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1. 教材 P36 练习 T1·变式 到三角形三个顶点距离都相等的点是(
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三边垂直平分线的交点
C.三角形的三条高线的交点
D.三角形的三条中线的交点
B
).A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三边垂直平分线的交点
C.三角形的三条高线的交点
D.三角形的三条中线的交点
答案
∵到三角形一边的两端点距离相等的点在该边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点. 故选 B.
2. (2025·南京第五十中学月考) 如图，$P$ 为 $△ ABC$ 内一点，过点 $P$ 的线段 $MN$ 分别交 $AB, BC$ 于点 $M,N$，且 $M,N$ 分别在 $PA,PC$ 的垂直平分线上. 若 $∠ ABC = 80°$，则 $∠ APC$ 的度数为(
A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
C
).A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
答案
∵∠ABC=80°,
∴∠BMN+∠BNM=180°−80°=100°.
∵M,N分别在PA,PC的垂直平分线上,
∴MA=MP,NC=NP,
∴∠MPA=∠MAP,∠NPC=∠NCP,
∴∠MPA+∠NPC=1/2(∠BMN+∠BNM)=50°,
∴∠APC=180°−50°=130°. 故选 C.
3. 教材P36例1·变式 如图，在$△ ABC$中，点$D$在$BC$上，且$BC = CD + AD$，则点$D$在线段
AB
的垂直平分线上.答案
∵BC=CD+AD,BC=CD+BD,
∴AD=BD,
∴点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
4. 已知:如图,$AB=AC$,$DB=DC$,点$E$在$AD$上,求证:$EB=EC$.
答案
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD 是线段 BC 的垂直平分线,
∵点 E 在 AD 上,
∴EB=EC.
5. 下列说法错误的是(
A.若点$P$是线段$AB$的垂直平分线上的点，则$PA=PB$
B.若$PA=PB$，$QA=QB$，$P$，$Q$为不同的点，则直线$PQ$是线段$AB$的垂直平分线
C.若$PA=PB$，则点$P$在线段$AB$的垂直平分线上
D.若$PA=PB$，则过点$P$的直线是线段$AB$的垂直平分线
D
).A.若点$P$是线段$AB$的垂直平分线上的点，则$PA=PB$
B.若$PA=PB$，$QA=QB$，$P$，$Q$为不同的点，则直线$PQ$是线段$AB$的垂直平分线
C.若$PA=PB$，则点$P$在线段$AB$的垂直平分线上
D.若$PA=PB$，则过点$P$的直线是线段$AB$的垂直平分线
答案
A. 若点 P 是线段 AB 的垂直平分线上的点,则 PA=PB,该说法正确,不符合题意;
B. 若 PA=PB,QA=QB,P,Q 为不同的点,则直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线,该说法正确,不符合题意;
C. 若 PA=PB,则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,该说法正确,不符合题意;
D. 若 PA=PB,则过点 P 的直线不一定是线段 AB 的垂直平分线,该说法错误,符合题意. 故选 D.
B. 若 PA=PB,QA=QB,P,Q 为不同的点,则直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线,该说法正确,不符合题意;
C. 若 PA=PB,则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,该说法正确,不符合题意;
D. 若 PA=PB,则过点 P 的直线不一定是线段 AB 的垂直平分线,该说法错误,符合题意. 故选 D.
6. (2025·常州期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $PM, QN$ 分别是线段 $AB, AC$ 的垂直平分线, 若 $∠ BAC = 110°$, 则 $∠ PAQ$ 的度数是(
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
A
).A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
∵∠BAC=110°,
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=70°.
∵PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,
∴AP=BP,CQ=AQ,
∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°.
∵∠BAC=110°,
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=110°−70°=40°. 故选 A.
7. (2024·河北保定莲池区期末)如图,直线$l$,$m$相交于点$O$,$P$为这两直线外一点,且$OP=2.8$.若点$P$关于直线$l$,$m$的对称点分别是点$P_1$,$P_2$,则$P_1$,$P_2$之间的距离可能是(
A.0
B.5
C.6
D.7
B
).A.0
B.5
C.6
D.7
答案
如图,连接$OP_1,OP_2,P_1P_2$,
∵点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点$P_1,P_2$,
∴$OP_1=OP=2.8,OP_2=OP=2.8$.
∵$OP_1+OP_2＞P_1P_2＞0$,
∴$0＜P_1P_2＜5.6$. 故选 B.
8. (2024·浙江湖州南浔区期中) 如图,在$△ ABC$中,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$F$,$G$,若$∠ B=$$52°$,$∠ C=30°$,则$∠ EAG$的度数为(
A.$12°$
B.$14°$
C.$16°$
D.$18°$
C
).A.$12°$
B.$14°$
C.$16°$
D.$18°$
答案
∵∠B=52°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°−52°−30°=98°.
∵DE 是 AB 的垂直平分线,
∴EA=EB,∠EDA=∠EDB=90°.
又 DE=DE,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE(HL),
∴∠EAB=∠B=52°.
同理可得∠GAC=∠C=30°,
∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=82°,
∴∠EAG=98°−82°=16°. 故选 C.
