直线b于点$P_2$,过点$P_2$作y轴的平行线交直线a于点$P_3$,过点$P_3$作x轴的平行线交直线b于点$P_4$,…,按此作法进行下去,则点$P_{2025}$在第象限,它的横坐标为.

5.一 $2^{1012}$ 【解析】
∵$P(1,0)$,点$P_1$在直线$y=x$上,$PP_1// y$轴,
∴$P_1(1,1)$.
∵$P_1P_2// x$轴,
∴点$P_2$的纵坐标为1.
∵点$P_2$在直线$y=-\frac{1}{2}x$上,
∴$1=-\frac{1}{2}x$,解得$x=-2$,
∴$P_2(-2,1)$,即点$P_2$的横坐标为-2,且在第二象限. 同理,点$P_3$的横坐标为-2,且在第三象限;点$P_4$的横坐标为$2^2$,且在第四象限;点$P_5$的横坐标为$2^2$,且在第一象限;点$P_6$的横坐标为$-2^3$,且在第二象限;点$P_7$的横坐标为$-2^3$,且在第三象限;点$P_8$的横坐标为$2^4$,且在第四象限;点$P_9$的横坐标为$2^4$,且在第一象限;…,
∴点$P_{4n+1}$的横坐标为$2^{2n}$. 令$4n+1=2025$,解得$n=506$,
∴点$P_{2025}$的横坐标为$2^{2×506}=2^{1012}$,且在第一象限,故答案为一,$2^{1012}$.

6[2026上海静安区期中,较难]已知如下三个正比例函数:$y_1=\frac{1}{2}x,y_2=kx(k≠0),y_3=-2x.$
(1)当$x＞0$时,对于任意的$x$,均有$y_3＜y_1＜y_2$,直接写出$k$的取值范围:;
(2)如果直线$x=m(m≠0)$与直线$y_1=\frac{1}{2}x,y_2=kx(k≠0),y_3=-2x$顺次交于点$A,B,C$,且$AB=BC$,求$k$的值.

6.【解】(1)当$x＞0$时,则当$y_2=kx(k≠0)$的图象在$y_1=\frac{1}{2}x$图象的上方时,满足$y_3＜y_1＜y_2$,图象如图(1)所示,
∴$k＞\frac{1}{2}$,故答案为$k＞\frac{1}{2}$.
(2)由题意得$A(m,\frac{1}{2}m)$,$B(m,km)$,$C(m,-2m)$. 当$m＞0$时,如图(2).
∵$AB=BC$,
∴$\frac{1}{2}m - km = km - (-2m)$,解得$k=-\frac{3}{4}$. 当$m＜0$时,如图(3).
∵$AB=BC$,
∴$km - \frac{1}{2}m = -2m - km$,解得$k=-\frac{3}{4}$. 综上,$k$的值为$-\frac{3}{4}$.