10. 某工厂现有 $ 15 \, \mathrm{m}^3 $ 木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿.
(1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果 $ 1 \, \mathrm{m}^3 $ 木料可制作 40 个桌面或制作 20 条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少立方米.
(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下列问题.
①如果 $ 1 \, \mathrm{m}^3 $ 木料可制作 50 个桌面或制作 300 条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？
②如果 $ 3 \, \mathrm{m}^3 $ 木料可制作 20 个桌面或制作 320 条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？

解：
(1) 原式$=\sqrt{2× \frac{9}{8}}$
$=\sqrt{\frac{9}{4}}$
$=\frac{3}{2}$
(2) 原式$=\frac{\sqrt{12× 3}}{\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{6}}$
$=\sqrt{\frac{36}{6}}$
$=\sqrt{6}$

【分析】
本题属于一元一次方程配套类应用题，解题核心是抓住配套物品的数量关系列方程：
(1) 圆桌配套规则为1个桌面配1条桌腿，即桌面总数量=桌腿总数量。设制作桌面的木料为$x\ \mathrm{m}^3$，用$x$表示出制作桌腿的木料体积，再分别乘对应单位体积产量得到桌面、桌腿总数量，根据等量关系列方程求解即可。
(2) ①方桌配套规则为1个桌面配4条桌腿，即桌腿总数量=4×桌面总数量。设制作桌面的木料为$y\ \mathrm{m}^3$，同理表示出桌腿总数量，根据上述等量关系列方程求解。
②要制作尽可能多的桌子，需木料无浪费、桌面桌腿刚好配套，仍满足桌腿总数量=4×桌面总数量。先计算出$1\ \mathrm{m}^3$木料可制作的桌面、桌腿数量，再设制作桌面的木料为$z\ \mathrm{m}^3$，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设制作桌面的木料为$x\ \mathrm{m}^3$，则制作桌腿的木料为$(15-x)\ \mathrm{m}^3$。
由桌面和桌腿1:1配套可得：
$40x=20(15-x)$
解得：$x=5$
(2) ①设用$y\ \mathrm{m}^3$木料制作桌面，则用$(15-y)\ \mathrm{m}^3$木料制作桌腿。
方桌桌腿总数是桌面总数的4倍，据此列方程：
$4×50y=300(15-y)$
解得：$y=9$
制作桌腿的木料体积：$15-9=6(\mathrm{m}^3)$
②设用$z\ \mathrm{m}^3$木料制作桌面，则用$(15-z)\ \mathrm{m}^3$木料制作桌腿。
由题意得$1\ \mathrm{m}^3$木料可制作$\frac{20}{3}$个桌面、$\frac{320}{3}$条桌腿，要制作最多的桌子需刚好配套，列方程：
$4× 20× \frac{z}{3}=320× \frac{15-z}{3}$
两边同乘3消分母得：$80z=320(15-z)$
解得：$z=12$
制作桌腿的木料体积：$15-12=3(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) 制作桌面的木料为$5\ \mathrm{m}^3$；
(2) ①用$9\ \mathrm{m}^3$木料制作桌面，用$6\ \mathrm{m}^3$木料制作桌腿恰好配套；
②用$12\ \mathrm{m}^3$木料制作桌面，用$3\ \mathrm{m}^3$木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子。
【知识点】
一元一次方程的应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题关键是准确找到不同配套规则下各部件的数量关系，要制作最多的产品本质是保证原料无浪费、各部件刚好配套，熟练掌握一元一次方程的解法是解题基础。
【难度系数】
0.7

11.(重庆中考)某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召,积极扩大粮食生产规模,计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种.甲区的农田比乙区的农田多10 000亩,甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种,且两区适宜试种农田的面积刚好相同.
(1)求甲、乙两区各有农田多少亩.
(2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后,为加强油菜的虫害治理,基地派出一批性能相同的无人机,对试种农田喷洒除虫药,由于两区地势差别,派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同),喷洒任务完成后,发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒$\frac{50}{3}$亩,求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩.

11. (1)设甲区有农田x亩,则乙区有农田(x-10 000)亩,由题意得 80%x = x - 10 000,解得 x = 50 000,则 x - 10 000 = 50 000-10 000=40 000.答:甲区有农田 50 000 亩,乙区有农田40 000亩.
(2)设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩,派往甲区的无人机架次为a架次,则派往乙区每架次无人机平均喷洒$(y-\frac{50}{3})$亩,派往乙区的无人机架次为1.2a架次,由题意得 $ay=1.2a(y-\frac{50}{3})$,即 $y=1.2(y-\frac{50}{3})$,解得 y = 100.
答:派往甲区每架次无人机平均喷洒 100 亩.

【分析】
(1) 求解两区农田面积，需抓住两个核心等量关系：①甲区农田面积比乙区多10000亩；②甲区适宜试种面积（甲区面积的80%）与乙区全部适宜试种面积相等。可设甲区农田面积为未知数，用含未知数的式子表示乙区面积，再根据第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 求解甲区每架次无人机喷洒面积，核心等量关系为：喷洒总面积=无人机架次×每架次喷洒面积，且甲乙两区适宜试种的总面积相等。可设甲区每架次喷洒面积为y亩，引入辅助未知数a表示甲区无人机架次，根据题中架次、每架次喷洒面积的关系表示出乙区的对应量，列方程后辅助未知数a可直接约掉，进而求解y。
【解析】
(1) 设甲区有农田x亩，则乙区有农田$(x-10000)$亩。
根据两区适宜试种面积相等列方程：
$80\%x = x - 10000$
解方程：
$0.2x=10000$
$x=50000$
则乙区农田面积为$50000-10000=40000$（亩）。
(2) 设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，派往甲区的无人机架次为a架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒$(y-\frac{50}{3})$亩，派往乙区的无人机架次为$1.2a$架次。
根据两区试种总面积相等列方程：
$ay=1.2a(y-\frac{50}{3})$
由于$a\ne0$，两边同时除以a得：
$y=1.2(y-\frac{50}{3})$
解方程：
$y=1.2y-20$
$0.2y=20$
$y=100$
【答案】
(1) 甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩；(2) 派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题；工程类问题
【点评】
本题结合农业生产实际考查一元一次方程的应用，解题关键是准确梳理题干中的等量关系，合理设置未知数。第二问引入辅助未知数表示架次，可简化等量关系的表达，且计算时辅助未知数可直接消去，是方程实际应用中的常用技巧，整体解题思路清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7

12. 某中学举行数学竞赛,计划用A,B两台复印机复印试卷.如果单独用A机器需要90分钟印完,如果单独用B机器需要60分钟印完,为了保密的需要,不能过早复印试卷,学校决定在考试前由两台复印机同时复印.
(1)若两台复印机同时复印,共需多少分钟才能印完?
(2)若两台复印机同时复印30分钟后,B复印机出了故障,暂时不能复印,此时离发卷还有13分钟.请你计算一下,如果由A复印机单独完成剩下的复印任务,会不会影响按时发卷考试?
(3)在(2)的问题中,B复印机经过紧急抢修,9分钟后修好恢复正常使用,请你再计算一下,学校能否按时发卷考试?

B

根据除法各部分的关系，可得? = √6 ÷ √3，依据二次根式的除法运算法则√a÷√b=√(a/b)（a≥0，b＞0），计算得√6÷√3=√(6/3)=√2。