1 如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=7,BC=5,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,同时,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动.当一点到达终点时,另一点也停止移动.若△PCQ的面积等于4,则它们移动的时间是().

A.1秒或4秒
B.2秒或4秒
C.2秒
D.1秒

1.D

2 传统文化《九章算术》（2025·四川绵阳梓潼期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲、乙两人从出发到相遇用了x个单位时间。根据勾股定理可列得方程为。

2. (3x)²+10²=(7x-10)²

3(2025·宿迁泗洪期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB以1 cm/s的速度向点B匀速移动,同时点Q从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C匀速移动,设运动的时间为t s.
(1)PB=,QC=.
(2)t为何值时,△DPQ的面积等于28 cm²?

3. (1)(6-t)cm (12-2t)cm
(2)
∵AP=t cm,QB=2t cm,PB=(6-t)cm,CQ=(12-2t)cm,由题意可得S△DPQ=S矩形ABCD - S△APD - S△BPQ - S△DCQ=28,
∴AB·BC - 1/2 AP·AD - 1/2 PB·BQ - 1/2 CQ·CD=28,
∴12×6 - 1/2×12t - 1/2×2t×(6-t) - 1/2×6×(12-2t)=28,
∴t²-6t+8=0,解得t₁=2,t₂=4.
故t的值为2或4时,△DPQ的面积等于28 cm².

4 新考法 存在性问题探究 如图，已知A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P,Q分别从点A,C同时发出，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动。设移动时间为t s。
(1)当t为何值时，P,Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接QB，
①当△BPQ为等腰三角形时，求t的值。
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB=90°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

4. (1)由题意可知AP=3t cm,CQ=2t cm.
∵AB=16 cm,AD=6 cm,
∴PB=AB-AP=(16-3t)cm.
当PQ⊥AB时,PQ最小,
此时四边形BCQP是矩形,
∴CQ=PB,
∴2t=16-3t,解得t=16/5,
∴当t的值为16/5时,P,Q两点间的距离最小,最小距离为6 cm.
(2)①如图,过点Q作QG⊥AB于点G,
易得四边形BCQG,四边形AGQD都是矩形,
∴BG=CQ=2t cm,QG=BC=6 cm,
∴PG=AB-BG-AP=|16-2t-3t|=|16-5t|cm.
在Rt△PQG中,根据勾股定理,得PQ²=PG²+QG²=(16-5t)²+6²,BQ²=BG²+QG²=(2t)²+6²,
当PQ=PB时,(16-5t)²+6²=(16-3t)²,
整理,得4t²-16t+9=0,解得t=(4±√7)/2;
当BQ=PB时,(2t)²+6²=(16-3t)²,
整理,得5t²-96t+220=0,解得t=(48-2√301)/5 或t=(48+2√301)/5(不符合题意,舍去);
当QP=QB时,G为PB的中点,
∴16-5t=2t,解得t=16/7.
综上所述,当△BPQ为等腰三角形时,t的值为(4±√7)/2 或(48-2√301)/5 或16/7.
②不存在一个时刻,使得∠PQB=90°.理由如下:
当∠PQB=90°时,有PQ²+BQ²=PB²,
∴(16-5t)²+6²+(2t)²+6²=(16-3t)²,
化简得5t²-16t+18=0.
∵b²-4ac=16²-4×5×18=-104＜0,
∴此方程无实数解,
∴不存在一个时刻,使得∠PQB=90°.