1. 下列可以运用平方差公式计算的有（填序号）.
①$(a+b)(-b+a)$；②$(-a+b)(a-b)$；③$(a+b)(-a-b)$；④$(a-b)(-a -b)$.

①④

【分析】
解题前先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算。我们只需对每个式子适当变形，分别判断两个二项式中是否存在相同项和相反项，就能确定是否符合要求。
【解析】
平方差公式的形式为$\boxed{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，核心特征是：相乘的两个二项式中，一项完全相同，另一项互为相反数，逐个判断如下：
① 对$(a+b)(-b+a)$变形得$(a+b)(a-b)$，相同项为$a$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式特征，可运用；
② 对$(-a+b)(a-b)$变形得$-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，两个二项式的两项均互为相反数，无相同项，不符合特征，不可运用；
③ 对$(a+b)(-a-b)$变形得$-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2$，两个二项式的两项均互为相反数，无相同项，不符合特征，不可运用；
④ 对$(a-b)(-a -b)$变形得$(-b+a)(-b-a)$，相同项为$-b$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式特征，可运用。
【答案】
①④
【知识点】
平方差公式，整式变形
【点评】
本题主要考查平方差公式的适用条件，解题的关键是准确识别两个相乘多项式中的相同项和相反项，属于基础题型，熟练掌握公式结构就能快速求解。
【难度系数】
0.7

2.计算：
(1)$(x+3)(x-3)=$；
(2)$(a-b)(-b-a)=$；
(3)$(2ab-n)(2ab+n)=$
.

解：
(1) $(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 - 9$
(2) $(a-b)(-b-a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2$
(3) $(2ab-n)(2ab+n)=(2ab)^2 - n^2 = 4a^2b^2 - n^2$

【分析】
这三道小题均符合平方差公式的运算结构，解题时首先要明确平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，即两个数的和与这两个数的差的乘积，等于相同项的平方减去相反项的平方。解题步骤为：①先找出每个乘法算式里的相同项和互为相反数的项；②将相同项作为$m$，相反项的绝对值作为$n$代入公式；③按照乘方运算法则化简结果即可，注意系数和含多个字母的项乘方时要对每个因式分别乘方。
【解析】
(1) 算式中相同项为$x$，相反项为$3$和$-3$，代入平方差公式计算：
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 - 9$
(2) 调整因式顺序后，可得相同项为$-b$，相反项为$a$和$-a$，代入公式计算：
$(a-b)(-b-a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2$
(3) 算式中相同项为$2ab$，相反项为$n$和$-n$，代入公式后按积的乘方法则计算：
$(2ab-n)(2ab+n)=(2ab)^2 - n^2 = 4a^2b^2 - n^2$
【答案】
(1)$x^2-9$；(2)$b^2-a^2$；(3)$4a^2b^2-n^2$
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意带系数的单项式乘方时，系数和每个字母都要分别乘方，避免出现漏算系数平方的错误。
【难度系数】
0.8

3.已知$a^2 = b^2 +4$，则$(a+b)(a-b)=$

解：由平方差公式可得
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
已知$a^2 = b^2 + 4$，移项得$a^2 - b^2 = 4$
因此$(a+b)(a-b)=4$

【分析】
解题时首先观察所求代数式$(a+b)(a-b)$的结构，可联想到整式乘法中的平方差公式，先利用平方差公式将所求式子展开化简，再结合已知给出的$a^2$与$b^2$的关系，对已知等式变形后代入化简后的式子，即可求出结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
已知$a^2 = b^2 + 4$，将等式右边的$b^2$移到左边，可得：
$a^2 - b^2 = 4$
将其代入展开后的式子，得$(a+b)(a-b)=4$
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是基础类题目，核心考查平方差公式的应用，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，结合等式的简单变形即可快速求解，是巩固乘法公式的典型基础题。
【难度系数】
0.8

4. 计算：$2026 × 2024 - 2025^{2} = $.

解：
原式$=(2025+1)×(2025-1)-2025^2$
$=2025^2 - 1 - 2025^2$
$=-1$

【分析】
观察算式中的数字特征，2026和2024都与2025相邻，可改写为2025+1和2025-1，此时前半部分乘积刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，利用平方差公式化简后可消去$2025^2$项，无需计算大数平方即可快速得出结果，大幅简化运算。
【解析】
原式$=(2025+1)×(2025-1)-2025^2$
根据平方差公式展开得：
$=2025^2 - 1^2 - 2025^2$
合并同类项后得：
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题是乘法公式用于简便运算的典型题型，解题关键是观察数字的相邻关系，合理变形构造出平方差公式的结构，规避繁琐的大数计算，能有效考查学生对乘法公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

5.计算:
(1)$(-\dfrac{1}{5}x+2y)(-\dfrac{1}{5}x-2y)$;
(2)$(x+2y)(x-2y)-x(x-y)$;
(3)$(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}y)(-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{2}x)$.

解：
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{5}x)^2 - (2y)^2$
$=\dfrac{1}{25}x^2 - 4y^2$
(2) 原式$=x^2 - (2y)^2 - x(x-y)$
$=x^2 - 4y^2 - x^2 + xy$
$=xy - 4y^2$
(3) 原式$=(-\dfrac{2}{3}y - \dfrac{1}{2}x)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)$
$=(-\dfrac{2}{3}y)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2$
$=\dfrac{4}{9}y^2 - \dfrac{1}{4}x^2$

【分析】
这三道题均考查整式乘法运算，核心是平方差公式的应用，解题思路如下：1. 先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，使用公式的关键是找出两个因式中相同的项（对应公式里的$a$）和符号相反的项（对应公式里的$b$）；2. 第(1)题可直接识别出相同项是$-\frac{1}{5}x$，相反项是$2y$和$-2y$，直接套用公式计算即可；3. 第(2)题前半部分符合平方差公式特征，先套用公式计算，再计算单项式乘多项式，最后合并同类项得到结果；4. 第(3)题先调整两个因式中项的顺序，把相同项$-\frac{2}{3}y$放在前面，相反项放在后面，转化为平方差公式的标准形式后再计算。
【解析】
(1) 观察原式符合平方差公式的形式，其中$a=-\frac{1}{5}x$，$b=2y$，代入公式得：
原式$=(-\dfrac{1}{5}x)^2 - (2y)^2$
$=\dfrac{1}{25}x^2 - 4y^2$
(2) 先对前半部分套用平方差公式，其中$a=x$，$b=2y$，再计算单项式乘多项式，去括号后合并同类项：
原式$=x^2 - (2y)^2 - x(x-y)$
$=x^2 - 4y^2 - x^2 + xy$
$=xy - 4y^2$
(3) 先调整因式中项的顺序，得到平方差公式的标准形式，其中$a=-\frac{2}{3}y$，$b=\frac{1}{2}x$，代入计算：
原式$=(-\dfrac{2}{3}y - \dfrac{1}{2}x)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)$
$=(-\dfrac{2}{3}y)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2$
$=\dfrac{4}{9}y^2 - \dfrac{1}{4}x^2$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{25}x^2 - 4y^2$
(2) $xy - 4y^2$
(3) $\dfrac{4}{9}y^2 - \dfrac{1}{4}x^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，解题的核心是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，进行混合运算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7

6.先化简，再求值：$(2 - a)(2 + a) - 2a(a + 3) + 3a^2$，其中$a = -\dfrac{1}{3}$。

解：
原式$=4 - a^2 - 2a^2 - 6a + 3a^2$
$= 4 - 6a$
当$a = -\dfrac{1}{3}$时，
原式$=4 - 6×(-\dfrac{1}{3})$
$=4 + 2$
$=6$

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先观察到$(2-a)(2+a)$符合平方差公式的结构特征，可先利用平方差公式计算该部分；再根据单项式乘多项式的运算法则计算$2a(a+3)$，随后去括号、合并同类项，将原式化为最简形式；第二步将$a$的值代入化简后的式子计算即可得到结果，计算时注意符号的处理。
【解析】
解：原式利用平方差公式、单项式乘多项式法则展开得：
$=4 - a^2 - 2a^2 - 6a + 3a^2$
合并同类项得：
$= 4 - 6a$
当$a = -\dfrac{1}{3}$时，代入上式：
原式$=4 - 6×(-\dfrac{1}{3})$
$=4 + 2$
$=6$
【答案】
$6$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，主要考查平方差公式及整式运算法则的掌握情况，解题时需注意去括号的符号变化以及合并同类项的准确性，代入求值时要注意负号的运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85

7.如图,从边长为a的大正方形中截去一个边长为b的小正方形.
(1)请用含a,b的式子表示图中阴影部分的面积.
(2)将阴影部分沿虚线剪开,再拼成一个长方形,则这个长方形的长、宽及面积分别是多少?
(3)比较前两问的结果,你能验证平方差公式吗?

解：
(1) 边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分的面积为$a^2 - b^2$。
(2) 拼成的长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
(3) 因为前后两个图形的阴影部分是同一部分，面积相等，因此可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
即验证得到平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

【分析】
(1) 求阴影部分面积时，观察图形可知阴影是边长为a的大正方形去掉边长为b的小正方形得到的，直接用大正方形面积减去小正方形面积即可得到阴影面积。
(2) 将阴影沿虚线剪开拼接长方形时，拼接后的长由大正方形边长和小正方形边长拼接得到，宽为大正方形边长减去小正方形边长的差，再根据长方形面积公式计算即可。
(3) 两问中的阴影是同一部分，面积不会随形状变化而改变，因此两个面积表达式相等，即可验证平方差公式。
【解析】
(1) 边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分的面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = $a^2 - b^2$。
(2) 拼接后长方形的长为大正方形边长加小正方形边长，即$a+b$；长方形的宽为大正方形边长减小正方形边长，即$a-b$；根据长方形面积公式，可得该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
(3) 由于阴影部分为同一部分，面积大小不变，因此两个面积表达式相等，即：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
由此验证了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
【答案】
(1) 阴影部分面积为$\boldsymbol{a^2 - b^2}$；
(2) 长方形的长为$\boldsymbol{a+b}$，宽为$\boldsymbol{a-b}$，面积为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$；
(3) 能验证平方差公式，可得$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$。
【知识点】
正方形面积计算、长方形面积计算、平方差公式验证
【点评】
本题通过几何图形的割补变换，将代数公式和几何意义相结合，直观展示了平方差公式的推导过程，既考查了基础图形的面积计算，也帮助理解公式的本质来源。
【难度系数】
0.8