基础知识·预习
问题1 已知平面直角坐标系中一个点的坐标，你能写出与它关于原点对称的点的坐标吗？
问题2 在平面直角坐标系中任意画一个三角形，你能画出与它关于原点对称的图形吗？

解：
问题1：设平面直角坐标系内任意一点的坐标为$(x,y)$，则该点关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，即两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。因此已知一个点的坐标，将它的横、纵坐标分别取相反数，即可得到这个点关于原点对称的点的坐标。
问题2：可以画出，作图步骤如下：
1. 写出所画原三角形三个顶点的坐标；
2. 分别求出这三个顶点关于原点对称的对应点的坐标；
3. 在平面直角坐标系中描出这三个对称点；
4. 按顺序依次连接这三个对称点，得到的三角形就是原三角形关于原点对称的图形。

【分析】
问题1可通过特殊点的对称坐标推导一般规律：原点是对称中心，关于原点对称的两点到原点的距离相等、方向相反，因此横、纵坐标都互为相反数，即可得到任意点的对称点坐标。问题2中三角形的形状和位置由三个顶点唯一确定，因此画三角形关于原点的对称图形，可转化为找三个顶点的对称点，再依次连接对称点即可，本质是点的对称规律的应用。
【解析】
问题1解答
设平面直角坐标系内任意一点的坐标为$(x,y)$，根据原点对称的坐标变化规律，该点关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，即两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。因此已知一个点的坐标，将它的横、纵坐标分别取相反数，即可得到这个点关于原点对称的点的坐标。
问题2解答
可以画出，作图步骤如下：
1. 写出所画原三角形三个顶点的坐标；
2. 分别求出这三个顶点关于原点对称的对应点的坐标；
3. 在平面直角坐标系中描出这三个对称点；
4. 按顺序依次连接这三个对称点，得到的三角形就是原三角形关于原点对称的图形。
【答案】
问题1：设平面直角坐标系内任意一点的坐标为$(x,y)$，则该点关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，即两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。因此已知一个点的坐标，将它的横、纵坐标分别取相反数，即可得到这个点关于原点对称的点的坐标。
问题2：可以画出，作图步骤如下：
1. 写出所画原三角形三个顶点的坐标；
2. 分别求出这三个顶点关于原点对称的对应点的坐标；
3. 在平面直角坐标系中描出这三个对称点；
4. 按顺序依次连接这三个对称点，得到的三角形就是原三角形关于原点对称的图形。
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 中心对称图形作图
【点评】
本题是原点对称相关的基础题，重点考查对坐标对称规律的理解和应用，作图时遵循“找关键点→求对称点→顺次连接”的思路即可快速解题，是后续复杂中心对称作图的基础。
【难度系数】
0.9

【典型例题 1】若$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，则$(a+b)^{2026}$的值为 （）

A.1
B.$-1$
C.$-5^{2026}$
D.$5^{2026}$
【解析】∵$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，
∴$a=-3,b=2$.
∴$(a+b)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
【答案】A

A

【分析】
首先明确本题的核心考点是关于原点对称的点的坐标性质。解题思路分为两步：第一步，根据“关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数”这一规律，由已知两个对称点的坐标分别求出a、b的值；第二步，将求得的a、b的值代入代数式$(a+b)^{2026}$，结合乘方的运算规则（负数的偶次幂为正数）计算出最终结果，再匹配选项即可。
【解析】
∵ 关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，且点$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，
∴ $a=-3$，$b=-(-2)=2$，
将$a=-3$，$b=2$代入$(a+b)^{2026}$得：
$(a+b)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查原点对称的坐标性质的直接应用，只要熟练掌握对称点的坐标规律，计算时注意乘方指数的奇偶性，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

1.若点$P(3a-1,2a+1)$关于原点的对称点在第四象限,则$a$的取值范围是.

$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$

【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①先根据关于原点对称的点的坐标规律，写出点P关于原点的对称点坐标；②再结合第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负的符号特征，列出关于a的一元一次不等式组；③最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$P(3a-1,2a+1)$关于原点的对称点坐标为$(1-3a, -2a-1)$。
∵该对称点在第四象限，第四象限内的点满足横坐标＞0，纵坐标＜0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}1-3a ＞ 0 \\ -2a -1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$1-3a＞0$，移项得$3a＜1$，解得$a＜\frac{1}{3}$；
解不等式$-2a-1＜0$，移项得$-2a＜1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$a＞-\frac{1}{2}$。
∴不等式组的解集为$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$，即a的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握平面直角坐标系的相关性质，注意解不等式系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

【典型例题2】如图,在由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1)描出点$A(-1,0),B(0,1),C(-3,2)$.
(2)作出$△ ABC$及与$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$.
(3)若点$P(m,n)$是$△ ABC$内部一点,则$△ A_1B_1C_1$内部与点$P$对应的点$P_1$的坐标为.

【解】(1)如图,点$A,B,C$即为所求.
(2)如图,$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(3)$(-m,-n)$

规律方法 作与一个图形关于原点对称的图形的方法.

解：
(1) 在给定的平面直角坐标系中，按对应坐标描出点$A(-1,0)$，$B(0,1)$，$C(-3,2)$，三点即为所求。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标特征，求得点A、B、C关于原点对称的点分别为$A_1(1,0)$，$B_1(0,-1)$，$C_1(3,-2)$，顺次连接A、B、C得到$△ ABC$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$得到$△ A_1B_1C_1$，两个三角形即为所求。
(3) $(-m,-n)$

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：①第(1)问描点：根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，即可定位到对应点的位置；②第(2)问作对称图形：图形关于原点对称的本质是图形上所有顶点都关于原点对称，因此先根据原点对称的坐标特征求出三个顶点的对称点坐标，再分别顺次连接原三角形顶点和对称点顶点，即可得到两个三角形；③第(3)问求对应点坐标：直接套用关于原点对称的点的坐标规律，即可得到P点对应点的坐标。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系内点的坐标表示方法：点的横坐标为x轴对应数值，纵坐标为y轴对应数值，在坐标系中找到横坐标为-1、纵坐标为0的点A，横坐标为0、纵坐标为1的点B，横坐标为-3、纵坐标为2的点C，完成描点。
(2) 首先顺次连接A、B、C三点，得到△ABC；再根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，计算可得A(-1,0)的对称点$A_1(1,0)$，B(0,1)的对称点$B_1(0,-1)$，C(-3,2)的对称点$C_1(3,-2)$，描出$A_1、B_1、C_1$三点后顺次连接，即可得到△$A_1B_1C_1$。
(3) 已知点$P(m,n)$是△ABC内部一点，根据关于原点对称的点的坐标规律，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，因此对应点$P_1$的坐标为$(-m,-n)$。
【答案】
(1)(2)作图见解析；(3)$\boldsymbol{(-m,-n)}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系描点
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 中心对称图形作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考察关于原点对称的坐标变换规律，要求学生掌握“图形对称转化为顶点对称”的解题思路，熟悉坐标变换规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8