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(2025·大连中山区期末)[教材呈现]
人教版八年级上册数学教材第86页《探究与发现》中有这样一段话：“在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？”
为了探究不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系，在数学活动课上，李老师给出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B.
①如图2，小涛的解题思路如下：∵AB＞AC，∴在AB上截取AD＝AC，作∠BAC的平分线AE交BC于点E，连接DE，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可证明.
②如图3，小亮的解题思路如下：∵AB＞AC，∴在AB上截取AD＝AC，连接CD，利用等腰三角形的性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可证明.
请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程.
[类比分析]
通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题.为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出了下面的问题，请你解答.
如图1，在△ABC中，∠ACB＞∠B.求证：AB＞AC.
[知识应用]
如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＞AC＋CD.求证：∠C＞2∠B.
人教版八年级上册数学教材第86页《探究与发现》中有这样一段话：“在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？”
为了探究不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系，在数学活动课上，李老师给出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B.
①如图2，小涛的解题思路如下：∵AB＞AC，∴在AB上截取AD＝AC，作∠BAC的平分线AE交BC于点E，连接DE，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可证明.
②如图3，小亮的解题思路如下：∵AB＞AC，∴在AB上截取AD＝AC，连接CD，利用等腰三角形的性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可证明.
请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程.
[类比分析]
通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题.为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出了下面的问题，请你解答.
如图1，在△ABC中，∠ACB＞∠B.求证：AB＞AC.
[知识应用]
如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＞AC＋CD.求证：∠C＞2∠B.
答案
【教材呈现】选择小涛的解题思路.证明：作∠BAC的平分线AE，
∴∠DAE=∠CAE.
∵AB＞AC，
∴在AB上截取AD=AC，连接DE.
在△ADE和△ACE中，$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠DAE=∠CAE, \\ AD=AC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ACE(SAS)，
∴∠ADE=∠ACB.
∵∠ADE＞∠B，
∴∠ACB＞∠B.
选择小亮的解题思路.证明：
∵AB＞AC，
∴在AB边上截取AD=AC，连接CD，
∴∠ADC=∠ACD.
∵∠ADC＞∠B，
∴∠ACD＞∠B.
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B.(任选其一作答即可)
【类比分析】证明：把△ACE沿∠BAC的平分线AE翻折，点C落在AB上的点D处(图略)，
∴∠ADE=∠ACB，AD=AC.
∵∠ACB＞∠B，
∴∠ADE＞∠B，
∴点D在边AB上，
∴AB＞AD，
∴AB＞AC.
【知识应用】证明：如图.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB＞AC+CD，
∴在AB上截取AE=AC，连接DE.
在△ADE和△ADC中，$\begin{cases} AD=AD, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴∠AED=∠C.
∵AB＞AC+CD，
∴在EB上截取BF=DF，
∴∠FDB=∠B，
∴∠EFD=2∠B.
∵∠AED＞∠EFD，
∴∠AED＞2∠B，
∴∠C＞2∠B.
解析
【分析】
1. 教材呈现：要证明“大边对大角”，可采用截长法，在较长边AB上截取AD=AC，构造全等或等腰三角形，将∠ACB转化为与之相等的角，再利用三角形外角大于任意一个不相邻内角的性质比较角的大小：选小涛思路可借助角平分线构造SAS全等，将∠ACB转化为∠ADE，利用∠ADE是△BDE的外角得∠ADE＞∠B即可得证；选小亮思路可构造等腰△ADC，得∠ADC=∠ACD，利用∠ADC是△BDC的外角得∠ADC＞∠B，结合∠ACB＞∠ACD即可得证。
2. 类比分析：要证明“大角对大边”，可沿角平分线翻折构造全等，将AC转移到AB边上得AD=AC，∠ADE=∠ACB，结合∠ACB＞∠B判断点D落在AB上，即可得到AB＞AD=AC。
3. 知识应用：已知角平分线和AB＞AC+CD的条件，先在AB上截取AE=AC，利用角平分线构造SAS全等，将CD转化为DE、∠C转化为∠AED；再由AB＞AC+CD推得边的大小关系，构造等腰三角形结合外角性质得到2∠B与∠AED的大小关系，即可推导出∠C＞2∠B。
【解析】
教材呈现（任选一种即可）
选择小涛的思路证明：
作∠BAC的平分线AE，
∴∠DAE=∠CAE。
∵AB＞AC，
∴在AB上截取AD=AC，连接DE。
在△ADE和△ACE中：
$\begin{cases} AE=AE \\ ∠DAE=∠CAE \\ AD=AC \end{cases}$
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠ADE=∠ACB。
∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∴∠ACB＞∠B。
选择小亮的思路证明：
∵AB＞AC，
∴在AB边上截取AD=AC，连接CD，
∴△ADC为等腰三角形，
∴∠ADC=∠ACD。
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＞∠B，
∴∠ACD＞∠B。
又
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B。
---
类比分析证明：
把△ABC沿∠BAC的平分线AE翻折，使点C落在AB上的点D处，
由翻折的性质得：∠ADE=∠ACB，AD=AC。
∵∠ACB＞∠B，
∴∠ADE＞∠B，
∴点D在边AB内部，
∴AB＞AD，
∴AB＞AC。
---
知识应用证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AB＞AC+CD，
∴在AB上截取AE=AC，连接DE。
在△ADE和△ADC中：
$\begin{cases} AD=AD \\ ∠EAD=∠CAD \\ AE=AC \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴DE=CD，∠AED=∠C。
∵AB＞AC+CD，
∴AE+EB＞AE+DE，即EB＞DE，
在EB上取点F，使BF=DF，则∠FDB=∠B，
∴∠EFD=∠FDB+∠B=2∠B。
∵∠AED是△DEF的外角，
∴∠AED＞∠EFD，
∴∠AED＞2∠B，即∠C＞2∠B。
【答案】
【教材呈现】选择小涛的解题思路.证明：作∠BAC的平分线AE，
∴∠DAE=∠CAE.
∵AB＞AC，
∴在AB上截取AD=AC，连接DE.
在△ADE和△ACE中，$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠DAE=∠CAE, \\ AD=AC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ACE(SAS)，
∴∠ADE=∠ACB.
∵∠ADE＞∠B，
∴∠ACB＞∠B.
选择小亮的解题思路.证明：
∵AB＞AC，
∴在AB边上截取AD=AC，连接CD，
∴∠ADC=∠ACD.
∵∠ADC＞∠B，
∴∠ACD＞∠B.
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B.(任选其一作答即可)
【类比分析】证明：把△ACE沿∠BAC的平分线AE翻折，点C落在AB上的点D处(图略)，
∴∠ADE=∠ACB，AD=AC.
∵∠ACB＞∠B，
∴∠ADE＞∠B，
∴点D在边AB上，
∴AB＞AD，
∴AB＞AC.
【知识应用】证明：如图.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB＞AC+CD，
∴在AB上截取AE=AC，连接DE.
在△ADE和△ADC中，$\begin{cases} AD=AD, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴∠AED=∠C.
∵AB＞AC+CD，
∴在EB上截取BF=DF，
∴∠FDB=∠B，
∴∠EFD=2∠B.
∵∠AED＞∠EFD，
∴∠AED＞2∠B，
∴∠C＞2∠B.
【知识点】
三角形全等的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形中边与角的不等关系设计，核心是通过截长法构造辅助线，将不等关系的探究转化为全等、等腰、外角等已知知识的应用，渗透了转化思想，能有效锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 教材呈现：要证明“大边对大角”，可采用截长法，在较长边AB上截取AD=AC，构造全等或等腰三角形，将∠ACB转化为与之相等的角，再利用三角形外角大于任意一个不相邻内角的性质比较角的大小：选小涛思路可借助角平分线构造SAS全等，将∠ACB转化为∠ADE，利用∠ADE是△BDE的外角得∠ADE＞∠B即可得证；选小亮思路可构造等腰△ADC，得∠ADC=∠ACD，利用∠ADC是△BDC的外角得∠ADC＞∠B，结合∠ACB＞∠ACD即可得证。
2. 类比分析：要证明“大角对大边”，可沿角平分线翻折构造全等，将AC转移到AB边上得AD=AC，∠ADE=∠ACB，结合∠ACB＞∠B判断点D落在AB上，即可得到AB＞AD=AC。
3. 知识应用：已知角平分线和AB＞AC+CD的条件，先在AB上截取AE=AC，利用角平分线构造SAS全等，将CD转化为DE、∠C转化为∠AED；再由AB＞AC+CD推得边的大小关系，构造等腰三角形结合外角性质得到2∠B与∠AED的大小关系，即可推导出∠C＞2∠B。
【解析】
教材呈现（任选一种即可）
选择小涛的思路证明：
作∠BAC的平分线AE，
∴∠DAE=∠CAE。
∵AB＞AC，
∴在AB上截取AD=AC，连接DE。
在△ADE和△ACE中：
$\begin{cases} AE=AE \\ ∠DAE=∠CAE \\ AD=AC \end{cases}$
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠ADE=∠ACB。
∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∴∠ACB＞∠B。
选择小亮的思路证明：
∵AB＞AC，
∴在AB边上截取AD=AC，连接CD，
∴△ADC为等腰三角形，
∴∠ADC=∠ACD。
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＞∠B，
∴∠ACD＞∠B。
又
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B。
---
类比分析证明：
把△ABC沿∠BAC的平分线AE翻折，使点C落在AB上的点D处，
由翻折的性质得：∠ADE=∠ACB，AD=AC。
∵∠ACB＞∠B，
∴∠ADE＞∠B，
∴点D在边AB内部，
∴AB＞AD，
∴AB＞AC。
---
知识应用证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AB＞AC+CD，
∴在AB上截取AE=AC，连接DE。
在△ADE和△ADC中：
$\begin{cases} AD=AD \\ ∠EAD=∠CAD \\ AE=AC \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴DE=CD，∠AED=∠C。
∵AB＞AC+CD，
∴AE+EB＞AE+DE，即EB＞DE，
在EB上取点F，使BF=DF，则∠FDB=∠B，
∴∠EFD=∠FDB+∠B=2∠B。
∵∠AED是△DEF的外角，
∴∠AED＞∠EFD，
∴∠AED＞2∠B，即∠C＞2∠B。
【答案】
【教材呈现】选择小涛的解题思路.证明：作∠BAC的平分线AE，
∴∠DAE=∠CAE.
∵AB＞AC，
∴在AB上截取AD=AC，连接DE.
在△ADE和△ACE中，$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠DAE=∠CAE, \\ AD=AC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ACE(SAS)，
∴∠ADE=∠ACB.
∵∠ADE＞∠B，
∴∠ACB＞∠B.
选择小亮的解题思路.证明：
∵AB＞AC，
∴在AB边上截取AD=AC，连接CD，
∴∠ADC=∠ACD.
∵∠ADC＞∠B，
∴∠ACD＞∠B.
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B.(任选其一作答即可)
【类比分析】证明：把△ACE沿∠BAC的平分线AE翻折，点C落在AB上的点D处(图略)，
∴∠ADE=∠ACB，AD=AC.
∵∠ACB＞∠B，
∴∠ADE＞∠B，
∴点D在边AB上，
∴AB＞AD，
∴AB＞AC.
【知识应用】证明：如图.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB＞AC+CD，
∴在AB上截取AE=AC，连接DE.
在△ADE和△ADC中，$\begin{cases} AD=AD, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴∠AED=∠C.
∵AB＞AC+CD，
∴在EB上截取BF=DF，
∴∠FDB=∠B，
∴∠EFD=2∠B.
∵∠AED＞∠EFD，
∴∠AED＞2∠B，
∴∠C＞2∠B.
【知识点】
三角形全等的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题围绕三角形中边与角的不等关系设计，核心是通过截长法构造辅助线，将不等关系的探究转化为全等、等腰、外角等已知知识的应用，渗透了转化思想，能有效锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
