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1. 将抛物线$y=x^2+2x$向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为 （
A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$
A
）A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$
答案
1.A
2.若抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过第四象限的点$(1,-1)$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是（
A.有两个大于1的不相等实数根
B.有两个小于1的不相等实数根
C.有一个大于1、另一个小于1的实数根
D.没有实数根
C
）A.有两个大于1的不相等实数根
B.有两个小于1的不相等实数根
C.有一个大于1、另一个小于1的实数根
D.没有实数根
答案
2.C
3. 下列关于二次函数$y=(x-2)^2 -3$的说法正确的是（
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.抛物线经过点$(2,3)$
C.对称轴是$x=-2$
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
D
）A.图象是一条开口向下的抛物线
B.抛物线经过点$(2,3)$
C.对称轴是$x=-2$
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$
答案
3.D
4. 新考法 数形结合法 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a≠0) $ 的对称轴为直线 $ x=-2 $，下列结论正确的是（
A.$ a＜0 $
B.$ c＞0 $
C.当 $ x＜-2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.当 $ x＞-2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C
）A.$ a＜0 $
B.$ c＞0 $
C.当 $ x＜-2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.当 $ x＞-2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
答案
4.C
5. 若点$(0,y_1),(1,y_2),(3,y_3)$都在抛物线$y=-x^2+2x+c$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
D
）A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
5.D 【点拨】
∵$y=-x^2+2x+c=-(x-1)^2+c+1$,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线$x=1$.
∴当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵点$(0,y_1)$关于直线$x=1$的对称点的坐标为$(2,y_1)$,$3＞2＞1$,
∴$y_3＜y_1＜y_2$.故选 D.
∵$y=-x^2+2x+c=-(x-1)^2+c+1$,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线$x=1$.
∴当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵点$(0,y_1)$关于直线$x=1$的对称点的坐标为$(2,y_1)$,$3＞2＞1$,
∴$y_3＜y_1＜y_2$.故选 D.
6. 新考法 假设分析法 一次函数 $ y = ax + b \ (a ≠ 0) $ 与二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (
A
B
C D
C
)A
B
C D
答案
6.C
7. [绵阳中学自主招生]已知三条抛物线 $y_1=x^2 - x + m$，$y_2=x^2 + 2mx + 4$，$y_3=mx^2 + mx + m - 1$ 中至少有一条与x轴相交，则实数m的取值范围是（
A.$\frac{4}{3} ＜ m ＜ 2$
B.$m ≤ \frac{3}{4}$ 且 $m ≠ 0$
C.$m ≥ 2$
D.$m ≤ \frac{4}{3}$ 且 $m ≠ 0$ 或 $m ≥ 2$
D
）A.$\frac{4}{3} ＜ m ＜ 2$
B.$m ≤ \frac{3}{4}$ 且 $m ≠ 0$
C.$m ≥ 2$
D.$m ≤ \frac{4}{3}$ 且 $m ≠ 0$ 或 $m ≥ 2$
答案
7.D 【点拨】三个函数的判别式中至少一个非负:$1-4m≥0$或$4(m^2-4)≥0$或$m(4-3m)≥0$,解得 $m≤\frac{1}{4}$,$m≤-2$ 或 $m≥2$,$0≤m≤\frac{4}{3}$.取其并集 $m≤\frac{4}{3}$ 且 $m≠0$ 或 $m≥2$.
8. [淮南实验中学自主招生] 对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，规定函数 $y=\begin{cases}ax^2+bx+c & (x≥0), \\ -ax^2-bx-c & (x＜0)\end{cases}$ 是它的相关函数. 已知点 $M,N$ 的坐标分别为 $(-\dfrac{1}{2},1),(\dfrac{9}{2},1)$，连接 $MN$，若线段 $MN$ 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象有两个公共点，则 $n$ 的取值范围为 （ ）
A.$-3＜n≤-1$ 或 $1＜n≤\dfrac{5}{4}$
B.$-3＜n＜-1$ 或 $1≤ n≤\dfrac{5}{4}$
C.$n≤-1$ 或 $1＜n≤\dfrac{5}{4}$
D.$-3＜n＜-1$ 或 $n≥1$
A.$-3＜n≤-1$ 或 $1＜n≤\dfrac{5}{4}$
B.$-3＜n＜-1$ 或 $1≤ n≤\dfrac{5}{4}$
C.$n≤-1$ 或 $1＜n≤\dfrac{5}{4}$
D.$-3＜n＜-1$ 或 $n≥1$
答案
8.A 【点拨】
如图①,线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 1 个公共点.∴当 $x=2$ 时,$y=1$,即 $-4+8+n=1$,解得 $n=-3$. 如图②,线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点.
∵抛物线 $y=x^2-4x-n$ 与 y 轴交点的纵坐标为 1,
∴$-n=1$,解得$n=-1$.
∴当 $-3＜n≤-1$ 时,线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点. 如图③,线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 3 个公共点.
∵抛物线 $y=-x^2+4x+n$ 经过点 $(0,1)$,
∴$n=1$. 如图④,线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点.
∵抛物线 $y=x^2-4x-n$ 经过点 $M(-\frac{1}{2},1)$,
∴$\frac{1}{4}+2-n=1$,解得 $n=\frac{5}{4}$.
∴当 $1＜n≤\frac{5}{4}$ 时,线段 MN 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象恰有 2 个公共点. 综上所述,$n$ 的取值范围是 $-3＜n≤-1$ 或 $1＜n≤\frac{5}{4}$.
9. 把二次函数 $ y=x^2+bx+3 $ 由一般式化成顶点式为 $ y=(x+2)^2 +k $，则k的值为
-1
。答案
9.-1
10. 新考法 表格信息法 已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a=
由此判断，表中a=
6
。答案
10.6
11.[2025淮安]若$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，则$2x + y$的最大值是
$\frac{21}{4}$
。答案
11.$\frac{21}{4}$ 【点拨】
∵$x^2 - 3x + 1 + y = 0$,
∴$y=-x^2+3x-1$.
∴$2x+y=2x-x^2+3x-1=-x^2+5x-1=-(x-\frac{5}{2})^2+\frac{21}{4}$.
∴当 $x=\frac{5}{2}$ 时,$2x+y$ 有最大值为 $\frac{21}{4}$.
∵$x^2 - 3x + 1 + y = 0$,
∴$y=-x^2+3x-1$.
∴$2x+y=2x-x^2+3x-1=-x^2+5x-1=-(x-\frac{5}{2})^2+\frac{21}{4}$.
∴当 $x=\frac{5}{2}$ 时,$2x+y$ 有最大值为 $\frac{21}{4}$.
12. [全国初中数学竞赛] 如图,在正方形OABC中, A(0,2),C(2,0),当二次函数$y=(x-m)^2 - m$的图象与正方形OABC有交点时,m的最大值和最小值的差为
$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$
。答案
12.$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$ 【点拨】
如图,由题意得,二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象的顶点 $(m,-m)$ 在直线 $y=-x$ 上运动. 因为在正方形 OABC 中,$A(0,2)$,$C(2,0)$,所以 $B(2,2)$. 从图象可以看出,当函数图象从左向右运动且与正方形有交点时,先经过点 A,再逐渐经过点 O,点 B,…,最后再经过点 B,且在运动的过程中,两次经过点 A,O,B 和 C,所以只需求出当函数图象经过点 A 及点 B 时 m 的值,即可求出 m 的最大值及最小值. 当二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象经过点 $A(0,2)$ 时,$m=2$ 或 $m=-1$; 当二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象经过点 $B(2,2)$ 时,$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$ 或 $m=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$. 所以二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象与正方形 OABC 有交点时,m 的最大值和最小值分别是 $\frac{5+\sqrt{17}}{2}$,$-1$,所以 m 的最大值与最小值的差为 $\frac{5+\sqrt{17}}{2}-(-1)=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$.