1[2026四川广汉期末，中]如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，若$AP=\frac{2}{3}PB$，则这条绳子的原长为（）


A.100 cm
B.150 cm
C.100 cm或150 cm
D.120 cm或150 cm

C 【解析】因为 $AP=\frac{2}{3}PB$,剪断后的各段绳子中最长的一段为 60 cm,所以分两种情况讨论:①当点 B 为绳子的中点时,$PB=\frac{1}{2}×60=30$( cm ),则 $AP=\frac{2}{3}PB=20$ cm,所以 $AB=AP+PB=50$ cm,所以这条绳子的原长为 2AB=100 cm;②当点 A 为绳子的中点时,$AP=\frac{1}{2}×60=30$( cm ),所以 $PB=\frac{3}{2}AP=45$ cm,所以 $AB=AP+PB=75$ cm,所以这条绳子的原长为 2AB=150 cm. 故选 C.

2[2026安徽淮南期末,中]如图,点B在线段AC上,点M,N分别为线段AB,BC的中点,点O是线段AC的中点,给出下列结论:①$MN=CO$;②$2MO=AO-BO$;③$AM=BN$;④$2NO=CO+BO$.其中正确的结论有 ()


A.①②④
B.①②③
C.①③④
D.①②③④

A 【解析】由题意可得 $BM=AM=\frac{1}{2}AB,BN=CN=\frac{1}{2}BC,CO=\frac{1}{2}AC$. 因为 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$,所以 $MN=CO$,所以①正确. 因为 $AO-BO=AB-BO-BO=2BM-2BO=2(BM-BO)=2MO$,所以②正确. 因为点 O,B 不重合,所以 AB 与 BC 不相等,所以 AM 与 BN 不相等,所以③不正确. 因为 $CO+BO=BC+BO+BO=2BN+2BO=2(BN+BO)=2NO$,所以④正确. 故选 A.

3[2026江西赣州质检,中]如图,有两根木条AB,CD,AB长为100 cm,CD长为150 cm,在它们的中点处各有一枚钉子M,N(钉子大小忽略不计,M,N抽象成两个点).若将它们的一端重合,放置在同一条直线上,此时两根木条上钉子之间的距离MN是 ()


A.50 cm
B.25 cm
C.125 cm
D.25 cm或125 cm

D 【解析】①当重合后剩余的两个端点在重合点的两侧时,如图(1).

因为点 M 和点 N 分别为 AB 和 CD 的中点,所以 $BM=\frac{1}{2}AB=50$ cm,$CN=\frac{1}{2}CD=75$ cm,所以 $MN=BM+CN=50+75=125$( cm ).
②当重合后剩余的两个端点在重合点的同侧时,如图(2).

因为点 M 和点 N 分别为 AB 和 CD 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AB=50$ cm,$CN=\frac{1}{2}CD=75$ cm,所以 $MN=CN-AM=75-50=25$( cm ).
综上所述,两根木条上钉子之间的距离 MN 是 25 cm 或 125 cm. 故选 D.

4[2025 北京通州区期末,中]延长线段AB到C，使$BC=\frac{1}{3}AB$，反向延长线段AB到D，使$AD=\frac{1}{2}AC$，点E为AB的中点，点F为CD的中点.若$AB=12\ \mathrm{cm}$，则线段EF的长为 cm.

2 【解析】如图. 因为 AB=12 cm,所以 $BC=\frac{1}{3}AB=4$ cm,所以 $AC=AB+BC=16$ cm,则 $AD=\frac{1}{2}AC=8$ cm,$CD=AC+AD=24$ cm. 因为点 E 为 AB 的中点,点 F 为 CD 的中点,所以 AE=6 cm,DF=12 cm,所以 AF=DF-AD=12-8=4( cm ),所以 EF=AE-AF=6-4=2( cm ). 故答案为 2.

5[较难]如图,有公共端点C的两条线段AC,BC组成一条折线A-C-B,若该折线A-C-B上一点D把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点D叫作这条折线的“折中点”.若E为线段AC的中点,EC=5 cm,CD=2 cm,则BC的长为.

6 cm 或 14 cm 【解析】①当点 D 在线段 AC 上时,因为 E 为线段 AC 的中点,EC=5 cm,所以 AC=2CE=10 cm. 因为 CD=2 cm,所以 AD=AC-CD=8 cm. 因为 BC+CD=AD=8 cm,所以 BC=8-2=6( cm ). ②当点 D 在线段 BC 上时,因为 E 为线段 AC 的中点,EC=5 cm,所以 AC=2CE=10 cm. 因为 CD=2 cm,所以 AC+CD=12 cm. 因为 BD=AC+CD=12 cm,所以 BC=12+2=14( cm ). 综上,BC 的长为 6 cm 或 14 cm.

6[2026陕西西安质检,中]如图,C是线段AB上一点,AB=48 cm,点M,N分别从点C,B同时出发,分别以1 cm/s,2 cm/s的速度沿直线BA向左运动(点M在线段AC上,点N在线段BC上),设运动时间为t s.
(1)当t=1时,若CN=2AM,则AC的长为cm;
(2)当t=8时,若CN=2AM,试说明点M为AC的中点;
(3)若点M,N运动到任一时刻,总有CN=2AM,请求出AC的长.

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(1)由题得 MC=1 cm,BN=2 cm,则 AM+CN=AB-CM-BN=45 cm. 因为 CN=2AM,所以 3AM=45 cm,所以 AM=15 cm,则 AC=AM+CM=15+1=16( cm ). 故答案为 16.
(2)当 t=8 时,CM=8 cm,BN=16 cm,所以 AM+CN=AB-CM-BN=24 cm. 因为 CN=2AM,所以 AM+2AM=24 cm,所以 AM=8 cm,则 AC=AM+CM=8+8=16( cm ),所以 $AM=\frac{1}{2}AC$,故点 M 为 AC 的中点.
(3)因为 CM=t cm,BN=2t cm,所以 AM+CN=AB-CM-BN=(48-3t) cm. 因为点 M,N 运动到任一时刻,总有 CN=2AM,所以 3AM=(48-3t) cm,所以 AM=(16-t) cm,所以 AC=AM+CM=16-t+t=16( cm ),故 AC 的长为 16 cm.

7 思想方法分类讨论[较难]点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC，BC互为“雅点”伴侣线段。
(1)如图(1)，若点C为线段AB的“雅点”，AC=6(AC＜BC)，则AB=；
(2)如图(2)，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F。若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数。(写出必要的推理步骤)

(1)因为点 C 为线段 AB 的“雅点”,AC=6(AC＜BC),所以 BC=2AC=12,所以 AB=AC+BC=18. 故答案为 18.
(2)因为点 G 在射线 EF 上,且线段 GF 与以 E,F,G 中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段,所以分以下四种情况:
①当 G 在线段 EF 上且 EG=2FG 时,如图(1).

因为 EG=2FG,EG+FG=5,所以 $EG=\frac{10}{3}$.
因为 E 表示的数为 1,
所以 G 表示的数为 $1+\frac{10}{3}=\frac{13}{3}$.
②当 G 在线段 EF 上且 FG=2EG 时,如图(2).

因为 FG=2EG,EG+FG=5,所以 $EG=\frac{5}{3}$.
因为 E 表示的数为 1,
所以 G 表示的数为 $1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$.
③当 G 在线段 EF 的延长线上且 EF=2FG 时,如图(3).

因为 EF=2FG,EF=5,所以 FG=2.5,
所以 G 表示的数为 1+5+2.5=8.5.
④当 G 在线段 EF 的延长线上且 FG=2EF 时,如图(4).

因为 FG=2EF,EF=5,所以 FG=10,
所以 G 表示的数为 1+5+10=16.
综上所述,点 G 所表示的数为 $\frac{13}{3}$ 或 $\frac{8}{3}$ 或 8.5 或 16.