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1 △ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5,∠B的正切值是 （
A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{13}{5}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{12}{5}$
D
）A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{13}{5}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
1. D 【解析】
在Rt△ABC中，由勾股定理得
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=12$
$\tan B=\frac{AC}{BC}$，已知$BC=5$
得$\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$
解析
【分析】
要计算∠B的正切值，首先明确锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。∠B的对边是AC，邻边是BC，已知BC=5，因此需要先求出AC的长度。已知Rt△ABC的斜边AB=13，直角边BC=5，可通过勾股定理计算AC，再代入正切公式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
根据正切的定义，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}$，
将AC=12、BC=5代入得：$\tan B=\frac{12}{5}$，
结合以上，选择D。
【答案】D
【知识点】
正切的定义；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，主要考查对正切定义的掌握和勾股定理的应用，解题时需注意区分锐角三角函数的对应边关系，避免混淆对边、邻边、斜边的概念。
【难度系数】
0.8
要计算∠B的正切值，首先明确锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。∠B的对边是AC，邻边是BC，已知BC=5，因此需要先求出AC的长度。已知Rt△ABC的斜边AB=13，直角边BC=5，可通过勾股定理计算AC，再代入正切公式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
根据正切的定义，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}$，
将AC=12、BC=5代入得：$\tan B=\frac{12}{5}$，
结合以上，选择D。
【答案】D
【知识点】
正切的定义；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，主要考查对正切定义的掌握和勾股定理的应用，解题时需注意区分锐角三角函数的对应边关系，避免混淆对边、邻边、斜边的概念。
【难度系数】
0.8
2 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是AB的中点,若$CD=5$,$AC=8$,则$\tan A=$ (
A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
C
)A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
2. C 【解析】
∵ ∠ACB=90°,D是AB的中点,
CD=5,
∴ AB=2CD=10.
∵ AC=8,AB=10,
∴ $BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
∴ $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. 故选 C.
关键点拨 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
∵ ∠ACB=90°,D是AB的中点,
CD=5,
∴ AB=2CD=10.
∵ AC=8,AB=10,
∴ $BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
∴ $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. 故选 C.
关键点拨 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，CD是斜边上的中线。首先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合已知的AC边长，通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度，最后根据正切的定义，∠A的正切值等于它的对边BC与邻边AC的比值，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2CD=2×5=10。
又
∵ AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
根据锐角正切的定义，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，正切的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的性质与锐角三角函数的计算结合考查，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，准确运用勾股定理和正切的定义进行计算。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，CD是斜边上的中线。首先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合已知的AC边长，通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度，最后根据正切的定义，∠A的正切值等于它的对边BC与邻边AC的比值，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2CD=2×5=10。
又
∵ AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
根据锐角正切的定义，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，正切的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的性质与锐角三角函数的计算结合考查，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，准确运用勾股定理和正切的定义进行计算。
【难度系数】
0.7
3 新考向传统文化 [2026安徽合肥期末]七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间广为流传的一种智力玩具，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的。如图(1)是一个正方形纸板做成的七巧板，图(2)是由图(1)拼成的平行四边形ABCD，连接BD，则$\tan∠ ABD=$
$\frac{1}{3}$
。答案
3. $\frac{1}{3}$ 【解析】如
,过点 D 作DE ⊥ AB 交 BA 的延长线于点
E,则 ∠BED = 90°. 设题图(1) 中大正方形的边长为 a,则
BC=AC=AD=a,
∴ $AB=\sqrt{2}a$.
∵ △ABC 是等腰直角三角形,
∴ ∠BAC = ∠ABC = 45°.
∵ 平行四边形ABCD 中,AD//BC,
∴ ∠DAE = ∠ABC=$45°$, $DE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$, $BE=AB+AE=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$,
∴ $\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$, 故答案为$\frac{1}{3}$.
关键点拨 正确作出辅助线,并熟练掌握正切的定义是解题的关键.
解析
【分析】
要求∠ABD的正切值，首先需要将该角置于直角三角形中计算，因此先过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，构造含∠ABD的直角三角形BED。我们可设原七巧板对应的大正方形边长为参数a，结合七巧板的构成特点、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，分别求出Rt△BED中∠ABD的对边DE和邻边BE的长度，最后根据正切的定义计算二者的比值即可，参数a在计算过程中会消去，不影响最终结果。
【解析】
如，过点D作DE ⊥ AB交BA的延长线于点E，则 ∠BED = 90°。
设题图(1)中大正方形的边长为a，由七巧板的构成和平行四边形的性质可得：BC=AC=AD=a。
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠ABC = 45°，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠ABC=45°，即△ADE为等腰直角三角形，DE=AE。
在Rt△ADE中，由勾股定理得$DE^2+AE^2=AD^2$，即$2DE^2=a^2$，
解得$DE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴ $BE=AB+AE=\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$。
在Rt△BED中，根据正切的定义可得：
$\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题结合传统智力玩具七巧板命题，兼具趣味性和综合性，考查了几何图形性质与锐角三角函数的结合应用，解题的关键是正确作辅助线构造包含所求角的直角三角形，再结合各图形的边长关系计算比值。
【难度系数】
0.65
要求∠ABD的正切值，首先需要将该角置于直角三角形中计算，因此先过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，构造含∠ABD的直角三角形BED。我们可设原七巧板对应的大正方形边长为参数a，结合七巧板的构成特点、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，分别求出Rt△BED中∠ABD的对边DE和邻边BE的长度，最后根据正切的定义计算二者的比值即可，参数a在计算过程中会消去，不影响最终结果。
【解析】
如
，过点D作DE ⊥ AB交BA的延长线于点E，则 ∠BED = 90°。设题图(1)中大正方形的边长为a，由七巧板的构成和平行四边形的性质可得：BC=AC=AD=a。
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠ABC = 45°，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠ABC=45°，即△ADE为等腰直角三角形，DE=AE。
在Rt△ADE中，由勾股定理得$DE^2+AE^2=AD^2$，即$2DE^2=a^2$，
解得$DE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴ $BE=AB+AE=\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$。
在Rt△BED中，根据正切的定义可得：
$\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题结合传统智力玩具七巧板命题，兼具趣味性和综合性，考查了几何图形性质与锐角三角函数的结合应用，解题的关键是正确作辅助线构造包含所求角的直角三角形，再结合各图形的边长关系计算比值。
【难度系数】
0.65
4[2025安徽芜湖质检]有6个边长均为1的小正方形，恰好如图放置在△ABC中(∠ACB=90°)，则tan B的值是
$\frac{1}{2}$
。答案
4. $\frac{1}{2}$ 【解析】如图
,由题意得 FH//BC,EH = 1,FH = 2,∴ ∠B = ∠EFH,
∴ $\tan B = \tan∠EFH=\frac{EH}{FH}=\frac{1}{2}$. 故答案为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要求$\tan B$的值，根据正切的定义，需先得到∠B所在直角三角形中对边与邻边的比值，直接在△ABC中计算缺少对应边长条件。观察图形可知小正方形的边$FH// BC$，根据平行线的同位角相等性质，可得$∠ B=∠ EFH$，因此可将求$\tan B$转化为求$\tan∠ EFH$，再结合小正方形边长为1的条件，得到Rt△EFH的两条直角边长度，即可求出对应比值。
【解析】
如图，由题意得小正方形边长均为1，$FH// BC$，$EH=1$，$FH=2$，$∠ EHF=90°$。
∵ $FH// BC$，
∴ $∠ B=∠ EFH$（两直线平行，同位角相等）。
根据正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值为对边与邻边的比值，因此：
$\tan B = \tan∠ EFH=\frac{EH}{FH}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义；平行线的性质；等角的三角函数值相等
【点评】
本题通过转化思想，将求大三角形锐角正切的问题转化为小直角三角形内的计算问题，充分利用了小正方形的边长和平行线的性质，侧重考查基础概念的灵活应用，解题关键是找到与∠B相等的角建立联系。
【难度系数】
0.7
要求$\tan B$的值，根据正切的定义，需先得到∠B所在直角三角形中对边与邻边的比值，直接在△ABC中计算缺少对应边长条件。观察图形可知小正方形的边$FH// BC$，根据平行线的同位角相等性质，可得$∠ B=∠ EFH$，因此可将求$\tan B$转化为求$\tan∠ EFH$，再结合小正方形边长为1的条件，得到Rt△EFH的两条直角边长度，即可求出对应比值。
【解析】
如图
，由题意得小正方形边长均为1，$FH// BC$，$EH=1$，$FH=2$，$∠ EHF=90°$。∵ $FH// BC$，
∴ $∠ B=∠ EFH$（两直线平行，同位角相等）。
根据正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值为对边与邻边的比值，因此：
$\tan B = \tan∠ EFH=\frac{EH}{FH}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义；平行线的性质；等角的三角函数值相等
【点评】
本题通过转化思想，将求大三角形锐角正切的问题转化为小直角三角形内的计算问题，充分利用了小正方形的边长和平行线的性质，侧重考查基础概念的灵活应用，解题关键是找到与∠B相等的角建立联系。
【难度系数】
0.7
5[2025山东东营校级期末]如图是冬奥会首钢滑雪大跳台的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB。已知斜坡AB的坡度为3:4，坡长AB为n米，则斜坡AB的铅直高度AH为（
A.$\frac{n}{3}$米
B.$\frac{\sqrt{7}n}{7}$米
C.$\frac{4n}{5}$米
D.$\frac{3n}{5}$米
D
）A.$\frac{n}{3}$米
B.$\frac{\sqrt{7}n}{7}$米
C.$\frac{4n}{5}$米
D.$\frac{3n}{5}$米
答案
5. D 【解析】由题意得,AH ⊥ BH.
∵ 斜坡 AB 的坡度为 3:4,
∴ $\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}$. 设 AH=3x 米,则 BH=4x 米. 在 Rt△ABH 中, $AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$ 米.
∵ AB=n 米,
∴ 5x=n,解得 $x=\frac{n}{5}$,
∴ $AH=\frac{3n}{5}$米. 故选 D.
∵ 斜坡 AB 的坡度为 3:4,
∴ $\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}$. 设 AH=3x 米,则 BH=4x 米. 在 Rt△ABH 中, $AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$ 米.
∵ AB=n 米,
∴ 5x=n,解得 $x=\frac{n}{5}$,
∴ $AH=\frac{3n}{5}$米. 故选 D.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确坡度的含义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。本题已知斜坡AB的坡度和坡长，我们可以先根据坡度的比例关系设出铅直高度和水平宽度的未知数，再结合直角三角形的勾股定理表示出坡长，结合已知的坡长为n米求出未知数的值，最后就能算出铅直高度AH的长度。
【解析】
由题意可知$AH ⊥ BH$，$△ ABH$为直角三角形。
∵斜坡AB的坡度为$3:4$，即铅直高度与水平宽度的比为$3:4$，
∴$\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}$。
设$AH=3x$米，则$BH=4x$米，
在$Rt△ ABH$中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$（米），
已知坡长$AB=n$米，
∴$5x=n$，解得$x=\frac{n}{5}$，
∴$AH=3x=3×\frac{n}{5}=\frac{3n}{5}$（米）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合实际滑雪大跳台的场景出题，属于基础类应用题，核心考查对坡度概念的掌握，以及运用勾股定理求解直角三角形边长的能力，解题的关键是准确理解坡度的比例关系。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确坡度的含义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。本题已知斜坡AB的坡度和坡长，我们可以先根据坡度的比例关系设出铅直高度和水平宽度的未知数，再结合直角三角形的勾股定理表示出坡长，结合已知的坡长为n米求出未知数的值，最后就能算出铅直高度AH的长度。
【解析】
由题意可知$AH ⊥ BH$，$△ ABH$为直角三角形。
∵斜坡AB的坡度为$3:4$，即铅直高度与水平宽度的比为$3:4$，
∴$\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}$。
设$AH=3x$米，则$BH=4x$米，
在$Rt△ ABH$中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$（米），
已知坡长$AB=n$米，
∴$5x=n$，解得$x=\frac{n}{5}$，
∴$AH=3x=3×\frac{n}{5}=\frac{3n}{5}$（米）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合实际滑雪大跳台的场景出题，属于基础类应用题，核心考查对坡度概念的掌握，以及运用勾股定理求解直角三角形边长的能力，解题的关键是准确理解坡度的比例关系。
【难度系数】
0.8
6[2026北京平谷区期末]如图，房屋的屋顶截面为等腰三角形，若AB的坡度i为1:2，房子侧宽BC为12米，则AB的长为
刷易错 小心有坑~
$3\sqrt{5}$
米。刷易错 小心有坑~
答案
6. $3\sqrt{5}$ 【解析】过 A 作 AD ⊥ BC 于 D.
∵ AB = AC,BC=12 米,
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6$ 米.
∵ AB 的坡度 i 为 1:2,
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴ AD = 3 米,
∴ $AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=3\sqrt{5}$ 米,
∴ AB 的长为 $3\sqrt{5}$ 米. 故答案为 $3\sqrt{5}$.
∵ AB = AC,BC=12 米,
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6$ 米.
∵ AB 的坡度 i 为 1:2,
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴ AD = 3 米,
∴ $AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=3\sqrt{5}$ 米,
∴ AB 的长为 $3\sqrt{5}$ 米. 故答案为 $3\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：1. 遇到等腰三角形求边长，优先作底边上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到底边一半的长度；2. 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，结合已知坡度可求出高AD的长度；3. 最后在构造的直角三角形中，用勾股定理算出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵ △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，BC=12米，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$米。
∵ AB的坡度$i=1:2$，即坡面铅直高度与水平宽度的比为$1:2$，
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，代入BD=6米得$AD=\frac{1}{2}×6=3$米。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$米。
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质、坡度的概念、勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是正确作辅助线构造直角三角形，同时要准确理解坡度的定义，避免将坡度的比值前后项混淆。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按以下思路推导：1. 遇到等腰三角形求边长，优先作底边上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到底边一半的长度；2. 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，结合已知坡度可求出高AD的长度；3. 最后在构造的直角三角形中，用勾股定理算出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵ △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，BC=12米，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$米。
∵ AB的坡度$i=1:2$，即坡面铅直高度与水平宽度的比为$1:2$，
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，代入BD=6米得$AD=\frac{1}{2}×6=3$米。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$米。
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质、坡度的概念、勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是正确作辅助线构造直角三角形，同时要准确理解坡度的定义，避免将坡度的比值前后项混淆。
【难度系数】
0.7
7 已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则$\tan∠ BPC$的值是
$2或\frac{2}{3}$
。答案
7. $2或\frac{2}{3}$ 【解析】①当点 P 在边 DC 上时, 如图(1)
.∵ DC = 2,DP = 1,
∴ PC = 1. 又
∵ BC = 2,∠C=90°,
∴ $\tan∠BPC=\frac{BC}{PC}=2$.
②当点 P 在边 CD 的延长线上时,如图(2)
.∵ DP = 1,DC = 2,
∴ PC = 3. 又
∵ BC = 2,∠C = 90°,
∴ $\tan∠BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{3}$. 故答案为 2 或 $\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题首先要注意点P的位置特征：题目说明P在直线CD上，不是线段CD上，因此存在两种位置情况：①点P在线段DC上；②点P在线段CD的延长线上。结合正方形的性质可知$∠ C$始终为直角，$△ BPC$是直角三角形，最后根据正切的定义，即直角三角形中锐角的正切等于对边比邻边，分别计算两种情况的$\tan∠ BPC$即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在边DC上时，如图(1)：
∵正方形边长$DC=2$，$DP=1$，
∴$PC=DC-DP=2-1=1$。
又
∵正方形中$BC=2$，$∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，根据正切定义可得：
$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{1}=2$。
② 当点P在边CD的延长线上时，如图(2)：
∵$DP=1$，$DC=2$，
∴$PC=DC+DP=2+1=3$。
又
∵正方形中$BC=2$，$∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，根据正切定义可得：
$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$2或\frac{2}{3}$
【知识点】
正切的定义，正方形的性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略“直线CD”包含两种位置，导致漏解。解题时要先明确动点的所有可能位置，再结合直角三角形锐角三角函数的定义计算即可。
【难度系数】
0.7
本题首先要注意点P的位置特征：题目说明P在直线CD上，不是线段CD上，因此存在两种位置情况：①点P在线段DC上；②点P在线段CD的延长线上。结合正方形的性质可知$∠ C$始终为直角，$△ BPC$是直角三角形，最后根据正切的定义，即直角三角形中锐角的正切等于对边比邻边，分别计算两种情况的$\tan∠ BPC$即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点P在边DC上时，如图(1)
：∵正方形边长$DC=2$，$DP=1$，
∴$PC=DC-DP=2-1=1$。
又
∵正方形中$BC=2$，$∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，根据正切定义可得：
$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{1}=2$。
② 当点P在边CD的延长线上时，如图(2)
：∵$DP=1$，$DC=2$，
∴$PC=DC+DP=2+1=3$。
又
∵正方形中$BC=2$，$∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，根据正切定义可得：
$\tan∠ BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$2或\frac{2}{3}$
【知识点】
正切的定义，正方形的性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略“直线CD”包含两种位置，导致漏解。解题时要先明确动点的所有可能位置，再结合直角三角形锐角三角函数的定义计算即可。
【难度系数】
0.7
