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7.「2026辽宁沈阳期中，★☆」图1是某电路图，滑动变阻器的阻值为R，电源电压为U，电功率为$P(P=\dfrac{U^2}{R})$，P关于R的函数图象如图2所示. 嘉嘉通过两次调节电阻，发现当R从10 Ω增加到20 Ω时，电功率P减少了20 W，则当R=16 Ω时，电功率P为
25
W. 答案
答案 25
解析 $\because$电源电压U一定,$\therefore U^2$的值一定,
$\because P=\dfrac{U^2}{R}$,$\therefore P$与R之间是反比例函数关系,
设$U^2=k$(k为常数,且k≠0),则$P=\dfrac{k}{R}$,
根据题意,得$\dfrac{k}{10}-\dfrac{k}{20}=20$,解得k=400,
$\therefore P$与R之间的函数关系式为$P=\dfrac{400}{R}$,
当R=16 $\Omega$时,$P=\dfrac{400}{16}=25$(W).
解析 $\because$电源电压U一定,$\therefore U^2$的值一定,
$\because P=\dfrac{U^2}{R}$,$\therefore P$与R之间是反比例函数关系,
设$U^2=k$(k为常数,且k≠0),则$P=\dfrac{k}{R}$,
根据题意,得$\dfrac{k}{10}-\dfrac{k}{20}=20$,解得k=400,
$\therefore P$与R之间的函数关系式为$P=\dfrac{400}{R}$,
当R=16 $\Omega$时,$P=\dfrac{400}{16}=25$(W).
解析
【分析】
首先由电功率公式$P=\dfrac{U^2}{R}$，结合电源电压$U$为定值的条件，可判断$P$是关于$R$的反比例函数。解题时先设出反比例函数的一般形式，再利用“R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少20W”的等量关系列方程，求出反比例函数的比例系数，最后将$R=16Ω$代入解析式即可计算出对应的电功率。
【解析】
∵ 电源电压$U$为定值，
∴ $U^2$为常数，
由$P=\dfrac{U^2}{R}$可知，$P$与$R$成反比例函数关系。
设$k=U^2$（$k$为常数，$k≠0$），则函数解析式为$P=\dfrac{k}{R}$。
根据题意列方程：
$\dfrac{k}{10}-\dfrac{k}{20}=20$
通分计算得$\dfrac{2k-k}{20}=20$，即$\dfrac{k}{20}=20$，解得$k=400$。
∴ $P$与$R$的函数关系式为$P=\dfrac{400}{R}$。
当$R=16Ω$时，代入解析式得：
$P=\dfrac{400}{16}=25$（W）
【答案】
25
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合物理电功率公式考查反比例函数的实际应用，解题关键是抓住不变量确定函数类型，结合已知数量关系求出函数解析式，注重跨学科知识融合，考察基础的函数应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
首先由电功率公式$P=\dfrac{U^2}{R}$，结合电源电压$U$为定值的条件，可判断$P$是关于$R$的反比例函数。解题时先设出反比例函数的一般形式，再利用“R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少20W”的等量关系列方程，求出反比例函数的比例系数，最后将$R=16Ω$代入解析式即可计算出对应的电功率。
【解析】
∵ 电源电压$U$为定值，
∴ $U^2$为常数，
由$P=\dfrac{U^2}{R}$可知，$P$与$R$成反比例函数关系。
设$k=U^2$（$k$为常数，$k≠0$），则函数解析式为$P=\dfrac{k}{R}$。
根据题意列方程：
$\dfrac{k}{10}-\dfrac{k}{20}=20$
通分计算得$\dfrac{2k-k}{20}=20$，即$\dfrac{k}{20}=20$，解得$k=400$。
∴ $P$与$R$的函数关系式为$P=\dfrac{400}{R}$。
当$R=16Ω$时，代入解析式得：
$P=\dfrac{400}{16}=25$（W）
【答案】
25
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合物理电功率公式考查反比例函数的实际应用，解题关键是抓住不变量确定函数类型，结合已知数量关系求出函数解析式，注重跨学科知识融合，考察基础的函数应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
8.「2026 山东济宁任城期中，★☆」学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示.某班学生在一节数学课中的注意力指数 $ y $ 与上课时间 $ x $ (分钟)的变化如图所示.上课开始时注意力指数为30,前10分钟内注意力指数 $ y $ 与上课时间 $ x $ 的关系式为 $ y = 5x + 30 $.10分钟以后注意力指数 $ y $ 是上课时间 $ x $ 的反比例函数.
(1)求10分钟以后 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2)如果讲解一道较难的数学题,要求学生的注意力指数不小于50,为了保证教学效果,本节课应该在哪个时间段讲解这道题?
(1)求10分钟以后 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2)如果讲解一道较难的数学题,要求学生的注意力指数不小于50,为了保证教学效果,本节课应该在哪个时间段讲解这道题?
答案
(1)将x=10代入y=5x+30,得y=50+30=80,
设10分钟以后y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{m}{x}$,
将x=10,y=80代入$y=\dfrac{m}{x}$,得m=800,
$\therefore y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$.
(2)把y=50代入y=5x+30,得5x+30=50,解得x=4;
由(1)得$y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$,
把y=50代入$y=\dfrac{800}{x}$,得$50=\dfrac{800}{x}$,解得x=16.
$\therefore$为了保证教学效果,本节课应该在$4≤ x≤16$时间段讲解这道题.
设10分钟以后y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{m}{x}$,
将x=10,y=80代入$y=\dfrac{m}{x}$,得m=800,
$\therefore y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$.
(2)把y=50代入y=5x+30,得5x+30=50,解得x=4;
由(1)得$y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$,
把y=50代入$y=\dfrac{800}{x}$,得$50=\dfrac{800}{x}$,解得x=16.
$\therefore$为了保证教学效果,本节课应该在$4≤ x≤16$时间段讲解这道题.
解析
【分析】
(1) 求10分钟后的反比例函数关系式，首先需要确定反比例函数经过的点的坐标：x=10时的y值可通过前10分钟给出的一次函数关系式计算得到，再用待定系数法将点坐标代入反比例函数一般式即可求出解析式，注意要结合图像标注自变量的取值范围。
(2) 要求注意力指数不小于50的时间段，需分段分析：①前10分钟的一次函数段，令y=50求出对应的x值，结合该段函数递增的性质，可得到该段满足y≥50的x范围；②10分钟后的反比例函数段，令y=50求出对应的x值，结合该段函数递减的性质，可得到该段满足y≥50的x范围，合并两个区间即可得到最终符合要求的时间段。
【解析】
(1) 先计算x=10时的注意力指数：将x=10代入y=5x+30，得$y=5×10+30=80$，即反比例函数经过点(10,80)。
设10分钟以后y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{m}{x}(m≠0)$，将x=10，y=80代入得$80=\dfrac{m}{10}$，解得$m=800$。
结合图像中自变量的取值范围，可得10分钟后y与x的函数关系式为$y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$。
(2) ① 当$0≤ x≤10$时，令y=50，代入y=5x+30得：$5x+30=50$，解得$x=4$。
因为该段y随x的增大而增大，所以$4≤ x≤10$时，y≥50。
② 当$10＜x≤45$时，令y=50，代入$y=\dfrac{800}{x}$得：$50=\dfrac{800}{x}$，解得$x=16$。
因为该段y随x的增大而减小，所以$10＜x≤16$时，y≥50。
综合两段结果，当$4≤ x≤16$时，学生注意力指数不小于50。
【答案】
(1) $y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$
(2) 本节课应该在$4≤ x≤16$的时间段讲解这道题。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查分段函数的应用，解题核心是明确不同时间段对应的函数类型，结合函数增减性求解符合要求的自变量范围，侧重对基础函数应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求10分钟后的反比例函数关系式，首先需要确定反比例函数经过的点的坐标：x=10时的y值可通过前10分钟给出的一次函数关系式计算得到，再用待定系数法将点坐标代入反比例函数一般式即可求出解析式，注意要结合图像标注自变量的取值范围。
(2) 要求注意力指数不小于50的时间段，需分段分析：①前10分钟的一次函数段，令y=50求出对应的x值，结合该段函数递增的性质，可得到该段满足y≥50的x范围；②10分钟后的反比例函数段，令y=50求出对应的x值，结合该段函数递减的性质，可得到该段满足y≥50的x范围，合并两个区间即可得到最终符合要求的时间段。
【解析】
(1) 先计算x=10时的注意力指数：将x=10代入y=5x+30，得$y=5×10+30=80$，即反比例函数经过点(10,80)。
设10分钟以后y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{m}{x}(m≠0)$，将x=10，y=80代入得$80=\dfrac{m}{10}$，解得$m=800$。
结合图像中自变量的取值范围，可得10分钟后y与x的函数关系式为$y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$。
(2) ① 当$0≤ x≤10$时，令y=50，代入y=5x+30得：$5x+30=50$，解得$x=4$。
因为该段y随x的增大而增大，所以$4≤ x≤10$时，y≥50。
② 当$10＜x≤45$时，令y=50，代入$y=\dfrac{800}{x}$得：$50=\dfrac{800}{x}$，解得$x=16$。
因为该段y随x的增大而减小，所以$10＜x≤16$时，y≥50。
综合两段结果，当$4≤ x≤16$时，学生注意力指数不小于50。
【答案】
(1) $y=\dfrac{800}{x}(10＜x≤45)$
(2) 本节课应该在$4≤ x≤16$的时间段讲解这道题。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查分段函数的应用，解题核心是明确不同时间段对应的函数类型，结合函数增减性求解符合要求的自变量范围，侧重对基础函数应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
9. 核心素养 模型观念「2026山东泰安宁阳期中」1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y(单位:米)是其两腿迈出的步长之差x(单位:厘米,x＞0)的反比例函数，其图象如图所示.
请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少.
请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少.
答案
(1)设y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}$,
由图象可知,反比例函数图象过点(2,7),
$\therefore 7=\dfrac{k}{2}$,$\therefore k=14$,
$\therefore y$与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{14}{x}(x＞0)$.
(2)当x=0.5时,$y=\dfrac{14}{0.5}=28$,
$\therefore$当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时,他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米.
(3)其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米.
详解:当$y≥70$,即$\dfrac{14}{x}≥70$时,解得$x≤0.2$,
$\therefore$若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米,则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米.
由图象可知,反比例函数图象过点(2,7),
$\therefore 7=\dfrac{k}{2}$,$\therefore k=14$,
$\therefore y$与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{14}{x}(x＞0)$.
(2)当x=0.5时,$y=\dfrac{14}{0.5}=28$,
$\therefore$当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时,他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米.
(3)其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米.
详解:当$y≥70$,即$\dfrac{14}{x}≥70$时,解得$x≤0.2$,
$\therefore$若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米,则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1)题目明确说明y是x的反比例函数，因此可先设出反比例函数的一般形式，再利用图象给出的已知点坐标代入，求出未知系数k，即可得到函数关系式；(2)求步长差为0.5厘米时的半径，只需将x=0.5代入已求出的函数关系式，计算得到对应的y值即可；(3)已知半径不小于70米，即y≥70，将函数关系式代入得到关于x的不等式，结合x＞0的条件解不等式，就能得到步长差的最大值。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
由图象可知，函数图象经过点$(2,7)$，将$x=2,y=7$代入解析式得：
$7=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2×7=14$，
因此y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{14}{x}(x＞0)$。
(2) 当两腿步长之差$x=0.5$厘米时，代入$y=\dfrac{14}{x}$得：
$y=\dfrac{14}{0.5}=28$，
即此时大圆圈的半径为28米。
(3) 若大圆圈半径不小于70米，即$y≥70$，代入函数关系式得：
$\dfrac{14}{x}≥70$，
$\because x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$14≥70x$，
解得$x≤0.2$，
即两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米。
【答案】
(1)$y=\dfrac{14}{x}(x＞0)$；(2)28米；(3)0.2厘米
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活中的“瞎转圈”现象设置问题，既考查了反比例函数的基础知识点，又体现了数学在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，能准确代入求值和解不等式。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1)题目明确说明y是x的反比例函数，因此可先设出反比例函数的一般形式，再利用图象给出的已知点坐标代入，求出未知系数k，即可得到函数关系式；(2)求步长差为0.5厘米时的半径，只需将x=0.5代入已求出的函数关系式，计算得到对应的y值即可；(3)已知半径不小于70米，即y≥70，将函数关系式代入得到关于x的不等式，结合x＞0的条件解不等式，就能得到步长差的最大值。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
由图象可知，函数图象经过点$(2,7)$，将$x=2,y=7$代入解析式得：
$7=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2×7=14$，
因此y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{14}{x}(x＞0)$。
(2) 当两腿步长之差$x=0.5$厘米时，代入$y=\dfrac{14}{x}$得：
$y=\dfrac{14}{0.5}=28$，
即此时大圆圈的半径为28米。
(3) 若大圆圈半径不小于70米，即$y≥70$，代入函数关系式得：
$\dfrac{14}{x}≥70$，
$\because x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$14≥70x$，
解得$x≤0.2$，
即两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米。
【答案】
(1)$y=\dfrac{14}{x}(x＞0)$；(2)28米；(3)0.2厘米
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活中的“瞎转圈”现象设置问题，既考查了反比例函数的基础知识点，又体现了数学在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，能准确代入求值和解不等式。
【难度系数】
0.8
