三、解答题(共40分)
11. (10分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠DAC=45°,∠BAC=30°,E是AC的中点,连结BE,BD.求∠DBE的度数.

11. 连结DE. 因为$∠ ABC=∠ ADC=90°$,E是AC的中点,所以$AE=CE=DE=BE=\frac{1}{2}AC$. 因为$∠ DAC=45°$, $∠ BAC = 30°$, 所以 $∠ ADE = ∠ DAE = 45°$, $∠ BAC=∠ EBA=30°$. 所以$∠ DEC=∠ ADE+∠ DAC=90°$, $∠ BEC = ∠ BAC + ∠ EBA = 60°$. 所以 $∠ DEB = ∠ DEC + ∠ BEC = 150°$. 所以 $∠ DBE = ∠ EDB = \frac{1}{2}(180°-∠ DEB)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$

12.（14分）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积.

12. (1) 连结AC. 因为$∠ B = 90°$,所以 $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 400+225 = 625$. 因为 $AD^2+CD^2 = 24^2+7^2 = 625$, 所以 $AC^2=AD^2+CD^2$. 所以$△ ADC$ 是直角三角形,且$∠ D=90°$. 所以 $CD ⊥ AD$
(2) $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2}AB · BC + \frac{1}{2}AD · CD = \frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7 = 234$

13. (16分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,连结BE.求:
(1) AD的长;
(2) AE的长.

13. (1) 因为在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°,BC=6,AC=8$,所以 $AB = 10$. 因为 $DE$ 垂直平分 $AB$,所以 $AD = BD=5$
(2) 因为 $DE$ 垂直平分 $AB$,所以 $BE=AE$. 设$EC=x$,则 $AE = BE = 8-x$. 所以 $6^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=\frac{7}{4}$. 所以 $AE=8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}$