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1. 如图,$O$为线段$BC$的中点,点$A$、$C$、$D$到点$O$的距离相等.若$∠ ABC=40°$,则$∠ ADC$的度数为（
A.$130°$
B.$140°$
C.$150°$
D.$160°$
B
）A.$130°$
B.$140°$
C.$150°$
D.$160°$
答案
1. B 解析:由题意得,A、B、C、D四点在同一个圆上,作⊙O如图所示,
∴四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC=40°,
∴∠ADC=140°.
解析
【分析】
要解答本题，首先根据已知条件推导四点的位置关系：O是BC中点，故OB=OC；又点A、C、D到O的距离相等，即OA=OC=OD，因此OA=OB=OC=OD，说明A、B、C、D四点共圆，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形“对角互补”的性质，结合已知∠ABC的度数，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
1. 由题意，O为BC中点，所以OB=OC；又点A、C、D到O的距离相等，即OA=OC=OD，因此OA=OB=OC=OD，可得A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
2. 根据圆内接四边形的性质：对角互补，即∠ABC + ∠ADC = 180°。
3. 已知∠ABC=40°，代入得：∠ADC = 180° - 40° = 140°。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形性质、四点共圆
【点评】
本题核心是利用四点共圆的判定得到圆内接四边形，再结合其对角互补的性质求解，属于基础几何题，考查对圆内接四边形性质的掌握。
【难度系数】
0.6
要解答本题，首先根据已知条件推导四点的位置关系：O是BC中点，故OB=OC；又点A、C、D到O的距离相等，即OA=OC=OD，因此OA=OB=OC=OD，说明A、B、C、D四点共圆，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形“对角互补”的性质，结合已知∠ABC的度数，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
1. 由题意，O为BC中点，所以OB=OC；又点A、C、D到O的距离相等，即OA=OC=OD，因此OA=OB=OC=OD，可得A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
2. 根据圆内接四边形的性质：对角互补，即∠ABC + ∠ADC = 180°。
3. 已知∠ABC=40°，代入得：∠ADC = 180° - 40° = 140°。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形性质、四点共圆
【点评】
本题核心是利用四点共圆的判定得到圆内接四边形，再结合其对角互补的性质求解，属于基础几何题，考查对圆内接四边形性质的掌握。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$AC=4$,$BC=6$,$D$是$BC$的中点,$E$是边$AB$上的一个动点,把$△ BDE$沿直线$DE$翻折,得到$△ FDE$,连接$AF$,则$AF$的最小值为
2
.答案
2. 2 解析:
∵D是BC的中点,BC=6,
∴CD=DB=$\frac{1}{2}BC=$3.由翻折的性质知,DF=DB=3,
∴点F在以点D为圆心、3为半径的⊙D上,如图,连接AD,则当点F在AD上时,AF的长最小,此时AF=AD-DF.
∵AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴AF的最小值为5-3=2.
解析
【分析】
要解决AF的最小值问题，需先利用翻折的性质确定动点F的轨迹，再结合点与圆的位置关系求解最短距离。第一步，根据翻折的不变性，得到DF=DB，确定点F在以D为圆心、DB为半径的圆上；第二步，计算定点A到圆心D的距离AD；第三步，利用圆外一点到圆上点的最短距离公式（点到圆心距离减半径），求出AF的最小值。
【解析】
1. 确定点F的轨迹：
∵D是BC的中点，BC=6，
∴DB=CD=$\frac{1}{2}$BC=3。
由翻折的性质，△BDE沿DE翻折得到△FDE，故DF=DB=3，因此点F在以D为圆心、3为半径的⊙D上。
2. 计算AD的长度：
在Rt△ACD中，∠ACB=90°，AC=4，CD=3，根据勾股定理：
AD=$\sqrt{AC^2 + CD^2}$=$\sqrt{4^2 + 3^2}$=5。
3. 求AF的最小值：
点A在⊙D外，根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此当点F在线段AD上时，AF取得最小值，此时AF=AD - DF=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
翻折变换、圆的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何最值问题，核心是利用翻折的性质确定动点轨迹为圆，再结合点与圆的位置关系求最短距离，需掌握翻折不变性和勾股定理的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
要解决AF的最小值问题，需先利用翻折的性质确定动点F的轨迹，再结合点与圆的位置关系求解最短距离。第一步，根据翻折的不变性，得到DF=DB，确定点F在以D为圆心、DB为半径的圆上；第二步，计算定点A到圆心D的距离AD；第三步，利用圆外一点到圆上点的最短距离公式（点到圆心距离减半径），求出AF的最小值。
【解析】
1. 确定点F的轨迹：
∵D是BC的中点，BC=6，
∴DB=CD=$\frac{1}{2}$BC=3。
由翻折的性质，△BDE沿DE翻折得到△FDE，故DF=DB=3，因此点F在以D为圆心、3为半径的⊙D上。
2. 计算AD的长度：
在Rt△ACD中，∠ACB=90°，AC=4，CD=3，根据勾股定理：
AD=$\sqrt{AC^2 + CD^2}$=$\sqrt{4^2 + 3^2}$=5。
3. 求AF的最小值：
点A在⊙D外，根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此当点F在线段AD上时，AF取得最小值，此时AF=AD - DF=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
翻折变换、圆的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何最值问题，核心是利用翻折的性质确定动点轨迹为圆，再结合点与圆的位置关系求最短距离，需掌握翻折不变性和勾股定理的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
3. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$AB=4$,$BC=5$,$∠ ACB=45^{ \circ }$,将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转,得到$△ A_{1}BC_{1}$.$M$为线段$AB$的中点,$P$是线段$AC$上的动点,在$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转的过程中,点$P$的对应点是$P_{1}$,则线段$MP_{1}$长的最大值为
7
,最小值为$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-2$
.答案
3. 7 $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-2$
解析:
∵M是AB的中点,
∴BM=$\frac{1}{2}AB=2$.如图,过点B作BF⊥AC,垂足为F.
∵△ABC为锐角三角形,
∴点F在线段AC上.在Rt△BCF中,∠ACB=45°,
∴BF=CF,由勾股定理得$BF^2+CF^2=BC^2$,
∴BF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.以点B为圆心、BF的长为半径画圆交AB于点G,当BP与AC垂直,且$P_1$在线段AB上时,$MP_1$最小,$BP_1$的最小值为BG,此时$MP_1$的最小值为$BP_1-BM=BG-BM=\frac{5\sqrt{2}}{2}-2$;以点B为圆心、BC的长为半径画圆交AB的延长线于点H,当$P_1$在线段AB的延长线上,即在点H的位置时,$MP_1$最大,此时$MP_1$的最大值为$BM+BH=2+5=7$.综上所述,线段$MP_1$的最大值为7,最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2$.
解析
【分析】
要解决线段$MP_1$的最值问题，需利用旋转的性质：$△ ABC$绕点$B$旋转时，点$P$的对应点$P_1$满足$BP_1=BP$，即$P_1$在以$B$为圆心、$BP$为半径的圆上。因此，$MP_1$的最值可转化为定点$M$到该圆上点的距离最值：最大值为$BM +$圆的半径最大值，最小值为$|$圆的半径最小值$- BM|$。首先确定$BM$的长度，再求出$BP$在$AC$上的最值，即可计算$MP_1$的最值。
【解析】
1. 求$BM$的长度：
∵$M$为$AB$中点，$AB=4$，
∴$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 求$BP$的最值：
过点$B$作$BF⊥ AC$于$F$，在$Rt△ BCF$中，$∠ ACB=45°$，$BC=5$，
由$\sin∠ ACB=\frac{BF}{BC}$，得$BF=BC·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即$BP$的最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（垂线段最短）；
$P$是线段$AC$上的动点，故$BP$的最大值为$BC=5$（$AC$上点到$B$的最大距离为$BC$）。
3. 求$MP_1$的最值：
根据旋转性质，$BP_1=BP$，因此$P_1$在以$B$为圆心、$BP$为半径的圆上。
最大值：当$P_1$在$MB$的延长线上时，$MP_1$最大，此时$MP_1=BM + BP_1$的最大值$=2+5=7$；
最小值：当$P_1$在线段$MB$上时，$MP_1$最小，此时$MP_1=BP_1$的最小值$- BM=\frac{5\sqrt{2}}{2}-2$。
【答案】
7，$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-2$
【知识点】
旋转的性质，垂线段最短，圆上点到定点的距离最值
【点评】
本题结合旋转性质将动点轨迹转化为圆，利用定点到圆上点的距离最值规律求解，同时结合垂线段最短确定$BP$的最值，是几何最值的典型题型，考查学生的转化分析能力。
【难度系数】
0.5
要解决线段$MP_1$的最值问题，需利用旋转的性质：$△ ABC$绕点$B$旋转时，点$P$的对应点$P_1$满足$BP_1=BP$，即$P_1$在以$B$为圆心、$BP$为半径的圆上。因此，$MP_1$的最值可转化为定点$M$到该圆上点的距离最值：最大值为$BM +$圆的半径最大值，最小值为$|$圆的半径最小值$- BM|$。首先确定$BM$的长度，再求出$BP$在$AC$上的最值，即可计算$MP_1$的最值。
【解析】
1. 求$BM$的长度：
∵$M$为$AB$中点，$AB=4$，
∴$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 求$BP$的最值：
过点$B$作$BF⊥ AC$于$F$，在$Rt△ BCF$中，$∠ ACB=45°$，$BC=5$，
由$\sin∠ ACB=\frac{BF}{BC}$，得$BF=BC·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即$BP$的最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（垂线段最短）；
$P$是线段$AC$上的动点，故$BP$的最大值为$BC=5$（$AC$上点到$B$的最大距离为$BC$）。
3. 求$MP_1$的最值：
根据旋转性质，$BP_1=BP$，因此$P_1$在以$B$为圆心、$BP$为半径的圆上。
最大值：当$P_1$在$MB$的延长线上时，$MP_1$最大，此时$MP_1=BM + BP_1$的最大值$=2+5=7$；
最小值：当$P_1$在线段$MB$上时，$MP_1$最小，此时$MP_1=BP_1$的最小值$- BM=\frac{5\sqrt{2}}{2}-2$。
【答案】
7，$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-2$
【知识点】
旋转的性质，垂线段最短，圆上点到定点的距离最值
【点评】
本题结合旋转性质将动点轨迹转化为圆，利用定点到圆上点的距离最值规律求解，同时结合垂线段最短确定$BP$的最值，是几何最值的典型题型，考查学生的转化分析能力。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,动点 F、E 分别以相同的速度从 D、C 两点同时出发向点 C 和点 B 运动(任何一个点到达即停止),AE、BF 交于点 P,连接 CP.在运动过程中,线段 CP 的最小值为
$\sqrt{5}-1$
.答案
4. $\sqrt{5}-1$ 解析:由题意,得DF=CE.
∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=CB=AB,∠DCB=∠ABC=90°,
∴CD-DF=CB-CE,即CF=BE.在△ABE和△BCF中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABE=∠BCF, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠CBF=90°,
∴∠BAE+∠ABP=90°,
∴∠APB=90°,
∴点P在以AB为直径的圆上.如图,取AB的中点O,连接OP、OC.在Rt△OBC中,$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
∵CP≥OC-OP(当且仅当O、P、C三点共线时取等号),
∴CP的最小值为$OC-OP=\sqrt{5}-1$.
解析
【分析】
首先根据动点F、E速度相同、运动时间相同，得出DF=CE，结合正方形边长相等推导出CF=BE；再利用正方形的直角条件证明△ABE与△BCF全等，得到角的关系，进而推出∠APB=90°，确定点P的轨迹是以AB为直径的圆；最后根据点与圆的位置关系，找到CP取最小值的情况，即当圆心O、点P、点C共线时，CP的长度为OC减去圆的半径，从而计算出最小值。
【解析】
解：由题意，动点F、E速度相同，运动时间相同，故DF=CE。
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴CD=CB=AB=2，∠DCB=∠ABC=90°，
∴CD - DF = CB - CE，即CF=BE。
在△ABE和△BCF中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ABE=∠BCF \\ BE=CF \end{cases}$
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF。
∵∠ABC=90°，即∠ABP + ∠CBF=90°，
∴∠BAE + ∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上。
取AB的中点O，连接OP、OC，则OA=OB=OP=$\frac{1}{2}$AB=1。
在Rt△OBC中，OB=1，BC=2，
∴OC=$\sqrt{OB^2 + BC^2}$=$\sqrt{1^2 + 2^2}$=$\sqrt{5}$。
根据点与圆的位置关系，CP≥OC - OP，当且仅当O、P、C三点共线时，CP取最小值，
∴CP的最小值为OC - OP=$\sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形性质，全等三角形判定，点与圆的位置关系
【点评】
本题为几何动点最值问题，核心是通过全等三角形确定动点P的轨迹，将线段最值转化为点到圆的最短距离，综合考查了正方形、全等三角形、圆的相关知识，对学生的几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先根据动点F、E速度相同、运动时间相同，得出DF=CE，结合正方形边长相等推导出CF=BE；再利用正方形的直角条件证明△ABE与△BCF全等，得到角的关系，进而推出∠APB=90°，确定点P的轨迹是以AB为直径的圆；最后根据点与圆的位置关系，找到CP取最小值的情况，即当圆心O、点P、点C共线时，CP的长度为OC减去圆的半径，从而计算出最小值。
【解析】
解：由题意，动点F、E速度相同，运动时间相同，故DF=CE。
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴CD=CB=AB=2，∠DCB=∠ABC=90°，
∴CD - DF = CB - CE，即CF=BE。
在△ABE和△BCF中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ABE=∠BCF \\ BE=CF \end{cases}$
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF。
∵∠ABC=90°，即∠ABP + ∠CBF=90°，
∴∠BAE + ∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上。
取AB的中点O，连接OP、OC，则OA=OB=OP=$\frac{1}{2}$AB=1。
在Rt△OBC中，OB=1，BC=2，
∴OC=$\sqrt{OB^2 + BC^2}$=$\sqrt{1^2 + 2^2}$=$\sqrt{5}$。
根据点与圆的位置关系，CP≥OC - OP，当且仅当O、P、C三点共线时，CP取最小值，
∴CP的最小值为OC - OP=$\sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形性质，全等三角形判定，点与圆的位置关系
【点评】
本题为几何动点最值问题，核心是通过全等三角形确定动点P的轨迹，将线段最值转化为点到圆的最短距离，综合考查了正方形、全等三角形、圆的相关知识，对学生的几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5. 在$△ ABC$中，$∠ BAC=45^{ \circ }$，$BC=4$，则$△ ABC$面积的最大值是
$4\sqrt{2}+4$
.答案
5. $4\sqrt{2}+4$ 解析:如图,以BC为一条弦作⊙O,过点A作AD⊥BC于点D,连接OB、OC.当AD经过圆心O时,△ABC面积最大.
∵∠BAC=45°,
∴∠BOC=90°.
∵BC=4,
∴OA=OB=OC=$2\sqrt{2}$,$OD=\frac{1}{2}BC=2$,$AD=OA+OD=2\sqrt{2}+2$,
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×4×(2\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}+4$.
解析
【分析】
要使△ABC面积最大，因BC为定值，需最大化BC边上的高AD。已知∠BAC=45°，根据圆周角定理，点A在以BC为弦的圆上，当AD经过圆心时，AD取得最大值。利用圆周角与圆心角的关系算出圆心相关线段长度，进而求出最大高，代入面积公式即可得到结果。
【解析】
解：
∵BC为定值，△ABC的面积$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AD $（AD为BC边上的高），
∴要使面积最大，需AD最大。
∵∠BAC=45°，根据圆周角定理，定弦BC对应的圆心角$ ∠ BOC=2∠ BAC=90° $，
∴点A在以BC为弦的圆上，当AD经过圆心O时，AD取得最大值。
连接OB、OC，
∵OB=OC（圆的半径），∠BOC=90°，BC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，半径$ OB=OC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} $，
OD是等腰Rt△BOC斜边BC上的中线，故$ OD=\frac{1}{2}BC=2 $，
∴AD=OA + OD=OB + OD=2√2 +2，
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × (2\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}+4 $。
【答案】
$ 4\sqrt{2}+4 $
【知识点】
圆周角定理，三角形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题是定弦定角下三角形面积的最值问题，核心是利用圆周角定理确定点A的轨迹，找到高的最大值，进而计算面积，是圆的性质的典型应用，需掌握定弦定角时点到弦的最大距离的求法。
【难度系数】
0.5
要使△ABC面积最大，因BC为定值，需最大化BC边上的高AD。已知∠BAC=45°，根据圆周角定理，点A在以BC为弦的圆上，当AD经过圆心时，AD取得最大值。利用圆周角与圆心角的关系算出圆心相关线段长度，进而求出最大高，代入面积公式即可得到结果。
【解析】
解：
∵BC为定值，△ABC的面积$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AD $（AD为BC边上的高），
∴要使面积最大，需AD最大。
∵∠BAC=45°，根据圆周角定理，定弦BC对应的圆心角$ ∠ BOC=2∠ BAC=90° $，
∴点A在以BC为弦的圆上，当AD经过圆心O时，AD取得最大值。
连接OB、OC，
∵OB=OC（圆的半径），∠BOC=90°，BC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，半径$ OB=OC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} $，
OD是等腰Rt△BOC斜边BC上的中线，故$ OD=\frac{1}{2}BC=2 $，
∴AD=OA + OD=OB + OD=2√2 +2，
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × (2\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}+4 $。
【答案】
$ 4\sqrt{2}+4 $
【知识点】
圆周角定理，三角形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题是定弦定角下三角形面积的最值问题，核心是利用圆周角定理确定点A的轨迹，找到高的最大值，进而计算面积，是圆的性质的典型应用，需掌握定弦定角时点到弦的最大距离的求法。
【难度系数】
0.5
6. 如图,已知等边三角形$ABC$的边长为$2\sqrt{6}$,$D$、$E$分别为$BC$、$AC$上的动点,且$AE=CD$,连接$BE$、$AD$交于点$P$,连接$CP$,则$CP$的最小值是
$2\sqrt{2}$
.答案
6. $2\sqrt{2}$ 解析:如图,作△ABP的外接圆⊙O,连接OA、OB、OP、OC.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABD=∠BCE=60°,AB=BC=AC.又
∵CD=AE,
∴BC-CD=AC-AE,即BD=CE.在△ABD和△BCE中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABD=∠BCE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE.
∵∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°,
∴∠APB=120°,
∴点P的运动轨迹是劣弧AB,∠AOB=120°.
∵OA=OB,AC=BC,OC=OC,
∴△AOC≌△BOC(SSS),
∴∠OAC=∠OBC,∠ACO=∠BCO=30°.
∵∠AOB+∠ACB=180°,
∴∠OAC+∠OBC=180°,
∴∠OAC=∠OBC=90°.在Rt△OBC中,$BC=2\sqrt{6}$,由勾股定理得$OB^2+BC^2=OC^2=(2OB)^2$,解得$OB=2\sqrt{2}$(负值舍去),
∴$OC=4\sqrt{2}$.当O、P、C三点共线时,CP取得最小值,最小值为$CP'=OC-OP'=OC-OB=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决CP的最小值问题，首先需确定动点P的运动轨迹：已知△ABC是等边三角形，结合AE=CD的条件，通过全等三角形可推导出∠APB=120°，由此确定点P在以AB为弦、张角为120°的圆弧上。接下来，利用圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，需先确定该圆弧的圆心，计算圆心到点C的距离，再减去半径即可得到CP的最小值。
【解析】
1. 证明△ABD≌△BCE：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，AC=BC。
又
∵AE=CD，
∴AC - AE = BC - CD，即CE=BD。
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ABD=∠BCE \\ BD=CE \end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（SAS），得∠BAD=∠CBE。
2. 推导∠APB的度数：
∵∠BPD是△ABP的外角，
∴∠BPD=∠ABE + ∠BAD=∠ABE + ∠CBE=∠ABC=60°，
∴∠APB=180° - ∠BPD=120°，
即点P的运动轨迹是对AB张角为120°的劣弧AB，对应的圆心角∠AOB=120°。
3. 确定圆心O，计算OC的长度：
作△ABP的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC。
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），得∠ACO=∠BCO=30°，且∠OAC=∠OBC。
又
∵∠AOB + ∠ACB=120°+60°=180°，
∴∠OAC + ∠OBC=180°，故∠OAC=∠OBC=90°。
在Rt△OBC中，∠OCB=30°，则OC=2OB，由勾股定理：
OB² + BC² = OC²，代入BC=2√6，OC=2OB：
OB² + (2√6)² = (2OB)² → OB² +24=4OB² → 3OB²=24 → OB²=8 → OB=2√2（负值舍去），
∴OC=2×2√2=4√2。
4. 求CP的最小值：
当O、P、C三点共线时，CP取得最小值，此时CP=OC - OP，而OP=OB=2√2，
故CP最小值=4√2 -2√2=2√2。
【答案】
2√2
【知识点】
等边三角形性质，全等三角形判定，圆的性质
【点评】
本题是等边三角形背景下的动点最值问题，核心是通过角度关系确定动点的圆弧轨迹，再利用圆外一点到圆上点的最短距离公式求解，综合考查几何推理能力，需熟练掌握全等三角形、圆的相关性质。
【难度系数】
0.4
要解决CP的最小值问题，首先需确定动点P的运动轨迹：已知△ABC是等边三角形，结合AE=CD的条件，通过全等三角形可推导出∠APB=120°，由此确定点P在以AB为弦、张角为120°的圆弧上。接下来，利用圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，需先确定该圆弧的圆心，计算圆心到点C的距离，再减去半径即可得到CP的最小值。
【解析】
1. 证明△ABD≌△BCE：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，AC=BC。
又
∵AE=CD，
∴AC - AE = BC - CD，即CE=BD。
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ABD=∠BCE \\ BD=CE \end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（SAS），得∠BAD=∠CBE。
2. 推导∠APB的度数：
∵∠BPD是△ABP的外角，
∴∠BPD=∠ABE + ∠BAD=∠ABE + ∠CBE=∠ABC=60°，
∴∠APB=180° - ∠BPD=120°，
即点P的运动轨迹是对AB张角为120°的劣弧AB，对应的圆心角∠AOB=120°。
3. 确定圆心O，计算OC的长度：
作△ABP的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC。
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），得∠ACO=∠BCO=30°，且∠OAC=∠OBC。
又
∵∠AOB + ∠ACB=120°+60°=180°，
∴∠OAC + ∠OBC=180°，故∠OAC=∠OBC=90°。
在Rt△OBC中，∠OCB=30°，则OC=2OB，由勾股定理：
OB² + BC² = OC²，代入BC=2√6，OC=2OB：
OB² + (2√6)² = (2OB)² → OB² +24=4OB² → 3OB²=24 → OB²=8 → OB=2√2（负值舍去），
∴OC=2×2√2=4√2。
4. 求CP的最小值：
当O、P、C三点共线时，CP取得最小值，此时CP=OC - OP，而OP=OB=2√2，
故CP最小值=4√2 -2√2=2√2。
【答案】
2√2
【知识点】
等边三角形性质，全等三角形判定，圆的性质
【点评】
本题是等边三角形背景下的动点最值问题，核心是通过角度关系确定动点的圆弧轨迹，再利用圆外一点到圆上点的最短距离公式求解，综合考查几何推理能力，需熟练掌握全等三角形、圆的相关性质。
【难度系数】
0.4
7. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=5$,点$E$在$BC$上,且$CE=4BE$,$M$为矩形内一动点,使得$∠ CME=45^{ \circ }$,连接$AM$,则线段$AM$的最小值为
$5-2\sqrt{2}$
.答案
7. $5-2\sqrt{2}$ 解析:如图,作△EMC的外接圆⊙O,连接AO、CO、EO,过点O作OF⊥AB于点F,ON⊥BC于点N.
∵BC=5,点E在BC上,且CE=4BE,
∴BE=1,CE=4.
∵∠CME=45°,
∴∠EOC=90°,
∴OE=OC=$2\sqrt{2}$.$ON=EN=CN=2$,
∴OF=BN=BE+EN=1+2=3,AF=AB-BF=AB-ON=6-2=4.在Rt△AFO中,$AO=\sqrt{OF^2+AF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.当点M是OA与⊙O的交点时,AM最小,
∴AM的最小值=OA-OE=$5-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】要解决线段AM的最小值问题，需先确定动点M的轨迹：根据圆周角定理，定角∠CME=45°对应的动点M的轨迹是△EMC的外接圆上的一段弧，因此AM的最小值转化为点A到该圆上点的最小距离，即点A到圆心O的距离减去圆的半径。
【解析】
1. 计算线段BE、CE的长度：
已知BC=5，且CE=4BE，故BE=1，CE=4。
2. 确定动点M的轨迹：
作△EMC的外接圆⊙O，因为∠CME=45°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以圆心角∠EOC=2×45°=90°。又OE=OC（⊙O的半径），因此△EOC是等腰直角三角形，可得半径OE=OC=CE/√2=4/√2=2√2。
3. 求圆心O到点A的距离：
过点O作ON⊥BC于N，OF⊥AB于F。因为OE=OC，ON⊥BC，所以N为CE中点，故EN=NC=2，BN=BE+EN=1+2=3。
在等腰直角△EOC中，ON是斜边CE上的高，故ON=EN=2（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半）。
由矩形性质，OF=BN=3，BF=ON=2，因此AF=AB - BF=6 - 2=4。
在Rt△AFO中，根据勾股定理，AO=√(OF² + AF²)=√(3² + 4²)=5。
4. 求AM的最小值：
当点M是线段AO与⊙O的交点时，AM最小，此时AM=AO - OE=5 - 2√2。
【答案】5-2√2
【知识点】圆周角定理、点与圆的位置关系、矩形性质
【点评】本题是几何动点最值问题，核心是利用圆周角定理确定动点轨迹为圆，再结合点到圆的最小距离（点到圆心距离减半径）求解，需要学生掌握轨迹转化的思想，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.4
【解析】
1. 计算线段BE、CE的长度：
已知BC=5，且CE=4BE，故BE=1，CE=4。
2. 确定动点M的轨迹：
作△EMC的外接圆⊙O，因为∠CME=45°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以圆心角∠EOC=2×45°=90°。又OE=OC（⊙O的半径），因此△EOC是等腰直角三角形，可得半径OE=OC=CE/√2=4/√2=2√2。
3. 求圆心O到点A的距离：
过点O作ON⊥BC于N，OF⊥AB于F。因为OE=OC，ON⊥BC，所以N为CE中点，故EN=NC=2，BN=BE+EN=1+2=3。
在等腰直角△EOC中，ON是斜边CE上的高，故ON=EN=2（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半）。
由矩形性质，OF=BN=3，BF=ON=2，因此AF=AB - BF=6 - 2=4。
在Rt△AFO中，根据勾股定理，AO=√(OF² + AF²)=√(3² + 4²)=5。
4. 求AM的最小值：
当点M是线段AO与⊙O的交点时，AM最小，此时AM=AO - OE=5 - 2√2。
【答案】5-2√2
【知识点】圆周角定理、点与圆的位置关系、矩形性质
【点评】本题是几何动点最值问题，核心是利用圆周角定理确定动点轨迹为圆，再结合点到圆的最小距离（点到圆心距离减半径）求解，需要学生掌握轨迹转化的思想，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.4
