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10.设$a,b,c,d$为有理数,现规定一种新的运算:$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$,那么当$\begin{vmatrix} 3&5-x\\ 2&x+3 \end{vmatrix}=-6$时,$x$的值是多少？
答案
10. $x=-1$
解析
【分析】
遇到新定义运算题型，首先要准确理解题目给出的运算规则：本题中二阶行列式的计算规则为左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素。首先将题干中的行列式按照该规则展开，即可得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
根据新运算的规定，可得：
$\begin{vmatrix} 3&5-x\\ 2&x+3 \end{vmatrix}=3(x+3)-2(5-x)$
结合题意该式等于-6，列方程得：
$3(x+3)-2(5-x)=-6$
去括号，得：
$3x+9-10+2x=-6$
合并同类项，得：
$5x-1=-6$
移项，得：
$5x=-6+1$
$5x=-5$
系数化为1，得：
$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的求解，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生的行列式运算转化为熟悉的整式方程，再按照解一元一次方程的步骤细心计算即可。
【难度系数】
0.8
遇到新定义运算题型，首先要准确理解题目给出的运算规则：本题中二阶行列式的计算规则为左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素。首先将题干中的行列式按照该规则展开，即可得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
根据新运算的规定，可得：
$\begin{vmatrix} 3&5-x\\ 2&x+3 \end{vmatrix}=3(x+3)-2(5-x)$
结合题意该式等于-6，列方程得：
$3(x+3)-2(5-x)=-6$
去括号，得：
$3x+9-10+2x=-6$
合并同类项，得：
$5x-1=-6$
移项，得：
$5x=-6+1$
$5x=-5$
系数化为1，得：
$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的求解，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生的行列式运算转化为熟悉的整式方程，再按照解一元一次方程的步骤细心计算即可。
【难度系数】
0.8
11.已知关于x的方程$2(x-1)+1=x$与$3(x+m)=m-1$有相同的解.
(1)求$m$的值；
(2)求以$y$为未知数的方程$4-(3-my)=-2(m-3xy)$的解.
(1)求$m$的值；
(2)求以$y$为未知数的方程$4-(3-my)=-2(m-3xy)$的解.
答案
11. (1)$m=-2$ (2)$y=-\dfrac{3}{8}$
解析
【分析】
(1) 两个方程有相同的解，先求解不含参数m的方程$2(x-1)+1=x$得到x的确定值，再将x的值代入含参数m的方程$3(x+m)=m-1$，得到只关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
(2) 将第(1)问求出的m值、以及第一步得到的x的解，代入关于y的方程，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一元一次方程常规求解步骤计算即可得到y的值。
【解析】
(1) 先解方程$2(x-1)+1=x$：
去括号，得$2x - 2 + 1 = x$
化简，得$2x - 1 = x$
移项，得$2x - x = 1$
解得$x = 1$
∵两个方程有相同的解，
∴$x=1$也是方程$3(x+m)=m-1$的解
将$x=1$代入$3(x+m)=m-1$，得：
$3(1+m) = m - 1$
去括号，得$3 + 3m = m - 1$
移项，得$3m - m = -1 - 3$
合并同类项，得$2m = -4$
系数化为1，得$m = -2$
(2) 将$m=-2$，$x=1$代入方程$4-(3-my)=-2(m-3xy)$，得：
$4 - [3 - (-2)y] = -2×[-2 - 3×1× y]$
分别化简左右两边：
左边：$4 - (3 + 2y) = 4 - 3 - 2y = 1 - 2y$
右边：$-2×(-2 - 3y) = 4 + 6y$
可得方程：$1 - 2y = 4 + 6y$
移项，得$-2y - 6y = 4 - 1$
合并同类项，得$-8y = 3$
系数化为1，得$y = -\dfrac{3}{8}$
【答案】
(1)$m=-2$；(2)$y=-\dfrac{3}{8}$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，方程的解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础常考题，核心是利用同解的性质建立参数与已知解的关联，计算时严格按照一元一次方程的求解步骤操作即可，需注意代入数值时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
(1) 两个方程有相同的解，先求解不含参数m的方程$2(x-1)+1=x$得到x的确定值，再将x的值代入含参数m的方程$3(x+m)=m-1$，得到只关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
(2) 将第(1)问求出的m值、以及第一步得到的x的解，代入关于y的方程，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一元一次方程常规求解步骤计算即可得到y的值。
【解析】
(1) 先解方程$2(x-1)+1=x$：
去括号，得$2x - 2 + 1 = x$
化简，得$2x - 1 = x$
移项，得$2x - x = 1$
解得$x = 1$
∵两个方程有相同的解，
∴$x=1$也是方程$3(x+m)=m-1$的解
将$x=1$代入$3(x+m)=m-1$，得：
$3(1+m) = m - 1$
去括号，得$3 + 3m = m - 1$
移项，得$3m - m = -1 - 3$
合并同类项，得$2m = -4$
系数化为1，得$m = -2$
(2) 将$m=-2$，$x=1$代入方程$4-(3-my)=-2(m-3xy)$，得：
$4 - [3 - (-2)y] = -2×[-2 - 3×1× y]$
分别化简左右两边：
左边：$4 - (3 + 2y) = 4 - 3 - 2y = 1 - 2y$
右边：$-2×(-2 - 3y) = 4 + 6y$
可得方程：$1 - 2y = 4 + 6y$
移项，得$-2y - 6y = 4 - 1$
合并同类项，得$-8y = 3$
系数化为1，得$y = -\dfrac{3}{8}$
【答案】
(1)$m=-2$；(2)$y=-\dfrac{3}{8}$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，方程的解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础常考题，核心是利用同解的性质建立参数与已知解的关联，计算时严格按照一元一次方程的求解步骤操作即可，需注意代入数值时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
12.一艘轮船航行于甲、乙两地之间，顺水用时3 h，逆水比顺水多用30 min，已知轮船在静水中的速度是26 km/h，求水流的速度.
答案
12. $2\ \mathrm{km/h}$
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题核心是抓住甲、乙两地距离不变，即顺水行驶路程=逆水行驶路程作为等量关系列方程。首先明确相关速度公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；其次注意单位统一，将30min换算为0.5h得到逆水行驶时间；最后设水流速度为未知数，分别表示出顺水、逆水行驶的路程，列方程求解即可。
【解析】
解：设水流的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则顺水行驶的速度为$(26+x)\ \mathrm{km/h}$，逆水行驶的速度为$(26-x)\ \mathrm{km/h}$。
逆水行驶时间为：$3 + 30÷60 = 3.5\ \mathrm{h}$
根据甲乙两地路程不变，可列方程：
$3(26 + x) = 3.5(26 - x)$
展开得：$78 + 3x = 91 - 3.5x$
移项合并同类项得：$6.5x = 13$
系数化为1得：$x = 2$
经检验，$x=2$符合实际意义。
【答案】
$2\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 流水行船速度关系
3. 行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题的关键是找准往返路程相等的等量关系，同时要注意时间单位的统一，避免直接将30分钟代入计算出现错误，掌握基础的行程公式和流水行船的速度规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题核心是抓住甲、乙两地距离不变，即顺水行驶路程=逆水行驶路程作为等量关系列方程。首先明确相关速度公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；其次注意单位统一，将30min换算为0.5h得到逆水行驶时间；最后设水流速度为未知数，分别表示出顺水、逆水行驶的路程，列方程求解即可。
【解析】
解：设水流的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则顺水行驶的速度为$(26+x)\ \mathrm{km/h}$，逆水行驶的速度为$(26-x)\ \mathrm{km/h}$。
逆水行驶时间为：$3 + 30÷60 = 3.5\ \mathrm{h}$
根据甲乙两地路程不变，可列方程：
$3(26 + x) = 3.5(26 - x)$
展开得：$78 + 3x = 91 - 3.5x$
移项合并同类项得：$6.5x = 13$
系数化为1得：$x = 2$
经检验，$x=2$符合实际意义。
【答案】
$2\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 流水行船速度关系
3. 行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题的关键是找准往返路程相等的等量关系，同时要注意时间单位的统一，避免直接将30分钟代入计算出现错误，掌握基础的行程公式和流水行船的速度规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得的两位数比原来的两位数的2倍小12，求原来的两位数.
答案
13. 48
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；再根据“十位上的数字比个位上的数字小4”设未知数，通常设较小的十位数字为x，即可用含x的式子表示出个位数字；接着分别写出原两位数和对调后新两位数的表达式；最后根据“新两位数比原两位数的2倍小12”的等量关系列方程，求解得到十位数字后即可推出原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+4$。
原来的两位数可表示为：$10x + (x+4) = 11x + 4$
对调后新的两位数可表示为：$10(x+4) + x = 11x + 40$
根据题意列方程得：
$11x + 40 = 2(11x + 4) - 12$
展开并化简右侧：$11x + 40 = 22x - 4$
移项得：$22x - 11x = 40 + 4$
合并同类项得：$11x = 44$
系数化为1得：$x = 4$
则个位数字为：$x + 4 = 4 + 4 = 8$
因此原来的两位数为48。
【答案】
48
【知识点】
一元一次方程的应用；两位数的表示方法；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用未知数表示出原数和对调后的新数，准确抓住题目给出的等量关系列方程求解，掌握数字的表示规则是解题的前提。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；再根据“十位上的数字比个位上的数字小4”设未知数，通常设较小的十位数字为x，即可用含x的式子表示出个位数字；接着分别写出原两位数和对调后新两位数的表达式；最后根据“新两位数比原两位数的2倍小12”的等量关系列方程，求解得到十位数字后即可推出原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+4$。
原来的两位数可表示为：$10x + (x+4) = 11x + 4$
对调后新的两位数可表示为：$10(x+4) + x = 11x + 40$
根据题意列方程得：
$11x + 40 = 2(11x + 4) - 12$
展开并化简右侧：$11x + 40 = 22x - 4$
移项得：$22x - 11x = 40 + 4$
合并同类项得：$11x = 44$
系数化为1得：$x = 4$
则个位数字为：$x + 4 = 4 + 4 = 8$
因此原来的两位数为48。
【答案】
48
【知识点】
一元一次方程的应用；两位数的表示方法；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用未知数表示出原数和对调后的新数，准确抓住题目给出的等量关系列方程求解，掌握数字的表示规则是解题的前提。
【难度系数】
0.7
