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10 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段.某组数据的方差计算公式如下：$s^2=\frac{1}{5}[(1-x)^2+(2-x)^2+(3-x)^2+(3-x)^2+(6-x)^2]$，从中能得到的有效信息是（
A.这组数据的平均数是3
B.这组数据的离差平方和是25
C.这组数据的方差是5
D.这组数据的标准差是$\pm\sqrt{5}$
A
）A.这组数据的平均数是3
B.这组数据的离差平方和是25
C.这组数据的方差是5
D.这组数据的标准差是$\pm\sqrt{5}$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中n是样本容量，$\overline{x}$是这组数据的平均数。首先从题干给出的方差表达式中提取原始数据、确定数据个数，先计算平均数，再结合离差平方和、方差、标准差的定义逐一判断各选项即可。
【解析】
根据方差公式的结构可得：这组数据为1、2、3、3、6，数据总个数为5，公式中的$x$即这组数据的平均数。
1. 验证选项A：
平均数$x=\frac{1+2+3+3+6}{5}=\frac{15}{5}=3$，故A选项正确。
2. 验证选项B：
离差平方和是各数据与平均数差的平方之和，代入计算得：
$(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(6-3)^2=4+1+0+0+9=14≠25$，故B选项错误。
3. 验证选项C：
方差$s^2=\frac{1}{5}×14=2.8≠5$，故C选项错误。
4. 验证选项D：
标准差是方差的算术平方根，结果为非负数，不可能为$\pm\sqrt{5}$，故D选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
方差的定义，平均数的计算，标准差的性质
【点评】
本题主要考查统计中方差相关的基础概念，解题关键是理解方差公式中各部分的含义，结合对应定义逐一排查选项，需注意标准差是算术平方根，结果恒为非负数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中n是样本容量，$\overline{x}$是这组数据的平均数。首先从题干给出的方差表达式中提取原始数据、确定数据个数，先计算平均数，再结合离差平方和、方差、标准差的定义逐一判断各选项即可。
【解析】
根据方差公式的结构可得：这组数据为1、2、3、3、6，数据总个数为5，公式中的$x$即这组数据的平均数。
1. 验证选项A：
平均数$x=\frac{1+2+3+3+6}{5}=\frac{15}{5}=3$，故A选项正确。
2. 验证选项B：
离差平方和是各数据与平均数差的平方之和，代入计算得：
$(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(6-3)^2=4+1+0+0+9=14≠25$，故B选项错误。
3. 验证选项C：
方差$s^2=\frac{1}{5}×14=2.8≠5$，故C选项错误。
4. 验证选项D：
标准差是方差的算术平方根，结果为非负数，不可能为$\pm\sqrt{5}$，故D选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
方差的定义，平均数的计算，标准差的性质
【点评】
本题主要考查统计中方差相关的基础概念，解题关键是理解方差公式中各部分的含义，结合对应定义逐一排查选项，需注意标准差是算术平方根，结果恒为非负数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
11 若样本$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$的平均数为12，方差为4，则对于样本$2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3,\dots,2x_n+3$，下列结论正确的是（
A.平均数为12，标准差为2
B.平均数为12，标准差为4
C.平均数为27，标准差为2
D.平均数为27，标准差为4
D
）A.平均数为12，标准差为2
B.平均数为12，标准差为4
C.平均数为27，标准差为2
D.平均数为27，标准差为4
答案
11. D
解析
【分析】
本题考查数据线性变换后平均数、方差、标准差的变化规律，解题思路如下：第一步，回忆平均数的线性变换规则：若原数据平均数为$\overline{x}$，则$ax_i+b$形式的新数据平均数为$a\overline{x}+b$，先计算新样本的平均数；第二步，回忆方差的变换规则：若原数据方差为$s^2$，则$ax_i+b$形式的新数据方差为$a^2s^2$，再根据标准差是方差的算术平方根，计算新样本的标准差；第三步，将计算结果和选项匹配得到答案。
【解析】
解：①计算新样本的平均数
已知原样本平均数为12，新样本的每个数据为$2x_i+3$，根据平均数的线性变换规律：
新平均数$=2×12+3=27$。
②计算新样本的标准差
已知原样本方差为4，根据方差的变换规律，新样本的方差$=2^2×4=16$。
标准差是方差的算术平方根，因此新样本的标准差$=\sqrt{16}=4$。
综上，新样本平均数为27，标准差为4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的变换、方差的性质、标准差的计算
【点评】
本题是统计部分的基础题，核心考察数据线性变换时各类统计量的变化规律，解题时要注意：加常数不会改变数据的波动程度，因此方差、标准差不受加常数的影响，仅需按系数的平方调整方差，再开方得到标准差即可。
【难度系数】
0.7
本题考查数据线性变换后平均数、方差、标准差的变化规律，解题思路如下：第一步，回忆平均数的线性变换规则：若原数据平均数为$\overline{x}$，则$ax_i+b$形式的新数据平均数为$a\overline{x}+b$，先计算新样本的平均数；第二步，回忆方差的变换规则：若原数据方差为$s^2$，则$ax_i+b$形式的新数据方差为$a^2s^2$，再根据标准差是方差的算术平方根，计算新样本的标准差；第三步，将计算结果和选项匹配得到答案。
【解析】
解：①计算新样本的平均数
已知原样本平均数为12，新样本的每个数据为$2x_i+3$，根据平均数的线性变换规律：
新平均数$=2×12+3=27$。
②计算新样本的标准差
已知原样本方差为4，根据方差的变换规律，新样本的方差$=2^2×4=16$。
标准差是方差的算术平方根，因此新样本的标准差$=\sqrt{16}=4$。
综上，新样本平均数为27，标准差为4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的变换、方差的性质、标准差的计算
【点评】
本题是统计部分的基础题，核心考察数据线性变换时各类统计量的变化规律，解题时要注意：加常数不会改变数据的波动程度，因此方差、标准差不受加常数的影响，仅需按系数的平方调整方差，再开方得到标准差即可。
【难度系数】
0.7
12 [2024兰州]甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩如图所示。现有以下三个推断：① 甲的成绩更稳定；② 乙的平均成绩更高；③ 每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高。其中，正确的是
①②
（填序号）。答案
12. ①②
解析
【分析】
要判断三个推断是否正确，可按以下思路分析：1. 判断成绩稳定性：折线波动越小，方差越小，成绩越稳定，对比甲乙成绩的折线波动情况即可；2. 判断平均成绩高低：分别统计甲乙10次射击成绩，计算平均数后比较；3. 判断“再射击一次乙成绩一定更高”是否正确：射击成绩是随机事件，无法保证某一次的结果一定更高。
【解析】
① 观察折线图可知，甲的成绩折线波动幅度明显小于乙，说明甲的成绩方差更小，因此甲的成绩更稳定，推断①正确；
② 计算甲乙的平均成绩：
甲10次成绩总和约为3.5+4+4.5+5+4+5+4+3+4.5+3=40.5，平均成绩为40.5÷10=4.05环；
乙10次成绩总和约为5+8+8.5+7+5+9.5+3+4+5+8=63，平均成绩为63÷10=6.3环；
显然乙的平均成绩更高，推断②正确；
③ 射击成绩具有随机性，每人再射击一次的结果无法确定，不能得出“乙的成绩一定比甲高”的结论，推断③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
折线统计图，方差的意义，平均数计算
【点评】
本题结合折线统计图考查统计的基础应用，需要学会通过折线波动判断数据稳定性，掌握平均数的计算方法，同时理解随机事件的不确定性，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要判断三个推断是否正确，可按以下思路分析：1. 判断成绩稳定性：折线波动越小，方差越小，成绩越稳定，对比甲乙成绩的折线波动情况即可；2. 判断平均成绩高低：分别统计甲乙10次射击成绩，计算平均数后比较；3. 判断“再射击一次乙成绩一定更高”是否正确：射击成绩是随机事件，无法保证某一次的结果一定更高。
【解析】
① 观察折线图可知，甲的成绩折线波动幅度明显小于乙，说明甲的成绩方差更小，因此甲的成绩更稳定，推断①正确；
② 计算甲乙的平均成绩：
甲10次成绩总和约为3.5+4+4.5+5+4+5+4+3+4.5+3=40.5，平均成绩为40.5÷10=4.05环；
乙10次成绩总和约为5+8+8.5+7+5+9.5+3+4+5+8=63，平均成绩为63÷10=6.3环；
显然乙的平均成绩更高，推断②正确；
③ 射击成绩具有随机性，每人再射击一次的结果无法确定，不能得出“乙的成绩一定比甲高”的结论，推断③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
折线统计图，方差的意义，平均数计算
【点评】
本题结合折线统计图考查统计的基础应用，需要学会通过折线波动判断数据稳定性，掌握平均数的计算方法，同时理解随机事件的不确定性，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
13 设$\bar{x}$是$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数，则$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，它反映了这组数的波动性，并有以下两个结论：
① 对任意实数$a$，$x_1-a,x_2-a,\dots,x_n-a$与$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差相同；
② $s^2=\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-\bar{x}^2$
某班10名学生的身高(单位:cm)如下:169，172，163，173，175，168，170，167，170，171.请根据上述结论，计算这组数据的方差。
① 对任意实数$a$，$x_1-a,x_2-a,\dots,x_n-a$与$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差相同；
② $s^2=\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-\bar{x}^2$
某班10名学生的身高(单位:cm)如下:169，172，163，173，175，168，170，167，170，171.请根据上述结论，计算这组数据的方差。
答案
13. 将这组数据都减去170,得$-1,2,-7,3,5,-2,0,-3,0,1$,则$\bar{x}=\frac{-1+2-7+3+5-2+0-3+0+1}{10}=-0.2$. 所以 $s^2=\frac{1}{10}×[(-1)^2+2^2+(-7)^2+3^2+5^2+(-2)^2+0^2+(-3)^2+0^2+1^2]-(-0.2)^2=10.16$. 因为对任意实数 $a$,$x_1-a$,$x_2-a$,$\dots$,$x_n-a$ 与 $x_1$,$x_2$,$\dots$,$x_n$ 的方差相同,所以这组数据的方差是10.16
解析
【分析】
本题可利用题目给出的方差性质简化计算。首先观察这组身高数据都接近170，根据结论①，将所有数据减去170后方差不变，且得到的新数据数值更小，计算更简便；接下来计算新数据的平均数，再代入结论②给出的方差公式计算新数据的方差，该方差就是原数据的方差，这样能避免直接处理原数据的大数值，减少计算错误。
【解析】
解：为简化计算，将10名学生的身高数据都减去170，得到新数据：$-1,2,-7,3,5,-2,0,-3,0,1$。
第一步：计算新数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{-1+2-7+3+5-2+0-3+0+1}{10}=\frac{-2}{10}=-0.2$
第二步：根据结论②的方差公式计算新数据的方差：
先计算新数据的平方和：$(-1)^2+2^2+(-7)^2+3^2+5^2+(-2)^2+0^2+(-3)^2+0^2+1^2=1+4+49+9+25+4+0+9+0+1=102$
代入公式得：
$s^2=\frac{1}{10}×102 - (-0.2)^2=10.2 - 0.04=10.16$
第三步：根据结论①，$x_1-a,x_2-a,\dots,x_n-a$与原数据方差相同，因此原身高数据的方差等于新数据的方差。
【答案】
10.16
【知识点】
方差的性质；方差的计算；平均数的计算
【点评】
本题考查方差的简便运算，解题核心是灵活运用题干给出的方差性质，通过平移数据降低计算量，同时要能根据数据特征选择合适的方差计算公式，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
本题可利用题目给出的方差性质简化计算。首先观察这组身高数据都接近170，根据结论①，将所有数据减去170后方差不变，且得到的新数据数值更小，计算更简便；接下来计算新数据的平均数，再代入结论②给出的方差公式计算新数据的方差，该方差就是原数据的方差，这样能避免直接处理原数据的大数值，减少计算错误。
【解析】
解：为简化计算，将10名学生的身高数据都减去170，得到新数据：$-1,2,-7,3,5,-2,0,-3,0,1$。
第一步：计算新数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{-1+2-7+3+5-2+0-3+0+1}{10}=\frac{-2}{10}=-0.2$
第二步：根据结论②的方差公式计算新数据的方差：
先计算新数据的平方和：$(-1)^2+2^2+(-7)^2+3^2+5^2+(-2)^2+0^2+(-3)^2+0^2+1^2=1+4+49+9+25+4+0+9+0+1=102$
代入公式得：
$s^2=\frac{1}{10}×102 - (-0.2)^2=10.2 - 0.04=10.16$
第三步：根据结论①，$x_1-a,x_2-a,\dots,x_n-a$与原数据方差相同，因此原身高数据的方差等于新数据的方差。
【答案】
10.16
【知识点】
方差的性质；方差的计算；平均数的计算
【点评】
本题考查方差的简便运算，解题核心是灵活运用题干给出的方差性质，通过平移数据降低计算量，同时要能根据数据特征选择合适的方差计算公式，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
14 甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射击10次，对射击成绩进行整理，绘制如图所示的统计图：
对上述数据进行分析，得到如下统计表：
（1）填空：$a=$
（2）根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价.
对上述数据进行分析，得到如下统计表：
（1）填空：$a=$
7
，$b=$6
，$c=$1.2
；（2）根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价.
答案
14. (1) 7 6 1.2 (2) 从平均数看,由平均数相同知,甲、乙两人的射击水平相当;从方差看,由乙成绩的方差小于甲成绩的方差知,乙的射击成绩比甲稳定(合理即可)
解析
【分析】
（1）求解a、b、c时，首先需要从统计图中读取甲、乙两人的10次射击成绩，再分别对应各统计量的定义计算：a对应平均数，将一组数据的总和除以数据个数即可得到；b对应众数，找出一组数据中出现次数最多的数值即可；c对应方差，代入方差公式，先求每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方数的平均数即可。（2）评价射击水平时，可结合统计量的实际意义分析：平均数反映平均射击水平，方差反映成绩的稳定性，平均数相同说明平均水平相当，方差越小成绩越稳定。
【解析】
（1）首先读取甲、乙两人10次射击成绩（单位：环）：
甲：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9
乙：3，6，6，6，7，7，7，8，9，10
①计算a：a为乙的平均成绩，
$\overline{x}_乙=\frac{3+6+6+6+7+7+7+8+9+10}{10}=7$，故a=7；
②计算b：b为乙的众数，乙的成绩中6出现次数最多，共3次，故b=6；
③计算c：c为甲的方差，甲的平均成绩$\overline{x}_甲=7$，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入得：
$s^2_甲=\frac{1}{10}[(5-7)^2+2×(6-7)^2+4×(7-7)^2+2×(8-7)^2+(9-7)^2]=\frac{1}{10}×(4+2+0+2+4)=1.2$，故c=1.2。
（2）评价射击水平：
首先看平均数，甲、乙两人的平均成绩均为7环，说明两人的平均射击水平相当；再看方差，乙的成绩方差小于甲的成绩方差，方差越小说明成绩波动越小，稳定性越好，因此乙的射击成绩比甲更稳定。（合理即可）
【答案】
(1) $7$，$6$，$1.2$
(2) 从平均数看,由平均数相同知,甲、乙两人的射击水平相当;从方差看,由乙成绩的方差小于甲成绩的方差知,乙的射击成绩比甲稳定(合理即可)
【知识点】
统计量计算，方差的意义，数据分析
【点评】
本题是统计模块的典型基础题，考查了常见统计量的计算方法及实际应用，解题的关键是准确读取数据，牢记各统计量的定义和意义，结合实际场景对数据进行合理分析。
【难度系数】
0.7
（1）求解a、b、c时，首先需要从统计图中读取甲、乙两人的10次射击成绩，再分别对应各统计量的定义计算：a对应平均数，将一组数据的总和除以数据个数即可得到；b对应众数，找出一组数据中出现次数最多的数值即可；c对应方差，代入方差公式，先求每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方数的平均数即可。（2）评价射击水平时，可结合统计量的实际意义分析：平均数反映平均射击水平，方差反映成绩的稳定性，平均数相同说明平均水平相当，方差越小成绩越稳定。
【解析】
（1）首先读取甲、乙两人10次射击成绩（单位：环）：
甲：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9
乙：3，6，6，6，7，7，7，8，9，10
①计算a：a为乙的平均成绩，
$\overline{x}_乙=\frac{3+6+6+6+7+7+7+8+9+10}{10}=7$，故a=7；
②计算b：b为乙的众数，乙的成绩中6出现次数最多，共3次，故b=6；
③计算c：c为甲的方差，甲的平均成绩$\overline{x}_甲=7$，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入得：
$s^2_甲=\frac{1}{10}[(5-7)^2+2×(6-7)^2+4×(7-7)^2+2×(8-7)^2+(9-7)^2]=\frac{1}{10}×(4+2+0+2+4)=1.2$，故c=1.2。
（2）评价射击水平：
首先看平均数，甲、乙两人的平均成绩均为7环，说明两人的平均射击水平相当；再看方差，乙的成绩方差小于甲的成绩方差，方差越小说明成绩波动越小，稳定性越好，因此乙的射击成绩比甲更稳定。（合理即可）
【答案】
(1) $7$，$6$，$1.2$
(2) 从平均数看,由平均数相同知,甲、乙两人的射击水平相当;从方差看,由乙成绩的方差小于甲成绩的方差知,乙的射击成绩比甲稳定(合理即可)
【知识点】
统计量计算，方差的意义，数据分析
【点评】
本题是统计模块的典型基础题，考查了常见统计量的计算方法及实际应用，解题的关键是准确读取数据，牢记各统计量的定义和意义，结合实际场景对数据进行合理分析。
【难度系数】
0.7
