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【典型例题2】通分：
(1)$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$；(2)$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$。
思路导引 通分的关键是确定最简公分母.在确定几个分式的最简公分母时,要从系数、相同因式、不同因式三个方面考虑,不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
【解】(1)分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3×c^2}{4a^2b·c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$；
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1×2ab}{2ac^2·2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2)$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4x-8}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，分式$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)·2(x-2)}{2(x+1)·2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$；
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4x-8}$
$=-\frac{3×(x+1)}{4(x-2)·(x+1)}$
$=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
规律方法 通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
(3)用所得的商去乘原来各分式的分子、分母得到同分母的分式。
(1)$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$；(2)$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$。
思路导引 通分的关键是确定最简公分母.在确定几个分式的最简公分母时,要从系数、相同因式、不同因式三个方面考虑,不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
【解】(1)分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3×c^2}{4a^2b·c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$；
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1×2ab}{2ac^2·2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2)$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4x-8}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，分式$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)·2(x-2)}{2(x+1)·2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$；
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4x-8}$
$=-\frac{3×(x+1)}{4(x-2)·(x+1)}$
$=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
规律方法 通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
(3)用所得的商去乘原来各分式的分子、分母得到同分母的分式。
答案
解：
(1) 分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，
$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3· c^2}{4a^2b· c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1· 2ab}{2ac^2· 2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2) 先对各分式的分母因式分解：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，
$\frac{3}{8-4x}=\frac{3}{4(2-x)}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
两个分式的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)· 2(x-2)}{2(x+1)· 2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3· (x+1)}{4(x-2)· (x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
(1) 分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，
$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3· c^2}{4a^2b· c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1· 2ab}{2ac^2· 2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2) 先对各分式的分母因式分解：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，
$\frac{3}{8-4x}=\frac{3}{4(2-x)}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
两个分式的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)· 2(x-2)}{2(x+1)· 2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3· (x+1)}{4(x-2)· (x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定几个分式的最简公分母，解题思路如下：①第(1)问的分母是单项式，确定最简公分母时，系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，仅在一个分母中出现的字母连同它的指数一同作为公分母的因式；找到公分母后，将每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，即可化为同分母分式。②第(2)问的分母是多项式，首先要对每个分母因式分解，再按照单项式找公分母的规则确定最简公分母，注意互为相反数的因式可以统一符号后作为同一个因式处理，最后将各分式化为同分母分式即可。
【解析】
(1) 分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，
$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3· c^2}{4a^2b· c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1· 2ab}{2ac^2· 2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2) 先对各分式的分母因式分解：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，
$\frac{3}{8-4x}=\frac{3}{4(2-x)}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
两个分式的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)· 2(x-2)}{2(x+1)· 2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3· (x+1)}{4(x-2)· (x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
【答案】
(1) $\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，$\frac{2ab}{4a^2bc^2}$；
(2) $\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，$-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法，注意多项式分母需先因式分解，遇到互为相反数的因式要先统一符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定几个分式的最简公分母，解题思路如下：①第(1)问的分母是单项式，确定最简公分母时，系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，仅在一个分母中出现的字母连同它的指数一同作为公分母的因式；找到公分母后，将每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，即可化为同分母分式。②第(2)问的分母是多项式，首先要对每个分母因式分解，再按照单项式找公分母的规则确定最简公分母，注意互为相反数的因式可以统一符号后作为同一个因式处理，最后将各分式化为同分母分式即可。
【解析】
(1) 分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，
$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3· c^2}{4a^2b· c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1· 2ab}{2ac^2· 2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2) 先对各分式的分母因式分解：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，
$\frac{3}{8-4x}=\frac{3}{4(2-x)}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
两个分式的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)· 2(x-2)}{2(x+1)· 2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3· (x+1)}{4(x-2)· (x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
【答案】
(1) $\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，$\frac{2ab}{4a^2bc^2}$；
(2) $\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，$-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法，注意多项式分母需先因式分解，遇到互为相反数的因式要先统一符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
2. 分式$\frac{3a}{a^2 - b^2}$的分母经过通分后变成$2(a - b)^2(a + b)$，那么分子应变为（
A.$6a(a - b)^2(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$
C
）A.$6a(a - b)^2(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$
答案
2.C
解析
【分析】
解决这道题需依据分式通分的规则，思路如下：首先对原分式的分母进行因式分解，再对比通分前后的分母，确定原分母乘了哪个整式得到新分母，最后根据分式的基本性质，给原分子乘相同的整式，即可得到通分后的分子。
【解析】
第一步：因式分解原分式的分母，利用平方差公式得：
$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
第二步：对比通分后的分母$2(a - b)^2(a + b)$，可得出原分母需乘的整式为：
$\frac{2(a - b)^2(a + b)}{(a-b)(a+b)}=2(a-b)$
第三步：根据分式的基本性质，分子需和分母乘同一个不为0的整式，分式值不变，因此原分子$3a$乘$2(a-b)$得：
$3a × 2(a-b)=6a(a-b)$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式的通分，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础应用题，解题关键是明确通分的核心是分式基本性质的应用，先确定分母的变化，再对应计算分子的变化，解题时注意要先正确分解原分母，避免因因式分解错误导致后续计算失误。
【难度系数】
0.8
解决这道题需依据分式通分的规则，思路如下：首先对原分式的分母进行因式分解，再对比通分前后的分母，确定原分母乘了哪个整式得到新分母，最后根据分式的基本性质，给原分子乘相同的整式，即可得到通分后的分子。
【解析】
第一步：因式分解原分式的分母，利用平方差公式得：
$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
第二步：对比通分后的分母$2(a - b)^2(a + b)$，可得出原分母需乘的整式为：
$\frac{2(a - b)^2(a + b)}{(a-b)(a+b)}=2(a-b)$
第三步：根据分式的基本性质，分子需和分母乘同一个不为0的整式，分式值不变，因此原分子$3a$乘$2(a-b)$得：
$3a × 2(a-b)=6a(a-b)$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式的通分，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础应用题，解题关键是明确通分的核心是分式基本性质的应用，先确定分母的变化，再对应计算分子的变化，解题时注意要先正确分解原分母，避免因因式分解错误导致后续计算失误。
【难度系数】
0.8
1. 下列分式中，属于最简分式的是 （
A.$-\dfrac{9y}{12x}$
B.$\dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2}$
C.$\dfrac{2a-4b}{a^2-4b^2}$
D.$\dfrac{1-a}{4a^2-2a}$
D
）A.$-\dfrac{9y}{12x}$
B.$\dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2}$
C.$\dfrac{2a-4b}{a^2-4b^2}$
D.$\dfrac{1-a}{4a^2-2a}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个分式是否为最简分式，核心依据是最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式。解题时需要对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再检查是否存在公因式，若存在公因式则可约分，不属于最简分式；若不存在公因式，就是最简分式。
【解析】
首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，逐个分析选项：
A. $-\dfrac{9y}{12x}$：分子分母有公因数3，可约分为$-\dfrac{3y}{4x}$，不是最简分式；
B. $\dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2}$：分母用完全平方公式因式分解得$(a+b)^2$，分子分母有公因式$a+b$，可约分为$\dfrac{1}{a+b}$，不是最简分式；
C. $\dfrac{2a-4b}{a^2-4b^2}$：分子提公因式得$2(a-2b)$，分母用平方差公式因式分解得$(a+2b)(a-2b)$，分子分母有公因式$a-2b$，可约分为$\dfrac{2}{a+2b}$，不是最简分式；
D. $\dfrac{1-a}{4a^2-2a}$：分子为$1-a$，分母提公因式得$2a(2a-1)$，分子分母没有公因式，属于最简分式。
【答案】
D
【知识点】
最简分式的判定，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的相关知识，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法，准确分解分子分母的整式后判断是否存在公因式，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
要判断一个分式是否为最简分式，核心依据是最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式。解题时需要对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再检查是否存在公因式，若存在公因式则可约分，不属于最简分式；若不存在公因式，就是最简分式。
【解析】
首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，逐个分析选项：
A. $-\dfrac{9y}{12x}$：分子分母有公因数3，可约分为$-\dfrac{3y}{4x}$，不是最简分式；
B. $\dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2}$：分母用完全平方公式因式分解得$(a+b)^2$，分子分母有公因式$a+b$，可约分为$\dfrac{1}{a+b}$，不是最简分式；
C. $\dfrac{2a-4b}{a^2-4b^2}$：分子提公因式得$2(a-2b)$，分母用平方差公式因式分解得$(a+2b)(a-2b)$，分子分母有公因式$a-2b$，可约分为$\dfrac{2}{a+2b}$，不是最简分式；
D. $\dfrac{1-a}{4a^2-2a}$：分子为$1-a$，分母提公因式得$2a(2a-1)$，分子分母没有公因式，属于最简分式。
【答案】
D
【知识点】
最简分式的判定，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的相关知识，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法，准确分解分子分母的整式后判断是否存在公因式，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
2. 在通分$\frac{2xy}{x^2 - y^2}$与$\frac{x - y}{x + y}$时，最简公分母是（
A.$x^2 + y^2$
B.$x + y$
C.$(x^2 - y^2)(x + y)$
D.$(x - y)(x + y)$
D
）A.$x^2 + y^2$
B.$x + y$
C.$(x^2 - y^2)(x + y)$
D.$(x - y)(x + y)$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按三步思考：第一步先把每个分式的分母因式分解，第二步找出所有分母中出现的不同因式，第三步取每个因式的最高次幂，它们的乘积就是最简公分母。本题中第一个分母是平方差形式，可先用平方差公式分解，第二个分母已是最简形式，再按规则组合就能得到结果。
【解析】
解：先对两个分式的分母分别因式分解：
1. 第一个分式的分母：$x^2 - y^2$符合平方差公式特征，分解得$x^2 - y^2=(x-y)(x+y)$
2. 第二个分式的分母：$x+y$已是最简因式，无需再分解
最简公分母为各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，本题出现的因式为$x-y$（1次）、$x+y$（1次），因此最简公分母是$(x-y)(x+y)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式通分的基础题，核心考查最简公分母的确定方法，解题的关键是先把各个分母正确因式分解，再提取所有不同因式的最高次幂相乘，熟练掌握常见因式分解的方法是快速解题的基础。
【难度系数】
0.8
要确定两个分式的最简公分母，可按三步思考：第一步先把每个分式的分母因式分解，第二步找出所有分母中出现的不同因式，第三步取每个因式的最高次幂，它们的乘积就是最简公分母。本题中第一个分母是平方差形式，可先用平方差公式分解，第二个分母已是最简形式，再按规则组合就能得到结果。
【解析】
解：先对两个分式的分母分别因式分解：
1. 第一个分式的分母：$x^2 - y^2$符合平方差公式特征，分解得$x^2 - y^2=(x-y)(x+y)$
2. 第二个分式的分母：$x+y$已是最简因式，无需再分解
最简公分母为各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，本题出现的因式为$x-y$（1次）、$x+y$（1次），因此最简公分母是$(x-y)(x+y)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式通分的基础题，核心考查最简公分母的确定方法，解题的关键是先把各个分母正确因式分解，再提取所有不同因式的最高次幂相乘，熟练掌握常见因式分解的方法是快速解题的基础。
【难度系数】
0.8
3.化简:(1)$\frac{2a^2b^3}{-6a^3b^2}=$
(2)$\frac{2x+6}{x^2-9}=$
$-\frac{b}{3a}$
;(2)$\frac{2x+6}{x^2-9}=$
$\frac{2}{x-3}$
.答案
3.(1)$-\frac{b}{3a}$ (2)$\frac{2}{x-3}$
解析
【分析】
本题考查分式的约分，解题思路如下：(1)对于分子分母均为单项式的分式约分，先分别找出系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，确定公因式后，分子分母同时除以公因式即可化简；(2)对于分子分母是多项式的分式约分，先分别对分子、分母因式分解，再找出公因式并约去，注意要满足分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 先确定分子$2a^2b^3$和分母$-6a^3b^2$的公因式为$2a^2b^2$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{2a^2b^3}{-6a^3b^2}=\frac{2a^2b^2 · b}{2a^2b^2 · (-3a)}=-\frac{b}{3a}$
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$2x+6=2(x+3)$，分母$x^2-9$符合平方差公式，分解为$(x+3)(x-3)$，且$x+3≠0$（分母不为0），约去公因式$x+3$：
$\frac{2x+6}{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$
【答案】
(1)$-\frac{b}{3a}$；(2)$\frac{2}{x-3}$
【知识点】
1.分式的约分
2.因式分解
3.平方差公式
【点评】
本题是分式运算的基础题型，需要熟练掌握约分的规则：单项式约分直接提取公因式约分化简，多项式约分要先完成因式分解再找公因式约分，计算时要注意符号的处理以及分母不为0的隐含要求，熟练掌握本题方法可为后续分式的四则运算打好基础。
【难度系数】
0.85
本题考查分式的约分，解题思路如下：(1)对于分子分母均为单项式的分式约分，先分别找出系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，确定公因式后，分子分母同时除以公因式即可化简；(2)对于分子分母是多项式的分式约分，先分别对分子、分母因式分解，再找出公因式并约去，注意要满足分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 先确定分子$2a^2b^3$和分母$-6a^3b^2$的公因式为$2a^2b^2$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{2a^2b^3}{-6a^3b^2}=\frac{2a^2b^2 · b}{2a^2b^2 · (-3a)}=-\frac{b}{3a}$
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$2x+6=2(x+3)$，分母$x^2-9$符合平方差公式，分解为$(x+3)(x-3)$，且$x+3≠0$（分母不为0），约去公因式$x+3$：
$\frac{2x+6}{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$
【答案】
(1)$-\frac{b}{3a}$；(2)$\frac{2}{x-3}$
【知识点】
1.分式的约分
2.因式分解
3.平方差公式
【点评】
本题是分式运算的基础题型，需要熟练掌握约分的规则：单项式约分直接提取公因式约分化简，多项式约分要先完成因式分解再找公因式约分，计算时要注意符号的处理以及分母不为0的隐含要求，熟练掌握本题方法可为后续分式的四则运算打好基础。
【难度系数】
0.85
4. (2024·山东济宁中考)已知$a^2 - 2b + 1 = 0$，则$\frac{4b}{a^2 + 1}$的值是
2
。答案
4.2
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和待求分式的结构，我们可以通过对已知等式变形，得到待求分式中分母$a^2+1$和$b$的数量关系，再采用整体代入的方法，将变形后的式子代入待求分式，最后约分就能得到结果。
【解析】
已知$a^2 - 2b + 1 = 0$，对等式移项可得：
$a^2 + 1 = 2b$
由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2 + 1≥1＞0$，即$2b＞0$，所以$b≠0$。
将$a^2 + 1 = 2b$代入待求分式$\frac{4b}{a^2 + 1}$中，可得：
$\frac{4b}{a^2 + 1}=\frac{4b}{2b}=2$
【答案】
2
【知识点】
等式的变形；整体代入求值；分式的约分
【点评】
本题考查代数式求值，核心是运用整体代入的思想，从已知条件中找到待求式相关的等量关系，代入后通过约分即可快速求解，解题时注意要先判断分母不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式和待求分式的结构，我们可以通过对已知等式变形，得到待求分式中分母$a^2+1$和$b$的数量关系，再采用整体代入的方法，将变形后的式子代入待求分式，最后约分就能得到结果。
【解析】
已知$a^2 - 2b + 1 = 0$，对等式移项可得：
$a^2 + 1 = 2b$
由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2 + 1≥1＞0$，即$2b＞0$，所以$b≠0$。
将$a^2 + 1 = 2b$代入待求分式$\frac{4b}{a^2 + 1}$中，可得：
$\frac{4b}{a^2 + 1}=\frac{4b}{2b}=2$
【答案】
2
【知识点】
等式的变形；整体代入求值；分式的约分
【点评】
本题考查代数式求值，核心是运用整体代入的思想，从已知条件中找到待求式相关的等量关系，代入后通过约分即可快速求解，解题时注意要先判断分母不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
5. 约分：
(1) $\frac{24a^2b}{-4ab}$；(2) $\frac{2a^2 - ab}{2a^2b - ab^2}$
(1) $\frac{24a^2b}{-4ab}$；(2) $\frac{2a^2 - ab}{2a^2b - ab^2}$
答案
5.【解】(1)原式$=\frac{4ab · 6a}{-4ab}=-6a.$
(2)原式$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)}=\frac{1}{b}.$
(2)原式$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)}=\frac{1}{b}.$
解析
【分析】
约分的核心是先确定分子与分母的公因式，再将公因式约去得到最简分式。第(1)题分子分母都是单项式，先找系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，确定公因式为$4ab$，约去公因式时注意保留分母的负号；第(2)题分子分母都是多项式，需先分别对分子、分母用提公因式法因式分解，找到公因式$a(2a-b)$后约去即可，约分默认分式有意义，公因式不为0。
【解析】
(1) 将分子拆分为公因式与剩余因式的乘积：
原式$=\frac{4ab · 6a}{-4ab}$
约去公因式$4ab$，得结果为$-6a$。
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$2a^2 - ab = a(2a - b)$，分母$2a^2b - ab^2 = ab(2a - b)$
因此原式$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)}$
约去公因式$a(2a - b)$，得结果为$\frac{1}{b}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6a}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{b}}$
【知识点】
分式的约分，提公因式法因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题时要注意两类分式的处理差异：单项式约分直接提取公因式即可，多项式约分需先因式分解再找公因式，计算时需注意符号问题，避免漏看负号出错。
【难度系数】
0.8
约分的核心是先确定分子与分母的公因式，再将公因式约去得到最简分式。第(1)题分子分母都是单项式，先找系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，确定公因式为$4ab$，约去公因式时注意保留分母的负号；第(2)题分子分母都是多项式，需先分别对分子、分母用提公因式法因式分解，找到公因式$a(2a-b)$后约去即可，约分默认分式有意义，公因式不为0。
【解析】
(1) 将分子拆分为公因式与剩余因式的乘积：
原式$=\frac{4ab · 6a}{-4ab}$
约去公因式$4ab$，得结果为$-6a$。
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$2a^2 - ab = a(2a - b)$，分母$2a^2b - ab^2 = ab(2a - b)$
因此原式$=\frac{a(2a - b)}{ab(2a - b)}$
约去公因式$a(2a - b)$，得结果为$\frac{1}{b}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6a}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{b}}$
【知识点】
分式的约分，提公因式法因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题时要注意两类分式的处理差异：单项式约分直接提取公因式即可，多项式约分需先因式分解再找公因式，计算时需注意符号问题，避免漏看负号出错。
【难度系数】
0.8
