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1. 一个等腰三角形的两条边长分别是2 cm和5 cm，
则第三条边的长是 （
A.2 cm
B.5 cm
C.2 cm或5 cm
D.不能确定
则第三条边的长是 （
B
）A.2 cm
B.5 cm
C.2 cm或5 cm
D.不能确定
答案
1.B
解析
【分析】
已知是等腰三角形，给出的两条边长未明确是腰长还是底边长，因此需先分类讨论第三条边为腰或底的两种情况，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，不符合的情况舍去，最终得到正确结果。
【解析】
等腰三角形的两条腰长度相等，因此分两种情况讨论：
① 若第三条边长为2 cm，此时三角形三边长为2 cm、2 cm、5 cm。
验证三边关系：$2+2=4\ \mathrm{cm}＜5\ \mathrm{cm}$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，该情况不成立，舍去。
② 若第三条边长为5 cm，此时三角形三边长为5 cm、5 cm、2 cm。
验证三边关系：$2+5=7\ \mathrm{cm}＞5\ \mathrm{cm}$，$5+5=10\ \mathrm{cm}＞2\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，该情况成立。
因此第三条边的长是5 cm，选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立而错选C，因此解决此类问题时，分类讨论后一定要验证三边能否构成三角形，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
已知是等腰三角形，给出的两条边长未明确是腰长还是底边长，因此需先分类讨论第三条边为腰或底的两种情况，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，不符合的情况舍去，最终得到正确结果。
【解析】
等腰三角形的两条腰长度相等，因此分两种情况讨论：
① 若第三条边长为2 cm，此时三角形三边长为2 cm、2 cm、5 cm。
验证三边关系：$2+2=4\ \mathrm{cm}＜5\ \mathrm{cm}$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，该情况不成立，舍去。
② 若第三条边长为5 cm，此时三角形三边长为5 cm、5 cm、2 cm。
验证三边关系：$2+5=7\ \mathrm{cm}＞5\ \mathrm{cm}$，$5+5=10\ \mathrm{cm}＞2\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，该情况成立。
因此第三条边的长是5 cm，选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立而错选C，因此解决此类问题时，分类讨论后一定要验证三边能否构成三角形，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
2.若等腰三角形的一个内角与它相邻的外角的差为$30°$,我们称这个等腰三角形为“邻差等腰三角形”，则该三角形的三个内角的度数分别为
105°,37.5°,37.5°或75°,52.5°,52.5°或30°,75°,75°
.答案
2. 105°,37.5°,37.5°或75°,52.5°,52.5°或30°,75°,75°
解析
【分析】
首先，任意一个内角与它相邻的外角之和为180°，结合两者差为30°，可先求出这个内角的可能度数；其次等腰三角形的内角分为顶角和底角，因此需要对求出的内角是顶角还是底角分类讨论，最后结合三角形内角和为180°，排除不符合实际的情况，即可得到所有符合条件的内角度数。
【解析】
设这个内角的度数为$ x $，则它相邻的外角的度数为$ 180° - x $。
根据题意得：$ |x - (180° - x)| = 30° $，分两种情况解方程：
情况1：$ x - (180° - x) = 30° $
解得：$ 2x = 210° $，即$ x = 105° $
若$ 105° $是等腰三角形的顶角，则底角的度数为$ (180° - 105°) ÷ 2 = 37.5° $，三个内角为$ 105°, 37.5°, 37.5° $，符合三角形内角和要求；
若$ 105° $是等腰三角形的底角，则两个底角和为$ 105° × 2 = 210° ＞ 180° $，不符合要求，舍去。
情况2：$ (180° - x) - x = 30° $
解得：$ 2x = 150° $，即$ x = 75° $
若$ 75° $是等腰三角形的顶角，则底角的度数为$ (180° - 75°) ÷ 2 = 52.5° $，三个内角为$ 75°, 52.5°, 52.5° $，符合要求；
若$ 75° $是等腰三角形的底角，则顶角的度数为$ 180° - 75° × 2 = 30° $，三个内角为$ 30°, 75°, 75° $，符合要求。
【答案】
$ 105°,37.5°,37.5° $或$ 75°,52.5°,52.5° $或$ 30°,75°,75° $
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类的等腰三角形问题，解题的关键是抓住新定义的数量关系求出对应内角的可能值，再结合等腰三角形内角的分类讨论求解，注意要验证结果是否满足三角形内角和定理，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
首先，任意一个内角与它相邻的外角之和为180°，结合两者差为30°，可先求出这个内角的可能度数；其次等腰三角形的内角分为顶角和底角，因此需要对求出的内角是顶角还是底角分类讨论，最后结合三角形内角和为180°，排除不符合实际的情况，即可得到所有符合条件的内角度数。
【解析】
设这个内角的度数为$ x $，则它相邻的外角的度数为$ 180° - x $。
根据题意得：$ |x - (180° - x)| = 30° $，分两种情况解方程：
情况1：$ x - (180° - x) = 30° $
解得：$ 2x = 210° $，即$ x = 105° $
若$ 105° $是等腰三角形的顶角，则底角的度数为$ (180° - 105°) ÷ 2 = 37.5° $，三个内角为$ 105°, 37.5°, 37.5° $，符合三角形内角和要求；
若$ 105° $是等腰三角形的底角，则两个底角和为$ 105° × 2 = 210° ＞ 180° $，不符合要求，舍去。
情况2：$ (180° - x) - x = 30° $
解得：$ 2x = 150° $，即$ x = 75° $
若$ 75° $是等腰三角形的顶角，则底角的度数为$ (180° - 75°) ÷ 2 = 52.5° $，三个内角为$ 75°, 52.5°, 52.5° $，符合要求；
若$ 75° $是等腰三角形的底角，则顶角的度数为$ 180° - 75° × 2 = 30° $，三个内角为$ 30°, 75°, 75° $，符合要求。
【答案】
$ 105°,37.5°,37.5° $或$ 75°,52.5°,52.5° $或$ 30°,75°,75° $
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类的等腰三角形问题，解题的关键是抓住新定义的数量关系求出对应内角的可能值，再结合等腰三角形内角的分类讨论求解，注意要验证结果是否满足三角形内角和定理，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $ 60° $，则这个等腰三角形底角的度数为 （
A.$ 15° $
B.$ 30° $
C.$ 15° $或 $ 75° $
D.$ 30° $或 $ 150° $
C
）A.$ 15° $
B.$ 30° $
C.$ 15° $或 $ 75° $
D.$ 30° $或 $ 150° $
答案
3. C 【点拨】在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BD 为腰 AC 上的高，∠ABD=60°.
当 BD 在△ABC 内部时，如
.∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=90°−60°=30°. 又
∵AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 1/2 ×(180°−30°)=75°.
当 BD 在△ABC 外部时，如
.∵BD⊥AC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=90°−60°=30°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
又
∵∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=1/2 ∠BAD=15°.
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°.
点方法 注意分两种情况讨论：①当 BD 在△ABC 内部时；②当 BD 在△ABC 外部时.
解析
【分析】
解决本题需要用到分类讨论思想：等腰三角形未明确类型时，一腰上的高既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分两种情况分析。首先结合直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，即可计算出对应底角的度数。
【解析】
设等腰△ABC中AB=AC，BD是腰AC上的高，∠ABD=60°，分两种情况讨论：
1. 当BD在△ABC内部时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由三角形内角和为180°可得：
∠ABC=∠ACB=1/2×(180°-∠BAD)=1/2×(180°-30°)=75°。
2. 当BD在△ABC外部时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAD是△ABC的外角，
∴∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=1/2×∠BAD=1/2×30°=15°。
综上，该等腰三角形底角的度数为15°或75°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，导致漏解。在解答无明确图形的等腰三角形相关问题时，要注意全面分析高的位置、顶角的类型等多种可能性，避免思维定式造成的错误。
【难度系数】
0.6
解决本题需要用到分类讨论思想：等腰三角形未明确类型时，一腰上的高既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分两种情况分析。首先结合直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，即可计算出对应底角的度数。
【解析】
设等腰△ABC中AB=AC，BD是腰AC上的高，∠ABD=60°，分两种情况讨论：
1. 当BD在△ABC内部时，如图
：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由三角形内角和为180°可得：
∠ABC=∠ACB=1/2×(180°-∠BAD)=1/2×(180°-30°)=75°。
2. 当BD在△ABC外部时，如图
：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAD是△ABC的外角，
∴∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=1/2×∠BAD=1/2×30°=15°。
综上，该等腰三角形底角的度数为15°或75°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，导致漏解。在解答无明确图形的等腰三角形相关问题时，要注意全面分析高的位置、顶角的类型等多种可能性，避免思维定式造成的错误。
【难度系数】
0.6
4. 如图，已知DE为线段AB的垂直平分线，∠ADB=80°，若直线DE上有一点C，且∠CAD=10°，则∠ACB=
（第4题）
60°或100°
。（第4题）答案
4. 60°或100° 【点拨】如图，
∵DE 垂直平分 AB，
∴DA= DB.
∴∠DAB=∠DBA = 1/2 (180°−∠ADB) = 1/2 ×(180°−80°)=50°. 当点 C 在线段 DE 上，∠CAD=10°时，∠CAB=50°−10°=40°,易得 CA=CB,
∴∠CAB=∠CBA=40°,
∴∠ACB=180°−40°−40°=100°；当点 C 在 ED 的延长线上即 C' 处，∠C'AD=10°时，∠C'AB=50°+10°=60°,易得 C'A = C'B，
∴∠C'AB=∠C'BA=60°.
∴∠AC'B=60°. 综上所述，∠ACB 的度数为 60°或 100°。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“DE为线段AB的垂直平分线”入手，根据垂直平分线的性质可得DA=DB、点C在DE上时CA=CB，对应得到两个等腰三角形△ADB和△ACB。接下来先利用等腰三角形内角和性质算出△ADB的底角∠DAB的度数，再注意点C在直线DE上有两种位置：线段DE上、ED的延长线上，分两种情况分别计算∠CAB的度数，最后再利用等腰三角形内角和性质算出∠ACB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，且直线DE上任意一点到A、B的距离相等，即CA=CB。
∴△ADB为等腰三角形，$∠ DAB=∠ DBA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADB) = \frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$。
分两种情况讨论：
① 当点C在线段DE上时：
已知$∠ CAD=10°$，则$∠ CAB=∠ DAB - ∠ CAD = 50° - 10° = 40°$，
∵CA=CB，
∴$∠ CAB=∠ CBA=40°$，
∴$∠ ACB=180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 40° - 40° = 100°$；
② 当点C在ED的延长线上（即图中C'位置）时：
已知$∠ C'AD=10°$，则$∠ C'AB=∠ DAB + ∠ C'AD = 50° + 10° = 60°$，
∵C'A=C'B，
∴$∠ C'AB=∠ C'BA=60°$，
∴$∠ AC'B=180° - 60° - 60° = 60°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$60°$或$100°$。
【答案】
60°或100°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略点C在直线DE上的两种位置，导致漏解。解题关键是熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质，遇到点在直线上的问题时要有分类讨论的意识，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“DE为线段AB的垂直平分线”入手，根据垂直平分线的性质可得DA=DB、点C在DE上时CA=CB，对应得到两个等腰三角形△ADB和△ACB。接下来先利用等腰三角形内角和性质算出△ADB的底角∠DAB的度数，再注意点C在直线DE上有两种位置：线段DE上、ED的延长线上，分两种情况分别计算∠CAB的度数，最后再利用等腰三角形内角和性质算出∠ACB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，且直线DE上任意一点到A、B的距离相等，即CA=CB。
∴△ADB为等腰三角形，$∠ DAB=∠ DBA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADB) = \frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$。
分两种情况讨论：
① 当点C在线段DE上时：
已知$∠ CAD=10°$，则$∠ CAB=∠ DAB - ∠ CAD = 50° - 10° = 40°$，
∵CA=CB，
∴$∠ CAB=∠ CBA=40°$，
∴$∠ ACB=180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 40° - 40° = 100°$；
② 当点C在ED的延长线上（即图中C'位置）时：
已知$∠ C'AD=10°$，则$∠ C'AB=∠ DAB + ∠ C'AD = 50° + 10° = 60°$，
∵C'A=C'B，
∴$∠ C'AB=∠ C'BA=60°$，
∴$∠ AC'B=180° - 60° - 60° = 60°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$60°$或$100°$。
【答案】
60°或100°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略点C在直线DE上的两种位置，导致漏解。解题关键是熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质，遇到点在直线上的问题时要有分类讨论的意识，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
5. ★★ [2026华南师大附中模拟] 在$△ ABC$中，$AB=AC$，AC边上的中线BD把$△ ABC$的周长分成12 cm和15 cm的两部分，则$△ ABC$各边的长为
10 cm,10 cm,7 cm或8 cm,8 cm,11 cm
.答案
5. 10 cm,10 cm,7 cm或8 cm,8 cm,11 cm 【点拨】如图，
∵AB=AC,BD是AC边上的中线，
∴AD=CD.
∴|(AB+AD)−(BC+CD)|=|AB−BC|=15−12=3(cm)，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27(cm).
若 AB＞BC,则 AB−BC=3 cm，
又
∵2AB+BC=27 cm,
∴联立得
$\begin{cases} AB-BC=3\ \mathrm{cm},\\ 2AB+BC=27\ \mathrm{cm}, \end{cases}$
解得 AB=10 cm,BC=7 cm，
易知 10 cm,10 cm,7 cm 能够组成三角形；
若 AB＜BC,则 BC−AB=3 cm.
又
∵2AB+BC=27 cm，
∴联立得$\begin{cases} BC-AB=3\ \mathrm{cm},\\ 2AB+BC=27\ \mathrm{cm}, \end{cases}$
解得 AB=8 cm,BC=11 cm,易知 8 cm,8 cm,11 cm 能够组成三角形.
∴△ABC 的各边长为 10 cm,10 cm,7 cm 或8 cm,8 cm,11 cm。
解析
【分析】
这是等腰三角形结合中线的周长计算问题，解题思路如下：①首先明确等腰三角形两腰相等，AC边上的中线BD将AC分为相等的两段AD和CD，因此被BD分成的两部分周长的差本质是腰长AB与底边长BC的差；②题目未明确哪部分周长是12cm、哪部分是15cm，因此需要分两种情况讨论：腰长比底边长3cm，或底边长比腰长长3cm；③结合两部分周长之和就是三角形的总周长，列方程求解边长；④最后一定要用三角形三边关系验证求解出的三边长能否构成三角形，排除不符合条件的解。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，BD是AC边上的中线，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$。
$△ ABC$的总周长为$12+15=27(\mathrm{cm})$，即$2AB+BC=27\ \mathrm{cm}$。
两部分周长的差为$|(AB+AD)-(BC+CD)|=|AB-BC|=|15-12|=3(\mathrm{cm})$，分两种情况讨论：
1. 若$AB＞BC$，即$AB-BC=3\ \mathrm{cm}$，
联立方程组$\begin{cases} AB-BC=3\ \mathrm{cm}\\ 2AB+BC=27\ \mathrm{cm} \end{cases}$
解得：$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为10 cm，10 cm，7 cm，满足$10+7＞10$，可构成三角形；
2. 若$AB＜BC$，即$BC-AB=3\ \mathrm{cm}$，
联立方程组$\begin{cases} BC-AB=3\ \mathrm{cm}\\ 2AB+BC=27\ \mathrm{cm} \end{cases}$
解得：$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=11\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为8 cm，8 cm，11 cm，满足$8+8＞11$，可构成三角形。
【答案】
10 cm,10 cm,7 cm或8 cm,8 cm,11 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形计算的常见题型，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意题目未明确两部分周长对应的边的组合，因此要分情况讨论，最后务必验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
这是等腰三角形结合中线的周长计算问题，解题思路如下：①首先明确等腰三角形两腰相等，AC边上的中线BD将AC分为相等的两段AD和CD，因此被BD分成的两部分周长的差本质是腰长AB与底边长BC的差；②题目未明确哪部分周长是12cm、哪部分是15cm，因此需要分两种情况讨论：腰长比底边长3cm，或底边长比腰长长3cm；③结合两部分周长之和就是三角形的总周长，列方程求解边长；④最后一定要用三角形三边关系验证求解出的三边长能否构成三角形，排除不符合条件的解。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，BD是AC边上的中线，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$。
$△ ABC$的总周长为$12+15=27(\mathrm{cm})$，即$2AB+BC=27\ \mathrm{cm}$。
两部分周长的差为$|(AB+AD)-(BC+CD)|=|AB-BC|=|15-12|=3(\mathrm{cm})$，分两种情况讨论：
1. 若$AB＞BC$，即$AB-BC=3\ \mathrm{cm}$，
联立方程组$\begin{cases} AB-BC=3\ \mathrm{cm}\\ 2AB+BC=27\ \mathrm{cm} \end{cases}$
解得：$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为10 cm，10 cm，7 cm，满足$10+7＞10$，可构成三角形；
2. 若$AB＜BC$，即$BC-AB=3\ \mathrm{cm}$，
联立方程组$\begin{cases} BC-AB=3\ \mathrm{cm}\\ 2AB+BC=27\ \mathrm{cm} \end{cases}$
解得：$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=11\ \mathrm{cm}$，
此时三边长为8 cm，8 cm，11 cm，满足$8+8＞11$，可构成三角形。
【答案】
10 cm,10 cm,7 cm或8 cm,8 cm,11 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形计算的常见题型，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意题目未明确两部分周长对应的边的组合，因此要分情况讨论，最后务必验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
6. 新考法动点探究法 如图,直线a,b相交于点O,∠1=50°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB的度数是
50°或65°或80°或25°
.答案
6. 50°或65°或80°或25° 【点拨】如图，分两种情况讨论：①当∠AOB为底角时，若OB₁=AB₁，则∠OAB₁=∠1=50°；若OA= AB₂，则 ∠OAB₂ = 180°−2×50°=80°. ②当∠AOB 为顶角时，若 OA=OB₃，则∠OAB₃=∠OB₃A=1/2 ×(180°−50°)=65°；当 OA = OB₄，∠OAB₄ = ∠OB₄A=1/2 ∠1=25°. 综上所述，∠OAB 的度数是 50°或 65°或 80°或 25°。
解析
【分析】
本题是等腰三角形的分类讨论问题，解题思路如下：首先明确已知条件：∠AOB=∠1=50°，△OAB为等腰三角形，但未指定哪条边是腰、哪个角是顶角，因此需要分类讨论。第一步先分两种大情况：①∠AOB作为等腰三角形的底角；②∠AOB作为等腰三角形的顶角。第二步在每种大情况中，再根据相等边的不同，结合点B可在直线b上O点两侧的特点，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理计算∠OAB的度数，注意不要漏解。
【解析】
解：已知∠AOB=∠1=50°，△OAB为等腰三角形，分情况讨论：
1. 当∠AOB为底角时：
① 若$OB=AB$，此时等腰三角形的两个底角为∠AOB和∠OAB，根据等边对等角，得$∠ OAB=∠ AOB=50°$；
② 若$OA=AB$，此时等腰三角形的两个底角为∠AOB和∠OBA，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ OAB=180°-2×∠ AOB=180°-2×50°=80°$；
2. 当∠AOB为顶角时：
① 点B在O点上方的射线$Ob$上，若$OA=OB$，此时等腰三角形的底角为∠OAB和∠OBA，得$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOB)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$；
② 点B在O点下方的射线$Ob$上，若$OA=OB$，此时顶角$∠ AOB=180°-50°=130°$，底角为∠OAB和∠OBA，得$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
综上，$∠ OAB$的度数为$50°$或$65°$或$80°$或$25°$。
【答案】
50°或65°或80°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是分类不全面，容易漏算点B在O点另一侧、不同边为腰的情况，解题时要全面考虑等腰三角形顶角和底角、腰和底边的所有可能，避免漏解。
【难度系数】
0.4
本题是等腰三角形的分类讨论问题，解题思路如下：首先明确已知条件：∠AOB=∠1=50°，△OAB为等腰三角形，但未指定哪条边是腰、哪个角是顶角，因此需要分类讨论。第一步先分两种大情况：①∠AOB作为等腰三角形的底角；②∠AOB作为等腰三角形的顶角。第二步在每种大情况中，再根据相等边的不同，结合点B可在直线b上O点两侧的特点，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理计算∠OAB的度数，注意不要漏解。
【解析】
解：已知∠AOB=∠1=50°，△OAB为等腰三角形，分情况讨论：
1. 当∠AOB为底角时：
① 若$OB=AB$，此时等腰三角形的两个底角为∠AOB和∠OAB，根据等边对等角，得$∠ OAB=∠ AOB=50°$；
② 若$OA=AB$，此时等腰三角形的两个底角为∠AOB和∠OBA，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ OAB=180°-2×∠ AOB=180°-2×50°=80°$；
2. 当∠AOB为顶角时：
① 点B在O点上方的射线$Ob$上，若$OA=OB$，此时等腰三角形的底角为∠OAB和∠OBA，得$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOB)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$；
② 点B在O点下方的射线$Ob$上，若$OA=OB$，此时顶角$∠ AOB=180°-50°=130°$，底角为∠OAB和∠OBA，得$∠ OAB=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
综上，$∠ OAB$的度数为$50°$或$65°$或$80°$或$25°$。
【答案】
50°或65°或80°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是分类不全面，容易漏算点B在O点另一侧、不同边为腰的情况，解题时要全面考虑等腰三角形顶角和底角、腰和底边的所有可能，避免漏解。
【难度系数】
0.4
7. ★★ 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=100°$，边$BA$绕点$B$顺时针旋转$m°(0＜m＜180)$得到线段$BD$，连接$AD$，$DC$。若$△ ADC$为等腰三角形，则$m$所有可能的取值是
130或100或160
。答案
7. 130或100或160 【点拨】由旋转的性质得 BD=AB=BC.
∵△ADC 为等腰三角形，
∴需分三种情况讨论：①当 DA=DC 时，易得△ABD≌△CBD，
∴∠ABD = ∠CBD = 1/2 (360°−∠ABC) = 130°,即 m = 130；②当 AD=AC 时，易得△ABD≌△ABC，
∴∠ABD=∠ABC=100°,即 m=100；③当 CA=CD 时，易得△CBA≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABC=100°,
∴∠ABD=360°−100°−100°=160°,即m=160. 综上所述，m 所有可能的取值为130 或 100 或 160.
∵△ADC 为等腰三角形，
∴需分三种情况讨论：①当 DA=DC 时，易得△ABD≌△CBD，
∴∠ABD = ∠CBD = 1/2 (360°−∠ABC) = 130°,即 m = 130；②当 AD=AC 时，易得△ABD≌△ABC，
∴∠ABD=∠ABC=100°,即 m=100；③当 CA=CD 时，易得△CBA≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABC=100°,
∴∠ABD=360°−100°−100°=160°,即m=160. 综上所述，m 所有可能的取值为130 或 100 或 160.
解析
【分析】
解题首先利用旋转的性质得到BD=AB，结合已知AB=BC，可得AB=BC=BD。已知△ADC为等腰三角形，因未明确等腰三角形的腰和底边，故需分三种情况讨论：①DA=DC；②AD=AC；③CA=CD。针对每种情况，利用全等三角形的判定证明对应三角形全等，再结合角度关系计算旋转角m（即∠ABD）的度数即可。
【解析】
由旋转的性质可得：$BD=AB$，
又$\because AB=BC$，$\therefore AB=BC=BD$。
$△ ADC$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当$DA=DC$时：
在$△ ABD$和$△ CBD$中，
$\begin{cases} AB=CB \\ DA=DC \\ BD=BD \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABD=∠CBD$，
$\because ∠ABC=100°$，
$\therefore ∠ABD+∠CBD=360°-∠ABC=360°-100°=260°$，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}×260°=130°$，即$m=130$；
②当$AD=AC$时：
在$△ ABD$和$△ ABC$中，
$\begin{cases} AD=AC \\ BD=BC \\ AB=AB \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ABC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABD=∠ABC=100°$，即$m=100$；
③当$CA=CD$时：
在$△ CBA$和$△ CBD$中，
$\begin{cases} CA=CD \\ BA=BD \\ CB=CB \end{cases}$
$\therefore △ CBA≌△ CBD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠CBD=∠CBA=100°$，
$\therefore ∠ABD=360°-∠ABC-∠CBD=360°-100°-100°=160°$，即$m=160$。
综上，$m$所有可能的取值为130或100或160。
【答案】
130或100或160
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形分类讨论；全等三角形判定与性质
【点评】
本题考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意未明确腰和底的等腰三角形要分三种情况逐一分析，结合旋转性质与全等三角形的判定求解，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.4
解题首先利用旋转的性质得到BD=AB，结合已知AB=BC，可得AB=BC=BD。已知△ADC为等腰三角形，因未明确等腰三角形的腰和底边，故需分三种情况讨论：①DA=DC；②AD=AC；③CA=CD。针对每种情况，利用全等三角形的判定证明对应三角形全等，再结合角度关系计算旋转角m（即∠ABD）的度数即可。
【解析】
由旋转的性质可得：$BD=AB$，
又$\because AB=BC$，$\therefore AB=BC=BD$。
$△ ADC$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当$DA=DC$时：
在$△ ABD$和$△ CBD$中，
$\begin{cases} AB=CB \\ DA=DC \\ BD=BD \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABD=∠CBD$，
$\because ∠ABC=100°$，
$\therefore ∠ABD+∠CBD=360°-∠ABC=360°-100°=260°$，
$\therefore ∠ABD=\frac{1}{2}×260°=130°$，即$m=130$；
②当$AD=AC$时：
在$△ ABD$和$△ ABC$中，
$\begin{cases} AD=AC \\ BD=BC \\ AB=AB \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ABC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABD=∠ABC=100°$，即$m=100$；
③当$CA=CD$时：
在$△ CBA$和$△ CBD$中，
$\begin{cases} CA=CD \\ BA=BD \\ CB=CB \end{cases}$
$\therefore △ CBA≌△ CBD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠CBD=∠CBA=100°$，
$\therefore ∠ABD=360°-∠ABC-∠CBD=360°-100°-100°=160°$，即$m=160$。
综上，$m$所有可能的取值为130或100或160。
【答案】
130或100或160
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形分类讨论；全等三角形判定与性质
【点评】
本题考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意未明确腰和底的等腰三角形要分三种情况逐一分析，结合旋转性质与全等三角形的判定求解，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.4
8.如图,有一个三角形纸片$ABC,∠A=80°$,点D是AC边上一点,沿BD方向将三角形纸片剪开后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则$∠C$的度数可以是
25°或40°或10°
.答案
8. 25°或40°或10° 【点拨】由题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD：①当 AB=BD 时，∠ADB=∠A=80°,
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°，
∴∠C=1/2 ×(180°−100°)=40°；②当 AB=AD 时，∠ADB=1/2 (180°−∠A)=1/2 ×(180°−80°)=50°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−50°=130°,
∴∠C=1/2 ×(180°−130°)=25°；③当 AD=BD 时，∠ADB=180°−2×80°=20°,
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°,
∴∠C=1/2 ×(180°−160°)=10°. 综上所述，∠C 的度数可以是 25°或 40°或 10°.
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°，
∴∠C=1/2 ×(180°−100°)=40°；②当 AB=AD 时，∠ADB=1/2 (180°−∠A)=1/2 ×(180°−80°)=50°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−50°=130°,
∴∠C=1/2 ×(180°−130°)=25°；③当 AD=BD 时，∠ADB=180°−2×80°=20°,
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°,
∴∠C=1/2 ×(180°−160°)=10°. 综上所述，∠C 的度数可以是 25°或 40°或 10°.
解析
【分析】
本题核心是剪开后得到的△ABD和△DBC均为等腰三角形，已知∠A=80°，我们先对有已知内角的△ABD按腰的组合分类讨论：共三种情况，即AB=AD、AB=BD、AD=BD。每种情况先根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°求出∠ADB的度数，再由邻补角性质得到∠BDC的度数；由于求出的∠BDC均为钝角，而等腰三角形中最多有1个钝角，因此△DBC中∠BDC只能是顶角，两底角∠C和∠DBC相等，最后用内角和即可求出∠C的度数。
【解析】
由题意可知△ABD和△DBC均为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$AB=BD$时，$∠ ADB=∠ A=80°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-80°=100°$，
$\because △ DBC$为等腰三角形，$∠ BDC$为顶角，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×(180°-100°)=40°$；
②当$AB=AD$时，$∠ ADB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-50°=130°$，
$\because △ DBC$为等腰三角形，$∠ BDC$为顶角，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$；
③当$AD=BD$时，$∠ ADB=180°-2×∠ A=180°-2×80°=20°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-20°=160°$，
$\because △ DBC$为等腰三角形，$∠ BDC$为顶角，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×(180°-160°)=10°$。
【答案】
$25°$或$40°$或$10°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题关键是先对有已知角的等腰三角形按腰的不同分情况讨论，同时注意等腰三角形中钝角只能作为顶角，避免出现不符合三角形内角和的情况，不要漏解。
【难度系数】
0.4
本题核心是剪开后得到的△ABD和△DBC均为等腰三角形，已知∠A=80°，我们先对有已知内角的△ABD按腰的组合分类讨论：共三种情况，即AB=AD、AB=BD、AD=BD。每种情况先根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°求出∠ADB的度数，再由邻补角性质得到∠BDC的度数；由于求出的∠BDC均为钝角，而等腰三角形中最多有1个钝角，因此△DBC中∠BDC只能是顶角，两底角∠C和∠DBC相等，最后用内角和即可求出∠C的度数。
【解析】
由题意可知△ABD和△DBC均为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$AB=BD$时，$∠ ADB=∠ A=80°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-80°=100°$，
$\because △ DBC$为等腰三角形，$∠ BDC$为顶角，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×(180°-100°)=40°$；
②当$AB=AD$时，$∠ ADB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-50°=130°$，
$\because △ DBC$为等腰三角形，$∠ BDC$为顶角，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$；
③当$AD=BD$时，$∠ ADB=180°-2×∠ A=180°-2×80°=20°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-20°=160°$，
$\because △ DBC$为等腰三角形，$∠ BDC$为顶角，
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}×(180°-160°)=10°$。
【答案】
$25°$或$40°$或$10°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题关键是先对有已知角的等腰三角形按腰的不同分情况讨论，同时注意等腰三角形中钝角只能作为顶角，避免出现不符合三角形内角和的情况，不要漏解。
【难度系数】
0.4
9. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且一边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只画出示意图,并在所画等腰三角形边长为3的边上标注数字3)
答案
9. 【解】大小不同的所有三角形有五种，如图。
解析
【分析】
解决这道题需要运用分类讨论的思想，按照等腰三角形的边长属性和顶点A的位置逐步梳理思路：首先明确题目要求：三角形以A为一个顶点，有一条边长为3，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且需画出大小不同的所有图形。我们先分两大核心类别讨论：①长度为3的边是等腰三角形的腰；②长度为3的边是等腰三角形的底。再在每类中结合A的位置细分：若3为腰，要考虑A是这条腰的端点（再分A为顶角顶点、A为底角顶点两种情况），或是A不是这条腰的端点（3是另外两个顶点的连线）；若3为底，要保证A到3的两个端点距离相等。同时结合正方形边长为4的条件，取点时保证点在正方形边上，排除不符合要求的情况，最后去掉大小重复的三角形，即可得到所有符合要求的图形。
【解析】
按照分类讨论的思路逐一作图：
1. 当A为等腰三角形的顶角顶点，腰长为3：在AB、AD边上分别取距离A为3的点，连接两点得到等腰三角形，两腰均为3，对应题图①；
2. 当长度为3的边是腰，A为底角顶点：长为3的边两端分别在AB、AD边上，顶角在这条边的其中一个端点，对应题图②；
3. 当长度为3的边是底边，两个端点在BC边上，A为顶点，两腰为A连接3的两个端点的线段，对应题图③；
4. 当长度为3的边是腰，两个端点分别在BC、CD边上，A为底边的一个端点，对应题图④；
5. 当长度为3的边是腰，两个端点分别在AB、CD边上，A为另一条腰的端点，对应题图⑤；
以上五种为所有大小不同的符合要求的等腰三角形。
【答案】
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；正方形的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，需要全面考虑边长为3的边的属性（腰/底）以及顶点A的位置，解题时要注意避免漏解和重复，能很好地锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要运用分类讨论的思想，按照等腰三角形的边长属性和顶点A的位置逐步梳理思路：首先明确题目要求：三角形以A为一个顶点，有一条边长为3，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且需画出大小不同的所有图形。我们先分两大核心类别讨论：①长度为3的边是等腰三角形的腰；②长度为3的边是等腰三角形的底。再在每类中结合A的位置细分：若3为腰，要考虑A是这条腰的端点（再分A为顶角顶点、A为底角顶点两种情况），或是A不是这条腰的端点（3是另外两个顶点的连线）；若3为底，要保证A到3的两个端点距离相等。同时结合正方形边长为4的条件，取点时保证点在正方形边上，排除不符合要求的情况，最后去掉大小重复的三角形，即可得到所有符合要求的图形。
【解析】
按照分类讨论的思路逐一作图：
1. 当A为等腰三角形的顶角顶点，腰长为3：在AB、AD边上分别取距离A为3的点，连接两点得到等腰三角形，两腰均为3，对应题图①；
2. 当长度为3的边是腰，A为底角顶点：长为3的边两端分别在AB、AD边上，顶角在这条边的其中一个端点，对应题图②；
3. 当长度为3的边是底边，两个端点在BC边上，A为顶点，两腰为A连接3的两个端点的线段，对应题图③；
4. 当长度为3的边是腰，两个端点分别在BC、CD边上，A为底边的一个端点，对应题图④；
5. 当长度为3的边是腰，两个端点分别在AB、CD边上，A为另一条腰的端点，对应题图⑤；
以上五种为所有大小不同的符合要求的等腰三角形。
【答案】
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；正方形的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，需要全面考虑边长为3的边的属性（腰/底）以及顶点A的位置，解题时要注意避免漏解和重复，能很好地锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
