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1[2026安徽六安校级期末]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中, $∠ C=90°$,$AB=8$,$BC=6$,则$\sin A$等于 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
C
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
1. C 【解析】
∵ ∠C=90°,
∴ sin A = $\frac{BC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, 故选 C.
∵ ∠C=90°,
∴ sin A = $\frac{BC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, 故选 C.
解析
【分析】
要计算$\sin A$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。首先明确$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C$为直角，因此斜边为$AB$，$∠ A$的对边为$BC$，题目已直接给出$AB$和$BC$的长度，代入定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
已知$AB=8$，$BC=6$，代入数值计算：
$\sin A = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对锐角正弦定义的掌握，解题的核心是准确找到对应锐角的对边和斜边，牢记定义即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要计算$\sin A$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。首先明确$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C$为直角，因此斜边为$AB$，$∠ A$的对边为$BC$，题目已直接给出$AB$和$BC$的长度，代入定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
已知$AB=8$，$BC=6$，代入数值计算：
$\sin A = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对锐角正弦定义的掌握，解题的核心是准确找到对应锐角的对边和斜边，牢记定义即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,O都在格点上,则∠A的正弦值是 (
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{10}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
A
)A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{10}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2. A 【解析】如图,取格点 C,使得∠ACO=90°. 由题意得 OC=2,AC=4,由勾股定理得 AO = $\sqrt{AC^2+OC^2}=2\sqrt{5}$,
∴ sin A = $\frac{OC}{OA}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. 故选 A.
解析
【分析】
要求∠A的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。因此我们需要先构造出包含∠A的直角三角形，利用网格的格点特性，取合适的格点构造直角，再分别计算∠A的对边和所在直角三角形斜边的长度，最后代入定义计算比值即可。
【解析】
如图，取格点C，使得∠ACO=90°。
已知每个小正方形的边长为1，因此可得：
$OC = 2$，$AC = 4$，
由勾股定理计算斜边$AO$的长度：
$AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{OC}{OA} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；格点图形计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是掌握锐角三角函数的定义，学会利用网格特征构造直角三角形，将所求角转化到直角三角形中进行计算，是锐角三角函数章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
要求∠A的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。因此我们需要先构造出包含∠A的直角三角形，利用网格的格点特性，取合适的格点构造直角，再分别计算∠A的对边和所在直角三角形斜边的长度，最后代入定义计算比值即可。
【解析】
如图，取格点C，使得∠ACO=90°
。已知每个小正方形的边长为1，因此可得：
$OC = 2$，$AC = 4$，
由勾股定理计算斜边$AO$的长度：
$AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{OC}{OA} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；格点图形计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是掌握锐角三角函数的定义，学会利用网格特征构造直角三角形，将所求角转化到直角三角形中进行计算，是锐角三角函数章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
3[2026海南海口校级期中]如图，$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC=5$，$BC=6$，则$\sin A = (\quad)$
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{24}{7}$
C.$\dfrac{24}{25}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{24}{7}$
C.$\dfrac{24}{25}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
3. C 【解析】过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D,过点 B 作 BE ⊥ AC 于点 E,如图.
∵ AB = AC=5,
∴ AD 是 BC 边上的中线,
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=3$. 由勾股定理可得 AD = $\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD× BC=\frac{1}{2}×4×6=12$,
∴ $\frac{1}{2}AC× BE=\frac{1}{2}×5× BE=12$,
∴ $BE=\frac{24}{5}$,
∴ $\sin ∠ BAC=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{24}{5}}{5}=\frac{24}{25}$,故选 C.
解析
【分析】
要求$\sin A$，根据正弦的定义，需要构造以$∠ A$为锐角的直角三角形，得到$∠ A$的对边和斜边的比值。首先利用等腰三角形三线合一的性质，作$BC$边上的高$AD$，可求出$△ ABC$的面积；再通过面积法求出$AC$边上的高$BE$，此时$BE$就是$Rt△ ABE$中$∠ A$的对边，斜边为$AB$，代入正弦公式即可求出结果。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$。
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
又$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE$，
$\therefore \frac{1}{2}×5× BE=12$，解得$BE=\frac{24}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，$\sin∠ BAC=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{24}{5}}{5}=\frac{24}{25}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题将等腰三角形的性质、勾股定理与锐角三角函数结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造含目标角的直角三角形，灵活运用面积法求高，熟练掌握相关性质和定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求$\sin A$，根据正弦的定义，需要构造以$∠ A$为锐角的直角三角形，得到$∠ A$的对边和斜边的比值。首先利用等腰三角形三线合一的性质，作$BC$边上的高$AD$，可求出$△ ABC$的面积；再通过面积法求出$AC$边上的高$BE$，此时$BE$就是$Rt△ ABE$中$∠ A$的对边，斜边为$AB$，代入正弦公式即可求出结果。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$。
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
又$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE$，
$\therefore \frac{1}{2}×5× BE=12$，解得$BE=\frac{24}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，$\sin∠ BAC=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{24}{5}}{5}=\frac{24}{25}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题将等腰三角形的性质、勾股定理与锐角三角函数结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造含目标角的直角三角形，灵活运用面积法求高，熟练掌握相关性质和定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$a$，$b$，$c$满足$b^2=(c+a)(c-a)$.若$5b-4c=0$，则$\sin A+\sin B$的值为
$\frac{7}{5}$
.答案
4. $\frac{7}{5}$ 【解析】
∵ $b^2=(c+a)(c-a)$,
∴ $b^2=c^2-a^2$, 即 $a^2+b^2=c^2$,
∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形.
∵ $5b-4c=0$,
∴ $\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$. 设 $b=4k$,则 $c=5k$,
∴ △ABC 中,$a=3k$,
∴ $\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$,
∴ $\sin A+\sin B=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$.
∵ $b^2=(c+a)(c-a)$,
∴ $b^2=c^2-a^2$, 即 $a^2+b^2=c^2$,
∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形.
∵ $5b-4c=0$,
∴ $\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$. 设 $b=4k$,则 $c=5k$,
∴ △ABC 中,$a=3k$,
∴ $\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$,
∴ $\sin A+\sin B=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$.
解析
【分析】
首先对已知的边的等式$b^2=(c+a)(c-a)$利用平方差公式展开变形，结合勾股定理的逆定理判断出$△ ABC$是直角三角形，且斜边为$c$；再根据$5b-4c=0$得到$b$与$c$的比值，通过设参数的方法用含相同参数的式子表示出三边长度；最后根据锐角正弦的定义，分别求出$\sin A$和$\sin B$的值，相加即可得到结果。
【解析】
解：$\because b^2=(c+a)(c-a)$
$\therefore$ 由平方差公式得$b^2=c^2-a^2$，移项可得$a^2+b^2=c^2$
$\therefore △ ABC$是以$c$为斜边的直角三角形，$∠ C=90°$
$\because 5b-4c=0$，$\therefore 5b=4c$，即$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$
设$b=4k$（$k＞0$），则$c=5k$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$
根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
$\therefore \sin A+\sin B=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理、锐角正弦的定义、比例设参
【点评】
本题是直角三角形与锐角三角函数的基础综合题，解题的核心是先通过边的关系判定三角形为直角三角形，再结合边长比例用设参法简化计算，能很好地考查学生对基础定理和三角函数定义的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先对已知的边的等式$b^2=(c+a)(c-a)$利用平方差公式展开变形，结合勾股定理的逆定理判断出$△ ABC$是直角三角形，且斜边为$c$；再根据$5b-4c=0$得到$b$与$c$的比值，通过设参数的方法用含相同参数的式子表示出三边长度；最后根据锐角正弦的定义，分别求出$\sin A$和$\sin B$的值，相加即可得到结果。
【解析】
解：$\because b^2=(c+a)(c-a)$
$\therefore$ 由平方差公式得$b^2=c^2-a^2$，移项可得$a^2+b^2=c^2$
$\therefore △ ABC$是以$c$为斜边的直角三角形，$∠ C=90°$
$\because 5b-4c=0$，$\therefore 5b=4c$，即$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$
设$b=4k$（$k＞0$），则$c=5k$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$
根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
$\therefore \sin A+\sin B=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理、锐角正弦的定义、比例设参
【点评】
本题是直角三角形与锐角三角函数的基础综合题，解题的核心是先通过边的关系判定三角形为直角三角形，再结合边长比例用设参法简化计算，能很好地考查学生对基础定理和三角函数定义的掌握情况。
【难度系数】
0.7
5[2025安徽合肥校级质检]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=8$，$BC=6$，则$\cos A$的值为（
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\dfrac{4}{5}$或$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
C
）A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\dfrac{4}{5}$或$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
答案
5. C 【解析】题目中未明确直角顶点的位置，需要分类讨论，应分为∠C是直角和∠B是直角两种情况讨论。当∠C=90°时，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；当∠B=90°时，AB=$\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，所以$\cos A$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$，故选 C.
解析
【分析】
本题是在直角三角形中求锐角的余弦值，解题首先要注意题干未明确直角顶点的位置，需先结合直角三角形斜边最长的性质排除不可能的直角情况：已知AC=8、BC=6，若∠A为直角，则斜边BC应大于直角边AC，与边长矛盾，因此仅需分∠C为直角、∠B为直角两种情况讨论；再根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边/斜边），结合勾股定理分别计算两种情况下的cosA即可。
【解析】
题干未明确Rt△ABC的直角顶点，需分类讨论：
① 当∠C=90°时，由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
② 当∠B=90°时，斜边为AC，由勾股定理得直角边$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，此时$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。
综上，$\cos A$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角三角形未明确直角顶点的情况，直接默认∠C为直角导致漏解。解题时遇到未指明直角顶点的直角三角形问题，要先结合边长关系排除不可能的直角情况，再分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是在直角三角形中求锐角的余弦值，解题首先要注意题干未明确直角顶点的位置，需先结合直角三角形斜边最长的性质排除不可能的直角情况：已知AC=8、BC=6，若∠A为直角，则斜边BC应大于直角边AC，与边长矛盾，因此仅需分∠C为直角、∠B为直角两种情况讨论；再根据余弦的定义（锐角的余弦=邻边/斜边），结合勾股定理分别计算两种情况下的cosA即可。
【解析】
题干未明确Rt△ABC的直角顶点，需分类讨论：
① 当∠C=90°时，由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
② 当∠B=90°时，斜边为AC，由勾股定理得直角边$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，此时$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。
综上，$\cos A$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角三角形未明确直角顶点的情况，直接默认∠C为直角导致漏解。解题时遇到未指明直角顶点的直角三角形问题，要先结合边长关系排除不可能的直角情况，再分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是 (
A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{CD}{AC}$
（第6题图）
（第7题图）
C
)A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{CD}{AC}$
（第6题图）
（第7题图）
答案
6. C 【解析】
∵ $AC ⊥ BC, CD ⊥ AB$,
∴ $∠α + ∠BCD = ∠ACD + ∠BCD = 90°$,
∴ $∠α = ∠ACD$,
∴ $\cos α = \cos ∠ACD = \frac{BD}{BC} = \frac{BC}{AB} = \frac{CD}{AC}$,
∴ 选项 A、B、D 不符合题意,选项 C 符合题意. 故选 C.
∵ $AC ⊥ BC, CD ⊥ AB$,
∴ $∠α + ∠BCD = ∠ACD + ∠BCD = 90°$,
∴ $∠α = ∠ACD$,
∴ $\cos α = \cos ∠ACD = \frac{BD}{BC} = \frac{BC}{AB} = \frac{CD}{AC}$,
∴ 选项 A、B、D 不符合题意,选项 C 符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先观察图形中的垂直关系，可得多个直角三角形，且∠α和∠ACD都与∠BCD互余，因此∠α=∠ACD，接下来我们分别在包含∠α或∠ACD的直角三角形中写出cosα的表达式，再逐一对比选项，找出错误的即可。
【解析】
∵ $AC ⊥ BC, CD ⊥ AB$，
∴ $∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°$，
∴ $∠α + ∠BCD = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°$，
∴ $∠α = ∠ACD$。
对各选项逐一分析：
A选项：在$Rt△BCD$中，$\cosα = \frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{BD}{BC}$，表达式正确，不符合题意；
B选项：在$Rt△ABC$中，$\cosα = \frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，表达式正确，不符合题意；
C选项：在$Rt△ACD$中，$\frac{AD}{DC}=\tan∠ACD=\tanα$，不是$\cosα$的值，表达式错误，符合题意；
D选项：在$Rt△ACD$中，$\cos∠ACD = \frac{∠ACD的邻边}{斜边}=\frac{CD}{AC}$，又$∠α=∠ACD$，故$\cosα=\frac{CD}{AC}$，表达式正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 余弦的定义 2. 余角的性质 3. 等角的三角函数值相等
【点评】
本题属于基础题，考查锐角余弦的相关计算，解题核心是通过角的互余关系找到相等的角，再结合直角三角形中余弦的定义判断对应线段比，做题时要注意区分锐角对应的邻边和斜边，避免混淆三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先观察图形中的垂直关系，可得多个直角三角形，且∠α和∠ACD都与∠BCD互余，因此∠α=∠ACD，接下来我们分别在包含∠α或∠ACD的直角三角形中写出cosα的表达式，再逐一对比选项，找出错误的即可。
【解析】
∵ $AC ⊥ BC, CD ⊥ AB$，
∴ $∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°$，
∴ $∠α + ∠BCD = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°$，
∴ $∠α = ∠ACD$。
对各选项逐一分析：
A选项：在$Rt△BCD$中，$\cosα = \frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{BD}{BC}$，表达式正确，不符合题意；
B选项：在$Rt△ABC$中，$\cosα = \frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，表达式正确，不符合题意；
C选项：在$Rt△ACD$中，$\frac{AD}{DC}=\tan∠ACD=\tanα$，不是$\cosα$的值，表达式错误，符合题意；
D选项：在$Rt△ACD$中，$\cos∠ACD = \frac{∠ACD的邻边}{斜边}=\frac{CD}{AC}$，又$∠α=∠ACD$，故$\cosα=\frac{CD}{AC}$，表达式正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 余弦的定义 2. 余角的性质 3. 等角的三角函数值相等
【点评】
本题属于基础题，考查锐角余弦的相关计算，解题核心是通过角的互余关系找到相等的角，再结合直角三角形中余弦的定义判断对应线段比，做题时要注意区分锐角对应的邻边和斜边，避免混淆三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.7
7[2026吉林长春校级质检]如图,直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x,y$轴分别交于$A,B$两点,则$\cos∠ BAO$的值是（
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{4}$
A
）A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{4}$
答案
7. A 【解析】对于 $y=\frac{3}{4}x+3$, 当 $x=0$ 时,$y=3$; 当 $y=0$ 时,$x=-4$,
∴ $A(-4,0), B(0,3)$,
∴ $OA=4, OB=3$,
∴ 由勾股定理得,$AB=5$,
∴ $\cos∠BAO=\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$,故选 A.
∴ $A(-4,0), B(0,3)$,
∴ $OA=4, OB=3$,
∴ 由勾股定理得,$AB=5$,
∴ $\cos∠BAO=\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$,故选 A.
解析
【分析】
要求$\cos∠ BAO$的值，首先回忆余弦的定义：锐角的余弦值等于该角在直角三角形中邻边与斜边的比值，因此需先确定$∠ BAO$所在的直角三角形。观察图形可知，直线与x轴、y轴交于A、B点，$△ AOB$是直角三角形（$∠ AOB=90°$），刚好是$∠ BAO$所在的直角三角形。接下来解题步骤为：第一步，根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，得到直角边OA、OB的长度；第二步，利用勾股定理求出斜边AB的长度；第三步，代入余弦定义式计算即可得到结果。
【解析】
对于直线$y=\frac{3}{4}x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，因此$B(0,3)$，即$OB=3$；
令$y=0$，得$0=\frac{3}{4}x+3$，解得$x=-4$，因此$A(-4,0)$，即$OA=4$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
根据余弦的定义，$\cos∠ BAO=\frac{∠ BAO\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题属于基础综合题型，结合了一次函数和锐角三角函数的基础知识点，解题关键是先求出直线与坐标轴的交点坐标，得到直角三角形的边长，再结合余弦的定义计算，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求$\cos∠ BAO$的值，首先回忆余弦的定义：锐角的余弦值等于该角在直角三角形中邻边与斜边的比值，因此需先确定$∠ BAO$所在的直角三角形。观察图形可知，直线与x轴、y轴交于A、B点，$△ AOB$是直角三角形（$∠ AOB=90°$），刚好是$∠ BAO$所在的直角三角形。接下来解题步骤为：第一步，根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，得到直角边OA、OB的长度；第二步，利用勾股定理求出斜边AB的长度；第三步，代入余弦定义式计算即可得到结果。
【解析】
对于直线$y=\frac{3}{4}x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，因此$B(0,3)$，即$OB=3$；
令$y=0$，得$0=\frac{3}{4}x+3$，解得$x=-4$，因此$A(-4,0)$，即$OA=4$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
根据余弦的定义，$\cos∠ BAO=\frac{∠ BAO\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OA}{AB}=\frac{4}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题属于基础综合题型，结合了一次函数和锐角三角函数的基础知识点，解题关键是先求出直线与坐标轴的交点坐标，得到直角三角形的边长，再结合余弦的定义计算，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,各边都扩大到原来的3倍,则$∠ A$的三角函数值 （
A.扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
C
）A.扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
答案
8. C 【解析】
∵ 各边都扩大到原来的 3 倍,
∴ 新三角形与原三角形的对应边的比为 3:1,
∴ 两三角形相似,
∴ $∠A$ 的三角函数值不变,故选 C.
∵ 各边都扩大到原来的 3 倍,
∴ 新三角形与原三角形的对应边的比为 3:1,
∴ 两三角形相似,
∴ $∠A$ 的三角函数值不变,故选 C.
解析
【分析】
解题时可从两个角度切入思考：一是明确锐角三角函数的本质是直角三角形中对应边的比值，当各边同时扩大相同倍数时，对应边的比值不会改变；二是从相似三角形的角度分析，各边同时扩大3倍后得到的新三角形和原三角形相似，对应角∠A的大小不变，而三角函数值只由角的大小决定，因此可直接判断三角函数值不变，也可通过设边长计算比值验证结论。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，三边长分别为$a$、$b$、$c$，则$∠ A$的三角函数值分别为：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
当各边都扩大到原来的3倍后，新三角形的三边长为$3a$、$3b$、$3c$，此时：
$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}=\sin A$，
$\cos A'=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}=\cos A$，
$\tan A'=\frac{3a}{3b}=\frac{a}{b}=\tan A$。
也可通过相似判定：各边扩大3倍后新三角形与原三角形对应边比为$3:1$，两三角形均为直角三角形，故两三角形相似，对应$∠ A$大小不变，因此其三角函数值不变。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的定义
2.相似三角形的性质
【点评】
本题考查对锐角三角函数本质的理解，解题核心是明确三角函数值仅由角的大小决定，和角所在直角三角形的边长无关，易错点是容易误以为边长扩大后三角函数值也会同步扩大。
【难度系数】
0.8
解题时可从两个角度切入思考：一是明确锐角三角函数的本质是直角三角形中对应边的比值，当各边同时扩大相同倍数时，对应边的比值不会改变；二是从相似三角形的角度分析，各边同时扩大3倍后得到的新三角形和原三角形相似，对应角∠A的大小不变，而三角函数值只由角的大小决定，因此可直接判断三角函数值不变，也可通过设边长计算比值验证结论。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，三边长分别为$a$、$b$、$c$，则$∠ A$的三角函数值分别为：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
当各边都扩大到原来的3倍后，新三角形的三边长为$3a$、$3b$、$3c$，此时：
$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}=\sin A$，
$\cos A'=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}=\cos A$，
$\tan A'=\frac{3a}{3b}=\frac{a}{b}=\tan A$。
也可通过相似判定：各边扩大3倍后新三角形与原三角形对应边比为$3:1$，两三角形均为直角三角形，故两三角形相似，对应$∠ A$大小不变，因此其三角函数值不变。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的定义
2.相似三角形的性质
【点评】
本题考查对锐角三角函数本质的理解，解题核心是明确三角函数值仅由角的大小决定，和角所在直角三角形的边长无关，易错点是容易误以为边长扩大后三角函数值也会同步扩大。
【难度系数】
0.8
9 在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, 那么 sin A + cos A 的值 (
A.大于 1
B.小于 1
C.等于 1
D.不能确定
A
)A.大于 1
B.小于 1
C.等于 1
D.不能确定
答案
9. A 【解析】在 Rt△ABC 中,$∠C=90°$,$\sin A = \frac{BC}{AB}$,$\cos A = \frac{AC}{AB}$,
∴ $\sin A + \cos A = \frac{BC}{AB} + \frac{AC}{AB} = \frac{BC+AC}{AB}$.
∵ $BC + AC ＞ AB$,
∴ $\frac{BC+AC}{AB} ＞ 1$,
∴ $\sin A+\cos A$ 的值大于 1. 故选 A.
∴ $\sin A + \cos A = \frac{BC}{AB} + \frac{AC}{AB} = \frac{BC+AC}{AB}$.
∵ $BC + AC ＞ AB$,
∴ $\frac{BC+AC}{AB} ＞ 1$,
∴ $\sin A+\cos A$ 的值大于 1. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先回忆直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，将sinA和cosA分别用三角形的边长表示；再将两者相加化简为边长比的形式；最后利用三角形三边关系判断该比值和1的大小关系，就能得到结果。
【解析】
在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°，根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A = \frac{BC}{AB}$，$\cos A = \frac{AC}{AB}$，
∴ $\sin A + \cos A = \frac{BC}{AB} + \frac{AC}{AB} = \frac{BC+AC}{AB}$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$BC + AC ＞ AB$，
∴ $\frac{BC+AC}{AB} ＞ 1$，即$\sin A+\cos A$ 的值大于 1。
故选 A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，将锐角三角函数的定义与三角形三边关系结合考查，解题关键是正确用边长表示对应角的正弦、余弦，再结合三边关系判断大小。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先回忆直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，将sinA和cosA分别用三角形的边长表示；再将两者相加化简为边长比的形式；最后利用三角形三边关系判断该比值和1的大小关系，就能得到结果。
【解析】
在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°，根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A = \frac{BC}{AB}$，$\cos A = \frac{AC}{AB}$，
∴ $\sin A + \cos A = \frac{BC}{AB} + \frac{AC}{AB} = \frac{BC+AC}{AB}$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$BC + AC ＞ AB$，
∴ $\frac{BC+AC}{AB} ＞ 1$，即$\sin A+\cos A$ 的值大于 1。
故选 A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，将锐角三角函数的定义与三角形三边关系结合考查，解题关键是正确用边长表示对应角的正弦、余弦，再结合三边关系判断大小。
【难度系数】
0.8
10[2025安徽潜山期末]在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{1}{3}$，则有（
A.$\cos A=\dfrac{1}{3}$
B.$\tan A=2\sqrt{2}$
C.$\cos B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\tan B=2\sqrt{2}$
D
）A.$\cos A=\dfrac{1}{3}$
B.$\tan A=2\sqrt{2}$
C.$\cos B=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\tan B=2\sqrt{2}$
答案
10. D 【解析】
∵ $\sin A = \frac{1}{3}$,
∴ $\frac{BC}{AB} =\frac{1}{3}$. 设 $BC = x$,则 $AB=3x$,
∴ $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2\sqrt{2} x$,$\cos B= \frac{BC}{AB} = \frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$,
∴ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2} x}{3x} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{2\sqrt{2} x} = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{2} x}{x} = 2\sqrt{2}$,
∴ A、B、C 不符合题意,D 符合题意. 故选 D.
∵ $\sin A = \frac{1}{3}$,
∴ $\frac{BC}{AB} =\frac{1}{3}$. 设 $BC = x$,则 $AB=3x$,
∴ $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=2\sqrt{2} x$,$\cos B= \frac{BC}{AB} = \frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$,
∴ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2} x}{3x} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{x}{2\sqrt{2} x} = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{2} x}{x} = 2\sqrt{2}$,
∴ A、B、C 不符合题意,D 符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
这是直角三角形中锐角三角函数的应用类题目，解题思路如下：第一步，根据正弦函数的定义，sinA是∠A的对边与斜边的比值，结合已知sinA=1/3，可通过设参数的方式表示出∠A的对边和斜边的长度；第二步，利用勾股定理计算出第三条直角边的长度；第三步，分别根据余弦、正切的定义计算出选项中涉及的各三角函数值，再和选项逐一对比，选出正确答案即可。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$\sin A=\dfrac{1}{3}$，
∴ $\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
设$BC=x$，则$AB=3x$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
分别计算各选项对应三角函数值：
$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{2}x}{3x}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，故A选项错误；
$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{x}{2\sqrt{2}x}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，故B选项错误；
$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{x}{3x}=\dfrac{1}{3}$，故C选项错误；
$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{2}x}{x}=2\sqrt{2}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、互余角的三角函数关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，核心是熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边的关系，通过设参数的方法可简化计算，解题时要注意区分不同锐角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中锐角三角函数的应用类题目，解题思路如下：第一步，根据正弦函数的定义，sinA是∠A的对边与斜边的比值，结合已知sinA=1/3，可通过设参数的方式表示出∠A的对边和斜边的长度；第二步，利用勾股定理计算出第三条直角边的长度；第三步，分别根据余弦、正切的定义计算出选项中涉及的各三角函数值，再和选项逐一对比，选出正确答案即可。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$\sin A=\dfrac{1}{3}$，
∴ $\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
设$BC=x$，则$AB=3x$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
分别计算各选项对应三角函数值：
$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{2}x}{3x}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，故A选项错误；
$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{x}{2\sqrt{2}x}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，故B选项错误；
$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{x}{3x}=\dfrac{1}{3}$，故C选项错误；
$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{2}x}{x}=2\sqrt{2}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、互余角的三角函数关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，核心是熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边的关系，通过设参数的方法可简化计算，解题时要注意区分不同锐角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
11 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的各个三角函数.
答案
11. 【解】在 Rt△BCD 中,
∵ $CD = 3, BD = 5$,
∴ $BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 又
∵ $AC=AD+CD=8$,
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$, 则 $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$,$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
∵ $CD = 3, BD = 5$,
∴ $BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 又
∵ $AC=AD+CD=8$,
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$, 则 $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$,$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要求∠A的三角函数，需先明确Rt△ABC中∠A的对边、邻边及斜边的长度。首先△BCD是直角三角形，已知CD和BD的长度，可先用勾股定理求出BC的长；再结合AD、CD的长度求出AC的长，之后再次利用勾股定理求出斜边AB的长；最后根据锐角三角函数的定义，代入对应边的比值化简，即可得到∠A的各个三角函数值。
【解析】
在Rt△BCD中，∠C=90°，CD=3，BD=5，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵AC=AD+CD，AD=5，
∴AC=5+3=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan A=\frac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，解题核心是先借助勾股定理求出直角三角形的各边长，再根据三角函数的定义计算对应比值，计算过程中注意要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
要求∠A的三角函数，需先明确Rt△ABC中∠A的对边、邻边及斜边的长度。首先△BCD是直角三角形，已知CD和BD的长度，可先用勾股定理求出BC的长；再结合AD、CD的长度求出AC的长，之后再次利用勾股定理求出斜边AB的长；最后根据锐角三角函数的定义，代入对应边的比值化简，即可得到∠A的各个三角函数值。
【解析】
在Rt△BCD中，∠C=90°，CD=3，BD=5，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵AC=AD+CD，AD=5，
∴AC=5+3=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan A=\frac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，解题核心是先借助勾股定理求出直角三角形的各边长，再根据三角函数的定义计算对应比值，计算过程中注意要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
