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13. 某校八年级学生开展踢毽子比赛活动,每班派5名学生参加,按团体总分多少排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位:个).
经统计发现,两班踢毽子总数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题:
(1)计算两班的优秀率.
(2)求两班比赛数据的中位数.
(3)计算两班比赛数据的方差哪一个小.
(4)根据以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级?简述你的理由.
经统计发现,两班踢毽子总数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题:
(1)计算两班的优秀率.
(2)求两班比赛数据的中位数.
(3)计算两班比赛数据的方差哪一个小.
(4)根据以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级?简述你的理由.
答案
13.(1)甲班的优秀率为3÷5=0.6=60%,乙班的优秀率为2÷5=0.4=40%.
(2)甲班5名学生比赛成绩的中位数是100个,乙班5名学生比赛成绩的中位数是97个.
(3)甲班的平均分为 $\bar{x}_甲=\frac{500}{5}=100$(分),乙班的平均分为 $\bar{x}_乙=\frac{500}{5}=100$(分). 甲班在这次比赛中的方差为 $σ_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$,乙班在这次比赛中的方差为 $σ_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$,
∴ $σ_甲^2＜σ_乙^2$,即甲班的方差小.
(4)应该把冠军奖状发给甲班. 因为甲班5名学生的比赛成绩的优秀率比乙班高,中位数比乙班大,方差比乙班小,综合评定甲班踢毽子水平较好.
(2)甲班5名学生比赛成绩的中位数是100个,乙班5名学生比赛成绩的中位数是97个.
(3)甲班的平均分为 $\bar{x}_甲=\frac{500}{5}=100$(分),乙班的平均分为 $\bar{x}_乙=\frac{500}{5}=100$(分). 甲班在这次比赛中的方差为 $σ_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$,乙班在这次比赛中的方差为 $σ_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$,
∴ $σ_甲^2＜σ_乙^2$,即甲班的方差小.
(4)应该把冠军奖状发给甲班. 因为甲班5名学生的比赛成绩的优秀率比乙班高,中位数比乙班大,方差比乙班小,综合评定甲班踢毽子水平较好.
解析
【分析】
解决本题可按小问逐步分析：
1. 求优秀率：先明确优秀标准为成绩≥100个，分别统计两班优秀人数，再用优秀人数除以总参赛人数（5人）即可得到优秀率。
2. 求中位数：先将两班的成绩分别按从小到大的顺序排列，由于数据个数为奇数，排在最中间的第3个数据就是该组数据的中位数。
3. 比较方差：两班总分均为500，因此平均成绩均为100个，再根据方差公式分别计算两班的方差，比较数值大小即可。
4. 判定冠军：结合三类统计量的意义分析，优秀率越高说明优秀人数越多，中位数越大说明中等水平更高，方差越小说明成绩越稳定，综合三个维度即可判断哪个班整体水平更优。
【解析】
(1) 成绩100个及以上为优秀，甲班5人中有3人成绩达标，乙班5人中有2人成绩达标：
甲班优秀率：$3÷5=0.6=60\%$
乙班优秀率：$2÷5=0.4=40\%$
(2) 将两班成绩从小到大排列：
甲班：89，98，100，103，110，中间的数为100，即甲班成绩中位数为100个；
乙班：89，95，97，100，119，中间的数为97，即乙班成绩中位数为97个。
(3) 两班平均成绩：
$\bar{x}_甲=\frac{500}{5}=100$（个），$\bar{x}_乙=\frac{500}{5}=100$（个）
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算：
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$
可得$s_甲^2＜s_乙^2$，即甲班方差更小。
(4) 应将冠军奖状发给甲班。理由：甲班的优秀率比乙班高，中位数比乙班大，方差比乙班小，综合评定甲班踢毽子水平更好。
【答案】
(1)甲班的优秀率为60%，乙班的优秀率为40%。
(2)甲班比赛成绩的中位数是100个，乙班比赛成绩的中位数是97个。
(3)甲班的方差更小。
(4)应该把冠军奖状发给甲班，因为甲班5名学生的比赛成绩的优秀率比乙班高，中位数比乙班大，方差比乙班小，综合评定甲班踢毽子水平较好。
【知识点】
优秀率计算、中位数、方差
【点评】
本题结合实际竞赛场景，考查了统计特征量的计算与实际应用，需要掌握各类统计量的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，才能结合实际问题做出合理的分析判断。
【难度系数】
0.7
解决本题可按小问逐步分析：
1. 求优秀率：先明确优秀标准为成绩≥100个，分别统计两班优秀人数，再用优秀人数除以总参赛人数（5人）即可得到优秀率。
2. 求中位数：先将两班的成绩分别按从小到大的顺序排列，由于数据个数为奇数，排在最中间的第3个数据就是该组数据的中位数。
3. 比较方差：两班总分均为500，因此平均成绩均为100个，再根据方差公式分别计算两班的方差，比较数值大小即可。
4. 判定冠军：结合三类统计量的意义分析，优秀率越高说明优秀人数越多，中位数越大说明中等水平更高，方差越小说明成绩越稳定，综合三个维度即可判断哪个班整体水平更优。
【解析】
(1) 成绩100个及以上为优秀，甲班5人中有3人成绩达标，乙班5人中有2人成绩达标：
甲班优秀率：$3÷5=0.6=60\%$
乙班优秀率：$2÷5=0.4=40\%$
(2) 将两班成绩从小到大排列：
甲班：89，98，100，103，110，中间的数为100，即甲班成绩中位数为100个；
乙班：89，95，97，100，119，中间的数为97，即乙班成绩中位数为97个。
(3) 两班平均成绩：
$\bar{x}_甲=\frac{500}{5}=100$（个），$\bar{x}_乙=\frac{500}{5}=100$（个）
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算：
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$
可得$s_甲^2＜s_乙^2$，即甲班方差更小。
(4) 应将冠军奖状发给甲班。理由：甲班的优秀率比乙班高，中位数比乙班大，方差比乙班小，综合评定甲班踢毽子水平更好。
【答案】
(1)甲班的优秀率为60%，乙班的优秀率为40%。
(2)甲班比赛成绩的中位数是100个，乙班比赛成绩的中位数是97个。
(3)甲班的方差更小。
(4)应该把冠军奖状发给甲班，因为甲班5名学生的比赛成绩的优秀率比乙班高，中位数比乙班大，方差比乙班小，综合评定甲班踢毽子水平较好。
【知识点】
优秀率计算、中位数、方差
【点评】
本题结合实际竞赛场景，考查了统计特征量的计算与实际应用，需要掌握各类统计量的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，才能结合实际问题做出合理的分析判断。
【难度系数】
0.7
