1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，若AC=BD，求证：AD=BC.

1.证明:连接AB，
$\because AC⊥ BC,BD⊥ AD$,
$\therefore ∠ ADB=∠ BCA=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中,$\begin{cases} AB=BA, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$,
$\therefore AD=BC.$

2.如图,在△ABC中,点D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DE=DF,求证:AB=AC.

2.证明:连接AD，
$\because ∠ AED=∠ AFD=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$,
$\therefore AE=AF$,
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌△ CDF(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=CF,\therefore AB=AC.$

3.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AP⊥CD于P，求证：P为CD的中点。

3.证明:连接AC,AD，
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ B=∠ E, \\ BC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AD$,
又$\because ∠ APC=∠ APD=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ACP$和$\mathrm{Rt}△ ADP$中,$\begin{cases} AC=AD, \\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP≌\mathrm{Rt}△ ADP(\mathrm{HL})$,
$\therefore CP=DP,\therefore P为CD的中点.$

4.如图，$AD⊥BD$，$CE⊥AB$于点$E$，$AB=AC$，$AD=AE$，$CE$的延长线交$BD$于$F$点，
(1)求证:$DF=EF$；
(2)若$DF=1$，$BF=3$，求$CF$的长.

4.证明:连接AF，
(1)$\because ∠ ADF=∠ AEF=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，
$\begin{cases} AF=AF, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL})$,
$\therefore DF=EF;$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACE(\mathrm{HL})$,
$\therefore BD=CE=4;$
$CF=EF+CE=1+4=5.$

5.如图，$AD// BC$，$AD=BC$，点E在边AB上，$DE=AC$，$CF⊥ AB$于点F.求证:F是BE的中点.

5.证明:过点D作$DH⊥ AB$交BA的延长线于点H，
在$△ BCF$和$△ ADH$中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ DAH, \\ ∠ BFC=∠ AHD=90°, \\ BC=DA, \end{cases}$
$\therefore △ CBF≌△ DAH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BF=AH,DH=CF$,
在$\mathrm{Rt}△ DEH$和$\mathrm{Rt}△ CAF$中,$\begin{cases} DE=AC, \\ DH=CF, \end{cases}$
$\therefore △ DEH≌△ CAF(\mathrm{HL})$,
$\therefore HE=AF,\therefore HA=EF=BF$,
$\therefore F是BE的中点.$