1. ★★★ (2025·南京月考)如图，D为BC中点，AE=AB，AF=AC，连接EF，EF=2AD. 若△AEF的面积为3，求△ADC的面积.

1. 延长 AD 到点 G,使 DG=AD,连接 BG,
∵ D 为 BC 中点,
∴ BD = DC, △ADC 的面积 = △ADB 的面积. 在 △ADC 和△GDB 中，$\begin{cases} AD=GD, \\ ∠ADC=∠GDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC ≅ △GDB ( SAS ),
∴ △ADC 的面积= △BDG 的面积,BG=AC.
∵ AC=AF,
∴ BG=AF.
∵ EF = 2AD,AG = 2AD,
∴ EF = AG. 在 △AEF 和 △BAG 中，$\begin{cases} AE=BA, \\ AF=BG, \\ EF=AG, \end{cases}$
∴ △AEF≅△BAG( SSS ) ,
∴ △AEF 的面积 = △ABG 的面积=3,
∴ △ADC 的面积 = $\frac{1}{2}×△ABG$ 的面积 = 1.5.

2. 如图,在$△ ABC$中,D是BC边的中点,$DE ⊥ DF$于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:$BE+CF＞EF$.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P13专题8

2. 延长 ED 至点 G,使 DG=DE,连接 CG,FG,如图所示.
∵ D 是BC 边的中点,
∴ CD=BD.在△CDG 和△BDE 中,$\begin{cases} DG=DE, \\ ∠CDG=∠BDE, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △CDG≅△BDE( SAS ) ,
∴ CG = BE.
∵ DE ⊥ DF ,
∴ ∠EDF = ∠GDF = 90°. 在 △EDF 和 △GDF 中, $\begin{cases} DE=DG, \\ ∠EDF=∠GDF, \\ FD=FD, \end{cases}$
∴ △EDF≅△GDF( SAS ) ,
∴ EF = GF, 在 △CFG 中,CG+CF＞ FG,
∴ BE+CF＞EF.