9. (2025·宿迁期中)已知$5a+2$的立方根是$3$,$3a+b-1$的算术平方根是$4$,$c$是$\sqrt{12}$的整数部分,求$3a-b+c$的平方根.

9. 由条件可知$5a+2=3^3=27,3a+b-1=4^2=16,\therefore a=5,b=2.$
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16},\therefore 3＜\sqrt{12}＜4,\therefore \sqrt{12}$的整数部分是3,
$\therefore c=3.\therefore 3a-b+c=15-2+3=16,\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm4.$

10. | 代数推理（2025·南京月考）已知：$a＞0,b＞0$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{a+b}$。

10. $\because a＞0,b＞0,\therefore \sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0,\sqrt{a}×\sqrt{b}＞0,\sqrt{a}+\sqrt{b}＞0,\sqrt{a+b}＞0,$
$\because (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}×\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{a}×\sqrt{b}+b,$
$(\sqrt{a+b})^2=a+b,\therefore a+2\sqrt{a}×\sqrt{b}+b＞a+b,即\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{a+b}.$

11. |新方法 在没有带开方功能的计算器的情况下,我们可以用下面的方法得到$\sqrt{n}$($n$为正整数)的近似值$a_k$($k$为正整数),并通过迭代逐渐减小$|a_k-\sqrt{n}|$的值来提高$a_k$的精确度,以求$\sqrt{7}$的近似值为例,迭代过程如下:
①先估计$\sqrt{7}$的范围并确定迭代的初始值$a_1$.
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9},\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$,取$a_1=2+\frac{3-2}{2}=2.5$.
②通过计算$m_k=\frac{(a_k)^2 - n}{2a_k}$和$a_{k+1}=a_k - m_k$得到精确度更高的近似值$a_{k+1}$.
请根据以上信息,完成下面的问题(此题中记$\sqrt{7}\approx2.645\ 8$,以下结果都要求写成小数形式):
(1)当$k=1$时,$m_1=\frac{(a_1)^2 - 7}{2a_1}=\_\_\_\_\_\_,a_2=a_1 - m_1=\_\_\_\_\_\_,|a_2-\sqrt{7}|\approx$;
(2)当$k=2$时,求$m_2$(精确到$0.001$),$a_3,|a_3-\sqrt{7}|$的值.
＞＞ 对点专练 P75
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

11. (1)-0.15 2.65 0.004 2 解析:当k=1时,将$a_1=2.5$代入$m_1=\frac{(a_1)^2-7}{2a_1}$得$m_1=\frac{2.5^2-7}{2×2.5}=-0.15,\therefore a_2=a_1-m_1=2.5-(-0.15)=2.65,|a_2-\sqrt{7}|\approx|2.65-2.6458|=0.0042.$
(2)当k=2时,将$a_2=2.65$代入$m_2=\frac{(a_2)^2-7}{2a_2}$得$m_2=\frac{2.65^2-7}{2×2.65}\approx0.004,\therefore a_3=a_2-m_2\approx2.65-0.004=2.646,\therefore |a_3-\sqrt{7}|\approx|2.646-2.6458|=0.0002.$