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17.对于不等式$2x＞6$，思考以下问题.
(1)在$x=1,x=2,x=3,x=4,x=5,x=6$中，哪些是$2x＞6$的解？哪些不是？
(2)不等式$2x＞6$的解集是什么？
(1)在$x=1,x=2,x=3,x=4,x=5,x=6$中，哪些是$2x＞6$的解？哪些不是？
(2)不等式$2x＞6$的解集是什么？
答案
17.解:(1)$x=4,x=5,x=6$ 是 $2x＞6$ 的解；$x=1,x=2,x=3$ 不是 $2x＞6$ 的解.
(2)$2x＞6$ 的解集是 $x＞3$.
(2)$2x＞6$ 的解集是 $x＞3$.
解析
【分析】
对于第(1)问，根据不等式的解的定义，解题时将给出的x值分别代入不等式左侧计算2x的结果，再和6比较大小，若结果大于6则该x是不等式的解，反之则不是。对于第(2)问，利用不等式的基本性质，给不等式两边同时除以同一个正数2，不等号方向不变，即可求出不等式的解集。
【解析】
(1) 逐个代入x值计算判断：
当x=1时，2x=2×1=2，2＜6，不满足2x＞6，不是解；
当x=2时，2x=2×2=4，4＜6，不满足2x＞6，不是解；
当x=3时，2x=2×3=6，6不大于6，不满足2x＞6，不是解；
当x=4时，2x=2×4=8，8＞6，满足2x＞6，是解；
当x=5时，2x=2×5=10，10＞6，满足2x＞6，是解；
当x=6时，2x=2×6=12，12＞6，满足2x＞6，是解。
(2) 对不等式2x＞6，两边同时除以2，不等号方向不变，可得x＞3，即为不等式的解集。
【答案】
(1)x=4、x=5、x=6是$2x＞6$的解；x=1、x=2、x=3不是$2x＞6$的解。
(2)$2x＞6$的解集是$x＞3$。
【知识点】
1.不等式的解的判定
2.不等式的基本性质
3.一元一次不等式的解集
【点评】
本题为基础题型，重点考查不等式的解与解集的概念差异，解题时要注意“大于”不包含等于的情况，避免误将x=3判定为解，运用不等式性质变形时需明确不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.9
对于第(1)问，根据不等式的解的定义，解题时将给出的x值分别代入不等式左侧计算2x的结果，再和6比较大小，若结果大于6则该x是不等式的解，反之则不是。对于第(2)问，利用不等式的基本性质，给不等式两边同时除以同一个正数2，不等号方向不变，即可求出不等式的解集。
【解析】
(1) 逐个代入x值计算判断：
当x=1时，2x=2×1=2，2＜6，不满足2x＞6，不是解；
当x=2时，2x=2×2=4，4＜6，不满足2x＞6，不是解；
当x=3时，2x=2×3=6，6不大于6，不满足2x＞6，不是解；
当x=4时，2x=2×4=8，8＞6，满足2x＞6，是解；
当x=5时，2x=2×5=10，10＞6，满足2x＞6，是解；
当x=6时，2x=2×6=12，12＞6，满足2x＞6，是解。
(2) 对不等式2x＞6，两边同时除以2，不等号方向不变，可得x＞3，即为不等式的解集。
【答案】
(1)x=4、x=5、x=6是$2x＞6$的解；x=1、x=2、x=3不是$2x＞6$的解。
(2)$2x＞6$的解集是$x＞3$。
【知识点】
1.不等式的解的判定
2.不等式的基本性质
3.一元一次不等式的解集
【点评】
本题为基础题型，重点考查不等式的解与解集的概念差异，解题时要注意“大于”不包含等于的情况，避免误将x=3判定为解，运用不等式性质变形时需明确不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.9
18.写出下列各式成立的条件.
(1)由$mx ＜ n$,得$x ＜ \frac{n}{m}$;
(2)由$a ＜ b$,得$ma ＞ mb$;
(3)由$a ＞ -5$,得$a^2 ≤ -5a$;
(4)由$3x ＞ 4y$,得$3x - m ＞ 4y - m$.
(1)由$mx ＜ n$,得$x ＜ \frac{n}{m}$;
(2)由$a ＜ b$,得$ma ＞ mb$;
(3)由$a ＞ -5$,得$a^2 ≤ -5a$;
(4)由$3x ＞ 4y$,得$3x - m ＞ 4y - m$.
答案
18.解:(1)$m＞0$.(2)$m＜0$.
(3)$-5＜a≤0$.(4)$m$ 为任意实数.
(3)$-5＜a≤0$.(4)$m$ 为任意实数.
解析
【分析】
这道题考查不等式基本性质的应用，解题核心是结合不等式的变形操作、不等号方向的变化，对应不等式的三条基本性质推导参数的取值范围：1. 不等式两边加/减同一个数或整式，不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。每一问先判断变形方式，再对比不等号方向是否变化，即可推导对应的参数条件。
【解析】
(1) 不等式$mx ＜ n$两边同时除以$m$后，不等号方向未发生改变，得到$x ＜ \frac{n}{m}$，根据不等式性质2，除以的数必须为正数，因此成立条件为$m＞0$。
(2) 不等式$a ＜ b$两边同时乘$m$后，不等号方向反转，得到$ma ＞ mb$，根据不等式性质3，乘的数必须为负数，因此成立条件为$m＜0$。
(3) 已知$a ＞ -5$，分情况讨论$a^2 ≤ -5a$的成立情况：①若$a＞0$，$a^2$为正数，$-5a$为负数，正数不可能小于等于负数，不成立；②若$a=0$，左边$0^2=0$，右边$-5×0=0$，$0≤0$，成立；③若$a＜0$，不等式$a^2 ≤ -5a$两边同时除以负数$a$，不等号方向反转，得$a≥-5$，结合前提$a＞-5$，得$-5＜a＜0$。综上，成立条件为$-5 ＜ a ≤ 0$。
(4) 不等式$3x ＞4y$两边同时减去$m$，根据不等式性质1，不等式两边减同一个数或整式时，不等号方向恒不变，因此$m$取任何实数都成立，即条件为$m$为任意实数。
【答案】
(1)$m＞0$；(2)$m＜0$；(3)$-5＜a≤0$；(4)$m$为任意实数
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 不等式变形规则
3. 有理数分类讨论
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，核心易错点为忽略不等式乘除负数时不等号方向需要反转，熟练掌握不等式的三条基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
这道题考查不等式基本性质的应用，解题核心是结合不等式的变形操作、不等号方向的变化，对应不等式的三条基本性质推导参数的取值范围：1. 不等式两边加/减同一个数或整式，不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。每一问先判断变形方式，再对比不等号方向是否变化，即可推导对应的参数条件。
【解析】
(1) 不等式$mx ＜ n$两边同时除以$m$后，不等号方向未发生改变，得到$x ＜ \frac{n}{m}$，根据不等式性质2，除以的数必须为正数，因此成立条件为$m＞0$。
(2) 不等式$a ＜ b$两边同时乘$m$后，不等号方向反转，得到$ma ＞ mb$，根据不等式性质3，乘的数必须为负数，因此成立条件为$m＜0$。
(3) 已知$a ＞ -5$，分情况讨论$a^2 ≤ -5a$的成立情况：①若$a＞0$，$a^2$为正数，$-5a$为负数，正数不可能小于等于负数，不成立；②若$a=0$，左边$0^2=0$，右边$-5×0=0$，$0≤0$，成立；③若$a＜0$，不等式$a^2 ≤ -5a$两边同时除以负数$a$，不等号方向反转，得$a≥-5$，结合前提$a＞-5$，得$-5＜a＜0$。综上，成立条件为$-5 ＜ a ≤ 0$。
(4) 不等式$3x ＞4y$两边同时减去$m$，根据不等式性质1，不等式两边减同一个数或整式时，不等号方向恒不变，因此$m$取任何实数都成立，即条件为$m$为任意实数。
【答案】
(1)$m＞0$；(2)$m＜0$；(3)$-5＜a≤0$；(4)$m$为任意实数
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 不等式变形规则
3. 有理数分类讨论
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，核心易错点为忽略不等式乘除负数时不等号方向需要反转，熟练掌握不等式的三条基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
19.解不等式：
(1) $7x - 2 ≤ 9x + 3$；
(2) $2(3x - 2) ＞ x + 1$；
(3) $2(x + 1) ≤ 5 - x$；
(4)
(1) $7x - 2 ≤ 9x + 3$；
(2) $2(3x - 2) ＞ x + 1$；
(3) $2(x + 1) ≤ 5 - x$；
(4)
答案
19.解:(1)$7x-2≤9x+3$，
移项，得$7x-9x≤3+2$，
合并同类项，得$-2x≤5$，
系数化为1，得$x≥-2.5$.
(2)$2(3x-2)＞x+1$，
去括号，得$6x-4＞x+1$，
移项，得$6x-x＞4+1$，
合并同类项，得$5x＞5$，
系数化为1，得$x＞1$.
(3)去括号，得$2x+2≤5-x$，
移项，合并同类项，得$3x≤3$，
系数化为1，得$x≤1$.
(4)$2-\frac{5x-2}{3}＞\frac{3x+1}{4}$，
去分母，得$2×12-4(5x-2)＞3(3x+1)$，
去括号，得$24-20x+8＞9x+3$，
移项，得$-20x-9x＞3-8-24$，
合并同类项，得$-29x＞-29$，
系数化为1，得$x＜1$.
移项，得$7x-9x≤3+2$，
合并同类项，得$-2x≤5$，
系数化为1，得$x≥-2.5$.
(2)$2(3x-2)＞x+1$，
去括号，得$6x-4＞x+1$，
移项，得$6x-x＞4+1$，
合并同类项，得$5x＞5$，
系数化为1，得$x＞1$.
(3)去括号，得$2x+2≤5-x$，
移项，合并同类项，得$3x≤3$，
系数化为1，得$x≤1$.
(4)$2-\frac{5x-2}{3}＞\frac{3x+1}{4}$，
去分母，得$2×12-4(5x-2)＞3(3x+1)$，
去括号，得$24-20x+8＞9x+3$，
移项，得$-20x-9x＞3-8-24$，
合并同类项，得$-29x＞-29$，
系数化为1，得$x＜1$.
解析
【分析】
解一元一次不等式的常规步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时需注意三点：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②移项要改变符号；③系数化为1时，若不等式两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
(1)式无分母和括号，直接移项合并同类项后系数化1即可；(2)(3)式先去括号，再按后续步骤求解；(4)式两边同乘分母的最小公倍数12去分母（常数项2也要乘12），再按去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解，最后一步系数为负，注意不等号要变向。
【解析】
(1) $7x-2≤9x+3$，
移项，得$7x-9x≤3+2$，
合并同类项，得$-2x≤5$，
系数化为1，得$x≥-2.5$.
(2) $2(3x-2)＞x+1$，
去括号，得$6x-4＞x+1$，
移项，得$6x-x＞4+1$，
合并同类项，得$5x＞5$，
系数化为1，得$x＞1$.
(3) $2(x + 1) ≤ 5 - x$，
去括号，得$2x+2≤5-x$，
移项，合并同类项，得$3x≤3$，
系数化为1，得$x≤1$.
(4) $2-\frac{5x-2}{3}＞\frac{3x+1}{4}$，
去分母，得$2×12-4(5x-2)＞3(3x+1)$，
去括号，得$24-20x+8＞9x+3$，
移项，得$-20x-9x＞3-8-24$，
合并同类项，得$-29x＞-29$，
系数化为1，得$x＜1$.
【答案】
(1) $x≥-2.5$；(2) $x＞1$；(3) $x≤1$；(4) $x＜1$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，去分母与去括号法则
【点评】
本题是一元一次不等式的基础训练题，全面覆盖了解一元一次不等式的常见步骤，解题时需注意规避去分母漏乘常数项、系数化为1时未改变不等号方向这两类常见错误。
【难度系数】
0.85
解一元一次不等式的常规步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时需注意三点：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②移项要改变符号；③系数化为1时，若不等式两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
(1)式无分母和括号，直接移项合并同类项后系数化1即可；(2)(3)式先去括号，再按后续步骤求解；(4)式两边同乘分母的最小公倍数12去分母（常数项2也要乘12），再按去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解，最后一步系数为负，注意不等号要变向。
【解析】
(1) $7x-2≤9x+3$，
移项，得$7x-9x≤3+2$，
合并同类项，得$-2x≤5$，
系数化为1，得$x≥-2.5$.
(2) $2(3x-2)＞x+1$，
去括号，得$6x-4＞x+1$，
移项，得$6x-x＞4+1$，
合并同类项，得$5x＞5$，
系数化为1，得$x＞1$.
(3) $2(x + 1) ≤ 5 - x$，
去括号，得$2x+2≤5-x$，
移项，合并同类项，得$3x≤3$，
系数化为1，得$x≤1$.
(4) $2-\frac{5x-2}{3}＞\frac{3x+1}{4}$，
去分母，得$2×12-4(5x-2)＞3(3x+1)$，
去括号，得$24-20x+8＞9x+3$，
移项，得$-20x-9x＞3-8-24$，
合并同类项，得$-29x＞-29$，
系数化为1，得$x＜1$.
【答案】
(1) $x≥-2.5$；(2) $x＞1$；(3) $x≤1$；(4) $x＜1$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，去分母与去括号法则
【点评】
本题是一元一次不等式的基础训练题，全面覆盖了解一元一次不等式的常见步骤，解题时需注意规避去分母漏乘常数项、系数化为1时未改变不等号方向这两类常见错误。
【难度系数】
0.85
20. 解不等式组：
(1) $\begin{cases}2x + 9 ＞ 6x + 1, \\ x - 2 ＜ 1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x + 1 ≤ 4, \\ 3 - \dfrac{1}{2}x ＜ 4.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}4x - 5 ＜ 3x, \\ \dfrac{3x - 2}{3} ≥ 1.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}2x ＞ 3x - 2, \\ x - 1 ＞ \dfrac{x + 2}{3}.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 9 ＞ 6x + 1, \\ x - 2 ＜ 1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x + 1 ≤ 4, \\ 3 - \dfrac{1}{2}x ＜ 4.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}4x - 5 ＜ 3x, \\ \dfrac{3x - 2}{3} ≥ 1.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}2x ＞ 3x - 2, \\ x - 1 ＞ \dfrac{x + 2}{3}.\end{cases}$
答案
20.解:(1)$\begin{cases}2x+9＞6x+1,①\\x-2＜1,\quad\ \ ②\end{cases}$
解不等式①，得$x＜2$，
解不等式②，得$x＜3$，
故不等式组的解集为$x＜2$.
(2)$\begin{cases}3x+1≤4,\ ①\\3-\frac{1}{2}x＜4,②\end{cases}$
解不等式①，得$x≤1$，
解不等式②，得$x＞-2$，
故不等式组的解集为$-2＜x≤1$.
(3)$\begin{cases}4x-5＜3x,①\\\frac{3x-2}{3}≥1,\ ②\end{cases}$
解不等式①，得$x＜5$，
解不等式②，得$x≥\frac{5}{3}$，
故不等式组的解集为$\frac{5}{3}≤x＜5$.
(4)$\begin{cases}2x＞3x-2,\ ①\\x-1＞\frac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①，得$x＜2$，
解不等式②，得$x＞\frac{5}{2}$，
故不等式组无解.
解不等式①，得$x＜2$，
解不等式②，得$x＜3$，
故不等式组的解集为$x＜2$.
(2)$\begin{cases}3x+1≤4,\ ①\\3-\frac{1}{2}x＜4,②\end{cases}$
解不等式①，得$x≤1$，
解不等式②，得$x＞-2$，
故不等式组的解集为$-2＜x≤1$.
(3)$\begin{cases}4x-5＜3x,①\\\frac{3x-2}{3}≥1,\ ②\end{cases}$
解不等式①，得$x＜5$，
解不等式②，得$x≥\frac{5}{3}$，
故不等式组的解集为$\frac{5}{3}≤x＜5$.
(4)$\begin{cases}2x＞3x-2,\ ①\\x-1＞\frac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①，得$x＜2$，
解不等式②，得$x＞\frac{5}{2}$，
故不等式组无解.
解析
【分析】
解一元一次不等式组的思路为“先分后合”：第一步先分别求解不等式组中的每一个一元一次不等式，得到每个不等式的解集，解不等式时注意移项要变号，两边同时乘除负数时不等号方向需改变；第二步根据“同小取小、同大取大、大小小大中间找、大大小小无处找”的规则，确定两个解集的公共部分，公共部分即为不等式组的解集，若没有公共部分则不等式组无解。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x+9＞6x+1,①\\x-2＜1,\quad\ \ ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-6x＞1-9$，合并同类项得$-4x＞-8$，系数化为1得$x＜2$；
解不等式②：移项得$x＜1+2$，得$x＜3$；
两个解集的公共部分为$x＜2$，故该不等式组的解集为$x＜2$。
(2) $\begin{cases}3x+1≤4,\ ①\\3-\frac{1}{2}x＜4,②\end{cases}$
解不等式①：移项得$3x≤4-1$，合并同类项得$3x≤3$，系数化为1得$x≤1$；
解不等式②：移项得$-\frac{1}{2}x＜4-3$，即$-\frac{1}{2}x＜1$，系数化为1得$x＞-2$；
两个解集的公共部分为$-2＜x≤1$，故该不等式组的解集为$-2＜x≤1$。
(3) $\begin{cases}4x-5＜3x,①\\\frac{3x-2}{3}≥1,\ ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$4x-3x＜5$，得$x＜5$；
解不等式②：两边同乘3得$3x-2≥3$，移项得$3x≥3+2$，合并同类项得$3x≥5$，系数化为1得$x≥\frac{5}{3}$；
两个解集的公共部分为$\frac{5}{3}≤x＜5$，故该不等式组的解集为$\frac{5}{3}≤x＜5$。
(4) $\begin{cases}2x＞3x-2,\ ①\\x-1＞\frac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x＞-2$，合并同类项得$-x＞-2$，系数化为1得$x＜2$；
解不等式②：两边同乘3得$3x-3＞x+2$，移项得$3x-x＞2+3$，合并同类项得$2x＞5$，系数化为1得$x＞\frac{5}{2}$；
两个解集没有公共部分，故该不等式组无解。
【答案】
(1)$x＜2$；(2)$-2＜x≤1$；(3)$\frac{5}{3}≤x＜5$；(4)无解
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，解集公共部分判断
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础考查题，解题核心是准确求解每个不等式，再正确判断解集的公共部分，解题时要格外注意不等号方向变化的规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的思路为“先分后合”：第一步先分别求解不等式组中的每一个一元一次不等式，得到每个不等式的解集，解不等式时注意移项要变号，两边同时乘除负数时不等号方向需改变；第二步根据“同小取小、同大取大、大小小大中间找、大大小小无处找”的规则，确定两个解集的公共部分，公共部分即为不等式组的解集，若没有公共部分则不等式组无解。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x+9＞6x+1,①\\x-2＜1,\quad\ \ ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-6x＞1-9$，合并同类项得$-4x＞-8$，系数化为1得$x＜2$；
解不等式②：移项得$x＜1+2$，得$x＜3$；
两个解集的公共部分为$x＜2$，故该不等式组的解集为$x＜2$。
(2) $\begin{cases}3x+1≤4,\ ①\\3-\frac{1}{2}x＜4,②\end{cases}$
解不等式①：移项得$3x≤4-1$，合并同类项得$3x≤3$，系数化为1得$x≤1$；
解不等式②：移项得$-\frac{1}{2}x＜4-3$，即$-\frac{1}{2}x＜1$，系数化为1得$x＞-2$；
两个解集的公共部分为$-2＜x≤1$，故该不等式组的解集为$-2＜x≤1$。
(3) $\begin{cases}4x-5＜3x,①\\\frac{3x-2}{3}≥1,\ ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$4x-3x＜5$，得$x＜5$；
解不等式②：两边同乘3得$3x-2≥3$，移项得$3x≥3+2$，合并同类项得$3x≥5$，系数化为1得$x≥\frac{5}{3}$；
两个解集的公共部分为$\frac{5}{3}≤x＜5$，故该不等式组的解集为$\frac{5}{3}≤x＜5$。
(4) $\begin{cases}2x＞3x-2,\ ①\\x-1＞\frac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x＞-2$，合并同类项得$-x＞-2$，系数化为1得$x＜2$；
解不等式②：两边同乘3得$3x-3＞x+2$，移项得$3x-x＞2+3$，合并同类项得$2x＞5$，系数化为1得$x＞\frac{5}{2}$；
两个解集没有公共部分，故该不等式组无解。
【答案】
(1)$x＜2$；(2)$-2＜x≤1$；(3)$\frac{5}{3}≤x＜5$；(4)无解
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，解集公共部分判断
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础考查题，解题核心是准确求解每个不等式，再正确判断解集的公共部分，解题时要格外注意不等号方向变化的规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
