6 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+c(a≠0)$的图象过正方形ABOC的三个顶点A,B,C,则ac的值是（）


A.-1
B.2
C.-2
D.-1或-2

6. C

【分析】
首先明确二次函数$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，结合正方形ABOC的对称性可知OA是正方形的一条对角线且在y轴上。先确定顶点A的坐标，再根据正方形对角线相等、互相垂直平分的性质推导得出点B或C的坐标，最后将点坐标代入二次函数解析式化简，即可求出$ac$的值。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+c$与y轴交于点A，
∴A点坐标为$(0,c)$，由图象开口向下可知$a＜0$，顶点在y轴正半轴，故$c＞0$。
∵四边形ABOC是正方形，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴对角线$BC$与$OA$垂直，$BC$的长度等于$OA=c$，且$BC$的中点为$OA$的中点$(0,\frac{c}{2})$，因此点C的坐标为$(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
将点$C(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$代入$y=ax^2+c$得：
$\frac{c}{2}=a· (\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
∵$c\ne0$，等式两边同时除以$c$得：$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$
解得$ac=-2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；正方形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，核心是利用二次函数的对称性和正方形的性质得到抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65

7 如果一条抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，$[a,b,c]$称为“抛物线三角形系数”。若抛物线三角形系数为$[-1,b,0]$的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值为（）

A.$ \pm 2 $
B.$ \pm 3 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

7. A

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①根据给出的“抛物线三角形系数”写出对应的抛物线解析式；②分别求解抛物线与x轴的两个交点坐标，以及抛物线的顶点坐标；③由抛物线的对称性可知，“抛物线三角形”本身是以两交点连线为底边的等腰三角形，若它是等腰直角三角形，则底边上的高（即顶点到x轴的距离）等于底边长度的一半，据此可建立关于b的方程；④解方程并结合抛物线与x轴有两个交点的条件舍去不符合要求的解，即可得到b的取值。
【解析】
已知抛物线三角形系数为$[-1,b,0]$，则抛物线解析式为$y=-x^2+bx$。
1. 求抛物线与x轴的交点：令$y=0$，即$-x^2+bx=0$，因式分解得$x(-x+b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=b$，因此抛物线与x轴的两个交点为$(0,0)$和$(b,0)$，两交点间的距离（即三角形底边长）为$|b-0|=|b|$。
2. 求抛物线顶点坐标：根据二次函数顶点坐标公式，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{b}{2}$，将$x=\frac{b}{2}$代入解析式得纵坐标$y=-(\frac{b}{2})^2 + b×\frac{b}{2}=\frac{b^2}{4}$，即顶点坐标为$(\frac{b}{2},\frac{b^2}{4})$，顶点到x轴的距离（即三角形底边上的高）为$\frac{b^2}{4}$。
3. 结合等腰直角三角形性质列方程：因为该三角形是等腰直角三角形，所以底边上的高等于底边长度的一半，即$\frac{b^2}{4}=\frac{1}{2}|b|$。
4. 解方程：设$t=|b|(t＞0$，若$t=0$则抛物线与x轴仅有一个交点，不符合题意$)$，方程可化为$\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}$，整理得$t^2-2t=0$，解得$t=2$（$t=0$舍去），即$|b|=2$，因此$b=\pm2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像与性质；等腰直角三角形的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合基础题，解题核心是利用抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质建立等量关系，求解时要注意结合抛物线与x轴有两个交点的隐含条件排除增根。
【难度系数】
0.7

8 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧)，点 $C(2,m)$ 在这条抛物线上.
(1) 点 $C$ 的坐标为________；
(2) 若 $P$ 为 $y$ 轴正半轴上的一点，且 $△ BCP$ 为等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为________.

8. (1) (2,4) (2) $(0,2)或(0,\frac{1}{2})$ 【解析】(1)
∵ 点 C(2,m) 在抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$ 上,
∴ $m=-\frac{1}{2}×2^2+2+4=4.$
∴ C(2,4). (2) 令 y=0,则 $-\frac{1}{2}x^2+x+4=0$,解得 x=4 或 x=-2.
∵ 抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$ 与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧,
∴ B(4,0).由题意,P 为 y 轴正半轴上的一点,△BCP 为等腰三角形,则分情况讨论:① 当 BP=BC 时,如图①,过点 C 作 CD⊥OB 于点 D.
∵ C(2,4),B(4,0),
∴ CD=4,OB=4,OD=2.
∴ CD=OB. 在 Rt△BPO 和 Rt△CBD 中,$\begin{cases}BP=CB,\\OB=DC,\end{cases}$
∴ Rt△BPO ≅ Rt△CBD (HL).
∴ OP=DB.
∵ OB=4,OD=2,
∴ BD=OB-OD=2.
∴ OP=BD=2.
∴ P(0,2).② 当 BP=PC 时,如图②,过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E.
∵ C(2,4),B(4,0),
∴ CE=2,OE=4,OB=4.设点 P(0,a),
∵ P 为 y 轴正半轴上的一点,
∴ OP=a,EP=4-a.
∵ BP=PC,
∴ $BP^2=PC^2.$
∴ $EP^2+CE^2=OP^2+OB^2.$
∴ $(4-a)^2+2^2=a^2+4^2$,解得 $a=\frac{1}{2}.$
∴ $P(0,\frac{1}{2}).$ ③ 易知当 CB=CP 时,不存在符合条件的点 P.综上所述,点 P 的坐标为(0,2)或 $(0,\frac{1}{2}).$

【分析】
(1) 求点C的坐标时，已知点C横坐标为2且在抛物线上，只需将x=2代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标m即可得到结果。
(2) 首先求点B坐标：令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程得到两个根，结合点A在点B左侧确定B的坐标。已知P在y轴正半轴，△BCP为等腰三角形，需分三种情况讨论：①BP=BC；②BP=PC；③CB=CP。每种情况结合坐标特征，利用全等三角形或勾股定理建立等量关系求解，最后排除不符合条件的结果，得到符合要求的P点坐标。
【解析】
(1)
∵点$C(2,m)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$上，
∴将$x=2$代入解析式得：
$m=-\dfrac{1}{2}× 2^2 + 2 + 4 = 4$，
∴点C的坐标为$(2,4)$。
(2) 令抛物线解析式中$y=0$，则$-\dfrac{1}{2}x^2+x+4=0$，
整理得$x^2-2x-8=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，
∵点A在点B左侧，
∴$B(4,0)$。
设点P坐标为$(0,a)$，$a＞0$，分情况讨论：
① 当$BP=BC$时：
过C作$CD⊥ x$轴于D，由$C(2,4)$、$B(4,0)$得$CD=4$，$BD=4-2=2$，$OB=4$，
在$Rt△ BPO$和$Rt△ CBD$中，$\begin{cases}BP=CB\\OB=CD=4\end{cases}$，
∴$Rt△ BPO ≌ Rt△ CBD$（HL），
∴$OP=BD=2$，即$a=2$，得$P(0,2)$。
② 当$BP=PC$时：
过C作$CE⊥ y$轴于E，则$CE=2$，$EP=4-a$，
由勾股定理得：$BP^2=a^2+4^2$，$PC^2=(4-a)^2+2^2$，
∵$BP=PC$，
∴$a^2+16=(4-a)^2+4$，
解得$a=\dfrac{1}{2}$，得$P(0,\dfrac{1}{2})$。
③ 当$CB=CP$时，计算可得符合等式的点P要么在y轴非正半轴，要么与B、C共线无法构成三角形，不存在符合条件的点P。
综上，点P的坐标为$(0,2)$或$(0,\dfrac{1}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,4)}$
(2) $\boldsymbol{(0,2)}$或$\boldsymbol{(0,\dfrac{1}{2})}$

【知识点】
二次函数点坐标求解；等腰三角形分类讨论；勾股定理应用
【点评】
本题综合考查二次函数与等腰三角形的结合应用，解题关键是明确等腰三角形未指定腰和底时要分类讨论，结合平面直角坐标系的特征建立等量关系求解，能够锻炼分类讨论和数形结合的数学思维。
【难度系数】
0.6

9 如图,抛物线 $y=ax^2+2x+c$ 与y轴相交于点$C(0,3)$,与x轴正半轴相交于点B,与负半轴相交于点$A(-1,0)$.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式.
(2) 如图①,P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作$PD⊥ x$轴,垂足为D,PD与BC的交点为E,设$P(m,n)$.
① 用含m的式子表示:$PD=$, $DE=$;
② 若$PE=DE$,求点P的坐标;
③ 若$PE=2DE$,求点P的坐标.
(3) 如图②,若点F在抛物线上,点G在x轴上,当以点B,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形时,求点F的坐标.

9. (1) 由题意,得$\begin{cases}a-2+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\c=3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x+3$ (2) ① $-m^2+2m+3$ $-m+3$ ② 若 $PE=DE$,则 $-m^2+2m+3-(-m+3)=-m+3$,解得 m=3(舍去)或 m=1,即点 P(1,4) ③ 若 $PE=2DE$,则 $-m^2+2m+3-(-m+3)=-2m+6$,解得 m=3(舍去)或 m=2,即点 P(2,3) (3) 设点 F(n,-n²+2n+3),点 G(x,0).当 BC 为对角线时,$3=-n^2+2n+3$,解得 n=0(舍去)或 n=2,即点 F(2,3).当 BF 或 BG 为对角线时,同理可得,$3=-n^2+2n+3$ 或 $0=-n^2+2n+3+3$,解得 n=0(舍去)或 n=2 或 $n=1±\sqrt{7}$,即点 F 的坐标为(2,3) 或 $(1+\sqrt{7},-3)$ 或 $(1-\sqrt{7},-3).$ 综上所述,点 F 的坐标为(2,3) 或 $(1+\sqrt{7},-3)$ 或 $(1-\sqrt{7},-3)$

【分析】
(1) 已知抛物线过点$A(-1,0)$和$C(0,3)$，将两点坐标代入抛物线解析式$y=ax^2+2x+c$，得到关于$a$、$c$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到抛物线解析式。
(2) 先求点$B$坐标：令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到$x$的正根即为$B$点横坐标，再用待定系数法求出直线$BC$的解析式。①$PD$是点$P$的纵坐标，将$P$的横坐标$m$代入抛物线解析式即可得到；$E$点横坐标和$P$相同，且在$BC$上，将$x=m$代入$BC$解析式得到的$y$值就是$DE$的长度。②$PE$的长度为$PD-DE$，根据$PE=DE$列方程求解，结合$P$在第一象限舍去不符合题意的解，得到$m$的值后代入抛物线解析式得$P$的坐标。③同理根据$PE=2DE$列方程求解即可。
(3) 以$B$、$C$、$F$、$G$为顶点的平行四边形分两种情况讨论：一是$BC$为对角线，二是$BC$为边，利用平行四边形对角线中点坐标相等的性质，结合$G$点纵坐标为0，得到$F$点纵坐标的可能值，代入抛物线解析式求解，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$C(0,3)$代入$y=ax^2+2x+c$，得：
$\begin{cases}a×(-1)^2+2×(-1)+c=0\\c=3\end{cases}$，即$\begin{cases}a-2+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\c=3\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 令$y=-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∴点$B$坐标为$(3,0)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，
∴直线$BC$的解析式为$y=-x+3$。
①
∵点$P(m,n)$在抛物线上，$PD⊥ x$轴，
∴$PD=n=-m^2+2m+3$；
$E$点横坐标为$m$，在直线$BC$上，
∴$E$点纵坐标为$-m+3$，即$DE=-m+3$。
② $PE=PD-DE=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m$，若$PE=DE$，则：
$-m^2+3m=-m+3$
整理得$m^2-4m+3=0$，解得$m_1=1$，$m_2=3$。
当$m=3$时，$P$点和$B$点重合，不符合题意舍去，
∴$m=1$，代入抛物线解析式得$y=-1+2+3=4$，即$P(1,4)$。
③ 若$PE=2DE$，则：
$-m^2+3m=2(-m+3)$
整理得$m^2-5m+6=0$，解得$m_1=2$，$m_2=3$。
$m=3$不符合题意舍去，
∴$m=2$，代入抛物线解析式得$y=-4+4+3=3$，即$P(2,3)$。
(3) 设点$F$的坐标为$(n,-n^2+2n+3)$，点$G$坐标为$(x,0)$，分情况讨论：
情况1：$BC$为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线中点坐标相等，得纵坐标关系：
$\frac{3+0}{2}=\frac{(-n^2+2n+3)+0}{2}$，即$3=-n^2+2n+3$，解得$n_1=0$（此时$F$与$C$重合，舍去），$n_2=2$，
∴$F(2,3)$。
情况2：$BC$为平行四边形的边，此时$F$点纵坐标与$C$点纵坐标的差等于$G$点纵坐标与$B$点纵坐标的差，即：
要么$F$纵坐标为$3$（同情况1，得$F(2,3)$），要么$-n^2+2n+3=-3$，整理得$n^2-2n-6=0$，解得$n=1\pm\sqrt{7}$。
综上，点$F$的坐标为$(2,3)$或$(1+\sqrt{7},-3)$或$(1-\sqrt{7},-3)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) ① $-m^2+2m+3$；$-m+3$ ② $P(1,4)$ ③ $P(2,3)$
(3) $(2,3)$、$(1+\sqrt{7},-3)$、$(1-\sqrt{7},-3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数动点应用，平行四边形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，覆盖了函数解析式求解、动点线段长度计算、平行四边形存在性问题，考查了方程思想和分类讨论思想，解题时要注意动点的取值范围，分类讨论时避免漏解。
【难度系数】
0.6