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8. 若$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay}$的值是5，求$a$的值.
答案
$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay} = \frac{(x+y)(x-y)}{a^2(x-y)} · \frac{a(x+y)}{(x+y)^2}=\frac{1}{a}=5$，所以$a=\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
本题是分式化简求参数的问题，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；第二步，对每个分式的分子、分母因式分解：其中$x^2-y^2$用平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，含$a$的多项式用提取公因式法分解，$a^2x-a^2y$提取公因式$a^2$得$a^2(x-y)$，$ax+ay$提取公因式$a$得$a(x+y)$；第三步，代入分解后的式子约去公因式（题目给出分式的值为5，说明所有分母不为0，因此$x≠y$、$x+y≠0$，可正常约分），得到最简结果后结合值为5建立关于$a$的方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay}&=\frac{(x+y)(x-y)}{a^2(x-y)} · \frac{a(x+y)}{(x+y)^2}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
由题意得化简后的值为5，即$\frac{1}{a}=5$，
解得$a=\frac{1}{5}$（经检验，$a=\frac{1}{5}$时分式有意义，符合要求）。
【答案】
$a=\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础应用题型，解题核心是正确对分子分母因式分解，准确约分得到最简结果，运算过程中需注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求参数的问题，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；第二步，对每个分式的分子、分母因式分解：其中$x^2-y^2$用平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，含$a$的多项式用提取公因式法分解，$a^2x-a^2y$提取公因式$a^2$得$a^2(x-y)$，$ax+ay$提取公因式$a$得$a(x+y)$；第三步，代入分解后的式子约去公因式（题目给出分式的值为5，说明所有分母不为0，因此$x≠y$、$x+y≠0$，可正常约分），得到最简结果后结合值为5建立关于$a$的方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay}&=\frac{(x+y)(x-y)}{a^2(x-y)} · \frac{a(x+y)}{(x+y)^2}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
由题意得化简后的值为5，即$\frac{1}{a}=5$，
解得$a=\frac{1}{5}$（经检验，$a=\frac{1}{5}$时分式有意义，符合要求）。
【答案】
$a=\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础应用题型，解题核心是正确对分子分母因式分解，准确约分得到最简结果，运算过程中需注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
9. 由甲地到乙地的一条铁路全程为$s$ km，火车全程行驶时间为$a$ h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的$m$倍，汽车全程行驶时间为$b$ h. 那么火车的速度是汽车速度的多少倍？
答案
由题可知，火车的速度为$\frac{s}{a}$ km/h；汽车的速度为$\frac{ms}{b}$ km/h，$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} · \frac{b}{ms}=\frac{b}{am}$，所以火车的速度是汽车速度的$\frac{b}{am}$倍。
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系：速度=路程÷时间。第一步先根据已知条件分别求出火车和汽车的速度：火车的路程是$s$ km，时间是$a$ h，可直接算出火车速度；汽车的公路全程是铁路的$m$倍，先算出汽车行驶的路程，再结合行驶时间$b$ h算出汽车速度。第二步求火车速度是汽车速度的几倍，就是用火车速度除以汽车速度，再运用分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
【解析】
解：根据速度=路程÷时间可得：
火车的速度为$\frac{s}{a}$ km/h；
汽车行驶的路程为$m· s=ms$ km，因此汽车的速度为$\frac{ms}{b}$ km/h；
则火车速度是汽车速度的倍数为：
$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} · \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$
【答案】
$\frac{b}{am}$
【知识点】
行程问题基本公式、分式的除法运算、分式约分
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式运算的应用，解题的核心是先准确推导两个交通工具的速度，再根据倍数关系列出分式除法算式，计算时注意先将除法转化为乘法再约分，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系：速度=路程÷时间。第一步先根据已知条件分别求出火车和汽车的速度：火车的路程是$s$ km，时间是$a$ h，可直接算出火车速度；汽车的公路全程是铁路的$m$倍，先算出汽车行驶的路程，再结合行驶时间$b$ h算出汽车速度。第二步求火车速度是汽车速度的几倍，就是用火车速度除以汽车速度，再运用分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
【解析】
解：根据速度=路程÷时间可得：
火车的速度为$\frac{s}{a}$ km/h；
汽车行驶的路程为$m· s=ms$ km，因此汽车的速度为$\frac{ms}{b}$ km/h；
则火车速度是汽车速度的倍数为：
$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} · \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$
【答案】
$\frac{b}{am}$
【知识点】
行程问题基本公式、分式的除法运算、分式约分
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式运算的应用，解题的核心是先准确推导两个交通工具的速度，再根据倍数关系列出分式除法算式，计算时注意先将除法转化为乘法再约分，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
10. 通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜看成球,并把西瓜的密度看成是均匀的,西瓜的半径为$ r $,西瓜皮的厚度都是$ d $.已知球的体积公式为$ V=\frac{4}{3}π R^{3} $(其中$ R $为球的半径,已知$ \frac{b^{3}}{a^{3}}=(\frac{b}{a})^{3} $).
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
(3)若西瓜皮的厚度$ d $为定值,你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?请说明理由.
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
(3)若西瓜皮的厚度$ d $为定值,你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?请说明理由.
答案
(1)西瓜瓤的体积是$V_1=\frac{4}{3}π(r-d)^3$；
整个西瓜的体积是$V_2=\frac{4}{3}πr^3$。
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是
$\frac{\frac{4}{3}π(r-d)^3}{\frac{4}{3}πr^3}=(1-\frac{d}{r})^3$。(结果也可写为$\frac{(r-d)^3}{r^3}$)
(3)买大西瓜合算.理由如下：
根据(2)可知，西瓜的半径$r$越大，则$V_1$占$V_2$的比例就越大，故买大西瓜合算。
整个西瓜的体积是$V_2=\frac{4}{3}πr^3$。
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是
$\frac{\frac{4}{3}π(r-d)^3}{\frac{4}{3}πr^3}=(1-\frac{d}{r})^3$。(结果也可写为$\frac{(r-d)^3}{r^3}$)
(3)买大西瓜合算.理由如下：
根据(2)可知，西瓜的半径$r$越大，则$V_1$占$V_2$的比例就越大，故买大西瓜合算。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：(1) 先确定西瓜瓤和整个西瓜对应的球体半径，西瓜瓤的半径为西瓜总半径减去皮厚$r-d$，整个西瓜半径为$r$，分别代入球的体积公式即可求出两者体积；(2) 求两个体积的比值时，将体积表达式作比，约去相同的公因式后，利用题给的立方运算性质化简即可；(3) $d$为定值时，分析体积比随$r$的变化规律：$r$越大，$\frac{d}{r}$越小，$1-\frac{d}{r}$就越大，对应体积比越大，说明西瓜瓤占比越高，即可判断哪种西瓜更合算。
【解析】
(1) 西瓜瓤可看作半径为$r-d$的球体，代入球的体积公式可得：
西瓜瓤的体积$V_1=\frac{4}{3}π(r-d)^3$；
整个西瓜是半径为$r$的球体，代入公式得体积$V_2=\frac{4}{3}π r^3$。
(2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积比为两者体积作商：
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}π(r-d)^3}{\frac{4}{3}π r^3}$，约去分子分母相同的$\frac{4}{3}π$后，根据$\frac{b^3}{a^3}=(\frac{b}{a})^3$，化简得$\frac{(r-d)^3}{r^3}=(1-\frac{d}{r})^3$。
(3) 买大西瓜合算。理由如下：
由(2)可知体积比为$(1-\frac{d}{r})^3$，当$d$为定值时，西瓜半径$r$越大，$\frac{d}{r}$的值越小，$1-\frac{d}{r}$的值就越大，对应的$(1-\frac{d}{r})^3$也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的比例越高，因此买大西瓜更合算。
【答案】
(1)西瓜瓤的体积是$V_1=\frac{4}{3}π(r-d)^3$；整个西瓜的体积是$V_2=\frac{4}{3}πr^3$。
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是$(1-\frac{d}{r})^3$（或$\frac{(r-d)^3}{r^3}$）。
(3)买大西瓜合算，理由：西瓜的半径$r$越大，则西瓜瓤体积占整个西瓜体积的比例就越大，故买大西瓜合算。
【知识点】
列代数式，分式化简，分式实际应用
【点评】
本题结合生活常见的买西瓜场景命题，将球体体积计算、分式运算和实际问题分析相结合，既考查了基础的代数化简能力，也考查了用数学知识解决生活实际问题的能力，题目设置贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：(1) 先确定西瓜瓤和整个西瓜对应的球体半径，西瓜瓤的半径为西瓜总半径减去皮厚$r-d$，整个西瓜半径为$r$，分别代入球的体积公式即可求出两者体积；(2) 求两个体积的比值时，将体积表达式作比，约去相同的公因式后，利用题给的立方运算性质化简即可；(3) $d$为定值时，分析体积比随$r$的变化规律：$r$越大，$\frac{d}{r}$越小，$1-\frac{d}{r}$就越大，对应体积比越大，说明西瓜瓤占比越高，即可判断哪种西瓜更合算。
【解析】
(1) 西瓜瓤可看作半径为$r-d$的球体，代入球的体积公式可得：
西瓜瓤的体积$V_1=\frac{4}{3}π(r-d)^3$；
整个西瓜是半径为$r$的球体，代入公式得体积$V_2=\frac{4}{3}π r^3$。
(2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积比为两者体积作商：
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}π(r-d)^3}{\frac{4}{3}π r^3}$，约去分子分母相同的$\frac{4}{3}π$后，根据$\frac{b^3}{a^3}=(\frac{b}{a})^3$，化简得$\frac{(r-d)^3}{r^3}=(1-\frac{d}{r})^3$。
(3) 买大西瓜合算。理由如下：
由(2)可知体积比为$(1-\frac{d}{r})^3$，当$d$为定值时，西瓜半径$r$越大，$\frac{d}{r}$的值越小，$1-\frac{d}{r}$的值就越大，对应的$(1-\frac{d}{r})^3$也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的比例越高，因此买大西瓜更合算。
【答案】
(1)西瓜瓤的体积是$V_1=\frac{4}{3}π(r-d)^3$；整个西瓜的体积是$V_2=\frac{4}{3}πr^3$。
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是$(1-\frac{d}{r})^3$（或$\frac{(r-d)^3}{r^3}$）。
(3)买大西瓜合算，理由：西瓜的半径$r$越大，则西瓜瓤体积占整个西瓜体积的比例就越大，故买大西瓜合算。
【知识点】
列代数式，分式化简，分式实际应用
【点评】
本题结合生活常见的买西瓜场景命题，将球体体积计算、分式运算和实际问题分析相结合，既考查了基础的代数化简能力，也考查了用数学知识解决生活实际问题的能力，题目设置贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
