1. 已知$a=\sqrt{2},b=\sqrt[3]{3}$，则a与b的大小关系是（）

A.$a ＜ b$
B.$a ＞ b$
C.$a = b$
D.无法确定

1. A

2. 比较大小：$\sqrt{10}$ $\sqrt[3]{30}$.（填“＞”“＜”或“=”）

2. ＞

3. 比较$-\sqrt{3}-1$与$-\sqrt{5}-2$的大小.

3. 因为$|-\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}+1,|-\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}+2,$且$\sqrt{3}＜\sqrt{5},1＜2,$所以$\sqrt{3}+1＜\sqrt{5}+2.$ 所以$-\sqrt{3}-1＞-\sqrt{5}-2.$

4. 比较$\sqrt{6-a}$与$\sqrt[3]{a-7}$的大小.

4. 由题意,得$6-a≥0,$所以$a≤6,$即$a-7＜0.$ 所以$\sqrt{6-a}≥0,\sqrt[3]{a-7}＜0,$即$\sqrt{6-a}＞\sqrt[3]{a-7}.$

5. 比较大小：$\sqrt{10}+2$ $\sqrt{65}-2$.
（填“＞”“＜”或“=”）

5. ＜ 解析: 因为$\sqrt{10}＜4,\sqrt{65}＞8,$所以$\sqrt{10}+2＜6,$$\sqrt{65}-2＞6,$即$\sqrt{10}+2＜\sqrt{65}-2.$

6. 比较大小：$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}$与$\sqrt{3}$。

6. 因为$\sqrt{2}＜2,\sqrt{3}＜2,$所以$\dfrac{1}{\sqrt{2}}＞\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞\dfrac{1}{2},$即$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2.$ 所以$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}＞\sqrt{3}.$

7. 新趋势 情境素材 “作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法.若 $a - b ＞ 0$，则 $a ＞ b$；若 $a - b = 0$，则 $a = b$；若 $a - b ＜ 0$，则 $a ＜ b$.
例:比较 $\sqrt{10} - 2$ 和 2 的大小.
由“作差法”，得 $\sqrt{10} - 2 - 2 = \sqrt{10} - 4$. 因为 $\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，所以 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$. 所以 $\sqrt{10} - 4 ＜ 0$，即 $\sqrt{10} - 2 ＜ 2$.
请你根据上面的方法解答下列问题:
(1) 比较 $\sqrt{5} - 1$ 和 1 的大小；
(2) 比较 $\sqrt{17} + 1$ 和 7 的大小.

7. (1) 由“作差法”,得$\sqrt{5}-1-1=\sqrt{5}-2.$ 因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9},$所以$2＜\sqrt{5}＜3.$ 所以$\sqrt{5}-2＞0,$即$\sqrt{5}-1＞1.$
(2) 由“作差法”,得$\sqrt{17}+1-7=\sqrt{17}-6.$ 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25},$所以$4＜\sqrt{17}＜5.$ 所以$\sqrt{17}-6＜0,$即$\sqrt{17}+1＜7.$

8. 观察下列一组等式，再解答问题：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1, (\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1, (\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})=1, (\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})=1,···.$
（1）利用上面的规律，计算：$( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2027}+\sqrt{2026}} )×(\sqrt{2027}+1);$
（2）利用上面的规律，比较$\sqrt{11}-\sqrt{10}$与$\sqrt{12}-\sqrt{11}$的大小.

8. (1) 由规律易知$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$($n$为正整数). 所以原式$=[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2027}-\sqrt{2026})]×(\sqrt{2027}+1)=(\sqrt{2027}-1)×(\sqrt{2027}+1)=2026.$
(2) 因为$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\sqrt{11}+\sqrt{10},\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\sqrt{12}+\sqrt{11},$且$\sqrt{11}+\sqrt{10}＜\sqrt{12}+\sqrt{11},$所以$\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}＜\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}},$即$\sqrt{11}-\sqrt{10}＞\sqrt{12}-\sqrt{11}.$