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35. (6分)一个空心铜球质量为356 g,在铜球的空心部分注满水后总质量为706 g。
(1)求这个空心铜球的总体积。
(2)若在铜球的空心部分注满某种液体后,总重力为8.81 N,求注入液体的密度。(g取10 N/kg,水的密度为$1.0×10^{3}kg/m^{3}$,铜的密度为$8.9×10^{3}kg/m^{3}$)
(1)求这个空心铜球的总体积。
(2)若在铜球的空心部分注满某种液体后,总重力为8.81 N,求注入液体的密度。(g取10 N/kg,水的密度为$1.0×10^{3}kg/m^{3}$,铜的密度为$8.9×10^{3}kg/m^{3}$)
答案
35. 【点拨】本题考查密度公式和空心体问题。
【解析】(1)空心铜球中铜的体积:$V_{铜}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=40\ \mathrm{cm}^3$,水的质量:$m_{水}=m_{总}-m_{铜球}=706\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=350\ \mathrm{g}$,空心部分的体积:$V_{空}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{350\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=350\ \mathrm{cm}^3$,空心铜球的体积:$V_{总}=V_{铜}+V_{空}=40\ \mathrm{cm}^3+350\ \mathrm{cm}^3=390\ \mathrm{cm}^3$;
(2)注满某种液体后铜球的总质量:$m'_{总}=\frac{G}{g}=\frac{8.81\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=0.881\ \mathrm{kg}=881\ \mathrm{g}$,这种液体的质量:$m_{液}=m'_{总}-m_{铜球}=881\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=525\ \mathrm{g}$,液体的密度:$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V_{空}}=\frac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【解析】(1)空心铜球中铜的体积:$V_{铜}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=40\ \mathrm{cm}^3$,水的质量:$m_{水}=m_{总}-m_{铜球}=706\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=350\ \mathrm{g}$,空心部分的体积:$V_{空}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{350\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=350\ \mathrm{cm}^3$,空心铜球的体积:$V_{总}=V_{铜}+V_{空}=40\ \mathrm{cm}^3+350\ \mathrm{cm}^3=390\ \mathrm{cm}^3$;
(2)注满某种液体后铜球的总质量:$m'_{总}=\frac{G}{g}=\frac{8.81\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=0.881\ \mathrm{kg}=881\ \mathrm{g}$,这种液体的质量:$m_{液}=m'_{总}-m_{铜球}=881\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=525\ \mathrm{g}$,液体的密度:$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V_{空}}=\frac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
要解决本题，需明确空心铜球的总体积由铜的体积和空心部分体积两部分组成。首先利用密度公式计算铜的体积，再通过“注满水时总质量减去铜球质量得到水的质量，进而算出空心部分体积”，两者相加得到总体积；第二问中，先根据总重力算出总质量，减去铜球质量得到注入液体的质量，液体体积等于空心部分体积，再用密度公式计算液体密度，解题时需注意单位统一。
【解析】
(1) 计算铜的体积：已知铜球质量$m_{铜}=356\ \mathrm{g}$，铜的密度$\rho_{铜}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得铜的体积：
$V_{铜}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=40\ \mathrm{cm}^3$。
注入水的质量：$m_{水}=m_{总1}-m_{铜}=706\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=350\ \mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，则空心部分体积（等于水的体积）：
$V_{空}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{350\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=350\ \mathrm{cm}^3$。
因此空心铜球的总体积：
$V_{总}=V_{铜}+V_{空}=40\ \mathrm{cm}^3+350\ \mathrm{cm}^3=390\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 注满液体后总重力$G=8.81\ \mathrm{N}$，根据$G=mg$，总质量：
$m_{总2}=\frac{G}{g}=\frac{8.81\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=0.881\ \mathrm{kg}=881\ \mathrm{g}$。
注入液体的质量：$m_{液}=m_{总2}-m_{铜}=881\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=525\ \mathrm{g}$，液体体积等于空心体积$V_{空}=350\ \mathrm{cm}^3$，则液体密度：
$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V_{空}}=\frac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 空心铜球的总体积为$390\ \mathrm{cm}^3$；(2) 注入液体的密度为$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用；空心物体体积计算；重力与质量的关系
【点评】
本题是密度公式的典型应用，考查空心问题的处理方法，需明确各部分体积、质量的关系，注意单位换算，难度适中，属于常规计算题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需明确空心铜球的总体积由铜的体积和空心部分体积两部分组成。首先利用密度公式计算铜的体积，再通过“注满水时总质量减去铜球质量得到水的质量，进而算出空心部分体积”，两者相加得到总体积；第二问中，先根据总重力算出总质量，减去铜球质量得到注入液体的质量，液体体积等于空心部分体积，再用密度公式计算液体密度，解题时需注意单位统一。
【解析】
(1) 计算铜的体积：已知铜球质量$m_{铜}=356\ \mathrm{g}$，铜的密度$\rho_{铜}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得铜的体积：
$V_{铜}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}=\frac{356\ \mathrm{g}}{8.9\ \mathrm{g/cm}^3}=40\ \mathrm{cm}^3$。
注入水的质量：$m_{水}=m_{总1}-m_{铜}=706\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=350\ \mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，则空心部分体积（等于水的体积）：
$V_{空}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{350\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=350\ \mathrm{cm}^3$。
因此空心铜球的总体积：
$V_{总}=V_{铜}+V_{空}=40\ \mathrm{cm}^3+350\ \mathrm{cm}^3=390\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 注满液体后总重力$G=8.81\ \mathrm{N}$，根据$G=mg$，总质量：
$m_{总2}=\frac{G}{g}=\frac{8.81\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=0.881\ \mathrm{kg}=881\ \mathrm{g}$。
注入液体的质量：$m_{液}=m_{总2}-m_{铜}=881\ \mathrm{g}-356\ \mathrm{g}=525\ \mathrm{g}$，液体体积等于空心体积$V_{空}=350\ \mathrm{cm}^3$，则液体密度：
$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V_{空}}=\frac{525\ \mathrm{g}}{350\ \mathrm{cm}^3}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 空心铜球的总体积为$390\ \mathrm{cm}^3$；(2) 注入液体的密度为$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用；空心物体体积计算；重力与质量的关系
【点评】
本题是密度公式的典型应用，考查空心问题的处理方法，需明确各部分体积、质量的关系，注意单位换算，难度适中，属于常规计算题。
【难度系数】
0.6
