登录
8. (★)在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形,所标尺寸如图所示.设$AE=x$,则下列方程正确的是 【 】
A.$6+2x=14-3x$
B.$6+2x=x+14-3x$
C.$14-3x=6$
D.$6+2x=14-x$
A.$6+2x=14-3x$
B.$6+2x=x+14-3x$
C.$14-3x=6$
D.$6+2x=14-x$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确设$AE=x$后，小长方形的宽就是$x$，先从横向边长$BC=14$入手，表示出小长方形的长；再利用大长方形竖直方向对边相等的性质，分别用含$x$的式子表示左右两边的总长度，令二者相等即可列出对应方程。
【解析】
设$AE=x$，由图可知小长方形的宽为$x$。
1. 求小长方形的长：观察底边$BC=14$，它由1个小长方形的长和3个小长方形的宽拼接而成，因此小长方形的长为$14-3x$。
2. 找竖直方向的等量关系：长方形$ABCD$的左右对边长度相等，左边总长度为$6+2x$；右边总长度等于小长方形的长加1个小长方形的宽，即$(14-3x)+x$。
3. 列等式：由左右两边长度相等，可得$6+2x=x+14-3x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程，长方形对边相等，几何等量关系
【点评】
本题是结合平面图形的一元一次方程应用问题，解题核心是找准图形中隐藏的边长等量关系，用未知数表示出未知边长后利用几何性质列方程即可，需要注意仔细观察图形各边的拼接关系，避免找错等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先明确设$AE=x$后，小长方形的宽就是$x$，先从横向边长$BC=14$入手，表示出小长方形的长；再利用大长方形竖直方向对边相等的性质，分别用含$x$的式子表示左右两边的总长度，令二者相等即可列出对应方程。
【解析】
设$AE=x$，由图可知小长方形的宽为$x$。
1. 求小长方形的长：观察底边$BC=14$，它由1个小长方形的长和3个小长方形的宽拼接而成，因此小长方形的长为$14-3x$。
2. 找竖直方向的等量关系：长方形$ABCD$的左右对边长度相等，左边总长度为$6+2x$；右边总长度等于小长方形的长加1个小长方形的宽，即$(14-3x)+x$。
3. 列等式：由左右两边长度相等，可得$6+2x=x+14-3x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程，长方形对边相等，几何等量关系
【点评】
本题是结合平面图形的一元一次方程应用问题，解题核心是找准图形中隐藏的边长等量关系，用未知数表示出未知边长后利用几何性质列方程即可，需要注意仔细观察图形各边的拼接关系，避免找错等量关系。
【难度系数】
0.7
9. (★★)为了提高学生体育锻炼的意识，七年级(1)班进行了一次投掷实心球的测试，老师在操场上画出了A、B、C三个区域，每人投掷5次，实心球落在各个区域的分值各不相同，其中落在C区域得3分。甲、乙、丙三位同学投掷后其落点如图所示。已知甲同学的得分是19分。请解答下列问题：
(1)设投进B区域得x分，则投进A区域的得分是（用含x的式子表示）。
(2)若乙同学的得分是21分，求投进B区域的得分及丙同学的得分。
(1)设投进B区域得x分，则投进A区域的得分是（用含x的式子表示）。
(2)若乙同学的得分是21分，求投进B区域的得分及丙同学的得分。
答案
解：
(1) 由题意可知，甲同学1次落在A区域，2次落在B区域，2次落在C区域，C区域得3分，总得分19分，
因此投进A区域的得分是：$19 - 2x - 2×3 = 13-2x$。
(2) 乙同学2次落在A区域，2次落在B区域，1次落在C区域，根据总得分21分列方程：
$2(13-2x) + 2x + 3 = 21$
去括号，得$26 - 4x + 2x + 3 = 21$
移项，得$-4x + 2x = 21 - 26 - 3$
合并同类项，得$-2x = -8$
系数化为1，得$x=4$
则投进A区域的得分为$13-2×4=5$分。
丙同学2次落在A区域，1次落在B区域，2次落在C区域，
丙同学的得分为：$2×5 + 4 + 2×3 = 20$分。
答：投进B区域的得分是4分，丙同学的得分是20分。
(1) 由题意可知，甲同学1次落在A区域，2次落在B区域，2次落在C区域，C区域得3分，总得分19分，
因此投进A区域的得分是：$19 - 2x - 2×3 = 13-2x$。
(2) 乙同学2次落在A区域，2次落在B区域，1次落在C区域，根据总得分21分列方程：
$2(13-2x) + 2x + 3 = 21$
去括号，得$26 - 4x + 2x + 3 = 21$
移项，得$-4x + 2x = 21 - 26 - 3$
合并同类项，得$-2x = -8$
系数化为1，得$x=4$
则投进A区域的得分为$13-2×4=5$分。
丙同学2次落在A区域，1次落在B区域，2次落在C区域，
丙同学的得分为：$2×5 + 4 + 2×3 = 20$分。
答：投进B区域的得分是4分，丙同学的得分是20分。
解析
【分析】
(1) 首先梳理甲同学的投掷情况：1次落在A区，2次落在B区，2次落在C区，已知C区单次得3分，B区得分设为x分，总得分19分。要求A区单次得分，用总得分减去2次B区的得分、再减去2次C区的得分，即可得到用含x的代数式表示的A区得分。
(2) 先梳理乙同学的投掷情况：2次落在A区，2次落在B区，1次落在C区，总得分21分。将(1)中得到的A区得分的代数式代入乙的得分等量关系，即可列出一元一次方程，解方程求出x即B区得分，再求出A区的实际分值。最后梳理丙同学的投掷次数：2次A区、1次B区、2次C区，代入各区域分值计算即可得到丙的总得分。
【解析】
(1) 已知甲同学1次投中A区，2次投中B区，2次投中C区，C区单次得3分，B区单次得x分，总得分19分。
因此投进A区域的得分为：$19 - 2x - 2×3 = 13-2x$。
(2) 乙同学2次投中A区，2次投中B区，1次投中C区，总得分21分，据此列方程：
$2(13-2x) + 2x + 3 = 21$
去括号，得：$26 - 4x + 2x + 3 = 21$
移项，得：$-4x + 2x = 21 - 26 - 3$
合并同类项，得：$-2x = -8$
系数化为1，得：$x=4$，即投进B区域得4分。
此时A区域单次得分为$13-2×4=5$分。
丙同学2次投中A区，1次投中B区，2次投中C区，总得分：
$2×5 + 4 + 2×3 = 10 + 4 + 6 = 20$分。
【答案】
(1) $\boxed{13-2x}$
(2) 投进B区域的得分是4分，丙同学的得分是20分。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；代数式求值
【点评】
本题结合投掷实心球的实际场景，考查学生从图示中提取有效信息的能力，解题的关键是准确统计三位同学在各区域的投掷次数，再根据得分的等量关系列代数式、列方程求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先梳理甲同学的投掷情况：1次落在A区，2次落在B区，2次落在C区，已知C区单次得3分，B区得分设为x分，总得分19分。要求A区单次得分，用总得分减去2次B区的得分、再减去2次C区的得分，即可得到用含x的代数式表示的A区得分。
(2) 先梳理乙同学的投掷情况：2次落在A区，2次落在B区，1次落在C区，总得分21分。将(1)中得到的A区得分的代数式代入乙的得分等量关系，即可列出一元一次方程，解方程求出x即B区得分，再求出A区的实际分值。最后梳理丙同学的投掷次数：2次A区、1次B区、2次C区，代入各区域分值计算即可得到丙的总得分。
【解析】
(1) 已知甲同学1次投中A区，2次投中B区，2次投中C区，C区单次得3分，B区单次得x分，总得分19分。
因此投进A区域的得分为：$19 - 2x - 2×3 = 13-2x$。
(2) 乙同学2次投中A区，2次投中B区，1次投中C区，总得分21分，据此列方程：
$2(13-2x) + 2x + 3 = 21$
去括号，得：$26 - 4x + 2x + 3 = 21$
移项，得：$-4x + 2x = 21 - 26 - 3$
合并同类项，得：$-2x = -8$
系数化为1，得：$x=4$，即投进B区域得4分。
此时A区域单次得分为$13-2×4=5$分。
丙同学2次投中A区，1次投中B区，2次投中C区，总得分：
$2×5 + 4 + 2×3 = 10 + 4 + 6 = 20$分。
【答案】
(1) $\boxed{13-2x}$
(2) 投进B区域的得分是4分，丙同学的得分是20分。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；代数式求值
【点评】
本题结合投掷实心球的实际场景，考查学生从图示中提取有效信息的能力，解题的关键是准确统计三位同学在各区域的投掷次数，再根据得分的等量关系列代数式、列方程求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. (★★★)某足球比赛的得分规则:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支足球队在某个赛季共需比赛14场,现已比赛8场,输了1场,共得17分.
(1)前8场比赛中,这支球队胜了几场?
(2)这支球队打满14场,最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可达到目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期的目标?
(1)前8场比赛中,这支球队胜了几场?
(2)这支球队打满14场,最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可达到目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期的目标?
答案
解：
(1) 设前8场比赛中，这支球队胜了$x$场，则平了$(8-1-x)$场，即$(7-x)$场。
根据题意列方程：
$3x + 1×(7-x) = 17$
解得：$2x=10$，$x=5$。
答：前8场比赛中，这支球队胜了5场。
(2) 若要得到最高分，剩余6场比赛全部获胜，
总最高得分：$17 + 3×(14-8) = 17 + 18 = 35$。
答：这支球队打满14场，最高能得35分。
(3) 由题意可知，后续6场比赛这支球队至少需要得到$29-17=12$分。
设后面的6场比赛中，这支球队要胜$y$场，在剩余场次全部打平的情况下可使用最少胜场拿到足够分数，列方程得：
$3y + 1×(6-y) = 12$
解得：$2y=6$，$y=3$。
若胜2场，剩余4场全平最多得$3×2+4=10$分，总得分仅为$17+10=27＜29$，无法达标。
答：在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜3场，才能达到预期的目标。
(1) 设前8场比赛中，这支球队胜了$x$场，则平了$(8-1-x)$场，即$(7-x)$场。
根据题意列方程：
$3x + 1×(7-x) = 17$
解得：$2x=10$，$x=5$。
答：前8场比赛中，这支球队胜了5场。
(2) 若要得到最高分，剩余6场比赛全部获胜，
总最高得分：$17 + 3×(14-8) = 17 + 18 = 35$。
答：这支球队打满14场，最高能得35分。
(3) 由题意可知，后续6场比赛这支球队至少需要得到$29-17=12$分。
设后面的6场比赛中，这支球队要胜$y$场，在剩余场次全部打平的情况下可使用最少胜场拿到足够分数，列方程得：
$3y + 1×(6-y) = 12$
解得：$2y=6$，$y=3$。
若胜2场，剩余4场全平最多得$3×2+4=10$分，总得分仅为$17+10=27＜29$，无法达标。
答：在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜3场，才能达到预期的目标。
解析
【分析】
(1) 求解前8场的胜场数时，可设胜场数为未知数x，已知前8场输了1场，因此平的场数为总场数减输场数再减胜场数，即(7-x)场，再结合“胜场总得分+平场总得分=总得分17分”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 要得到打满14场的最高分，剩余未进行的6场比赛需全部获胜（胜场单场得分最高），用前8场已得分数加剩余场次全胜的得分就能算出最高总分。
(3) 先算出后续6场比赛至少需要拿到的分数：29-17=12分；要使胜场数最少，非胜的场次需全部打平（平局得分比负场高，可尽可能减少所需胜场），设胜y场，平(6-y)场，根据后续得分≥12分列方程求解后再验证结果合理性即可。
【解析】
(1) 设前8场比赛中，这支球队胜了$x$场，则平了$(8-1-x)=(7-x)$场。
根据题意列方程：
$3x + 1×(7-x) = 17$
化简得$2x+7=17$，解得$x=5$。
答：前8场比赛中，这支球队胜了5场。
(2) 若要得到最高分，剩余$14-8=6$场比赛全部获胜，
总最高得分：$17 + 3×6 = 17 + 18 = 35$（分）
答：这支球队打满14场，最高能得35分。
(3) 由题意可知，后续6场比赛至少需要得到$29-17=12$分。
要使用最少胜场拿到足够分数，非胜场次全部打平即可，设后面的6场比赛中胜$y$场，列方程得：
$3y + 1×(6-y) = 12$
化简得$2y+6=12$，解得$y=3$。
验证：若胜2场，剩余4场全平最多得$3×2+1×4=10$分，总得分仅为$17+10=27＜29$，无法达标，因此至少要胜3场。
答：在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜3场，才能达到预期的目标。
【答案】
(1) 胜了5场；
(2) 最高能得35分；
(3) 至少要胜3场。
【知识点】
一元一次方程应用，比赛积分计算，最值求解
【点评】
本题是典型的比赛积分类应用题，解题核心是准确对应不同比赛结果的得分规则，根据设问要求找到合适的等量关系，第三问需注意“最少胜场”的前提是非胜场次优先算平局，避免引入负场导致结果错误。
【难度系数】
0.65
(1) 求解前8场的胜场数时，可设胜场数为未知数x，已知前8场输了1场，因此平的场数为总场数减输场数再减胜场数，即(7-x)场，再结合“胜场总得分+平场总得分=总得分17分”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 要得到打满14场的最高分，剩余未进行的6场比赛需全部获胜（胜场单场得分最高），用前8场已得分数加剩余场次全胜的得分就能算出最高总分。
(3) 先算出后续6场比赛至少需要拿到的分数：29-17=12分；要使胜场数最少，非胜的场次需全部打平（平局得分比负场高，可尽可能减少所需胜场），设胜y场，平(6-y)场，根据后续得分≥12分列方程求解后再验证结果合理性即可。
【解析】
(1) 设前8场比赛中，这支球队胜了$x$场，则平了$(8-1-x)=(7-x)$场。
根据题意列方程：
$3x + 1×(7-x) = 17$
化简得$2x+7=17$，解得$x=5$。
答：前8场比赛中，这支球队胜了5场。
(2) 若要得到最高分，剩余$14-8=6$场比赛全部获胜，
总最高得分：$17 + 3×6 = 17 + 18 = 35$（分）
答：这支球队打满14场，最高能得35分。
(3) 由题意可知，后续6场比赛至少需要得到$29-17=12$分。
要使用最少胜场拿到足够分数，非胜场次全部打平即可，设后面的6场比赛中胜$y$场，列方程得：
$3y + 1×(6-y) = 12$
化简得$2y+6=12$，解得$y=3$。
验证：若胜2场，剩余4场全平最多得$3×2+1×4=10$分，总得分仅为$17+10=27＜29$，无法达标，因此至少要胜3场。
答：在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜3场，才能达到预期的目标。
【答案】
(1) 胜了5场；
(2) 最高能得35分；
(3) 至少要胜3场。
【知识点】
一元一次方程应用，比赛积分计算，最值求解
【点评】
本题是典型的比赛积分类应用题，解题核心是准确对应不同比赛结果的得分规则，根据设问要求找到合适的等量关系，第三问需注意“最少胜场”的前提是非胜场次优先算平局，避免引入负场导致结果错误。
【难度系数】
0.65
