登录
基础知识·预习
问题1 举例说明因式分解与整式乘法之间的关系.
问题2 举例说明什么是提公因式法.
问题1 举例说明因式分解与整式乘法之间的关系.
问题2 举例说明什么是提公因式法.
答案
解：
问题1
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形：
整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式的运算，例如：$m(a+b)=ma+mb$；
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，例如：$ma+mb=m(a+b)$。
二者的变形方向完全相反，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，互为逆过程。
问题2
多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如分解多项式$4x^2 + 6x$，先确定两项的公因式是$2x$，再将公因式$2x$提取出来，可得：
$4x^2 + 6x = 2x · 2x + 2x · 3 = 2x(2x+3)$
这个分解因式的过程就是运用提公因式法完成的。
问题1
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形：
整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式的运算，例如：$m(a+b)=ma+mb$；
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，例如：$ma+mb=m(a+b)$。
二者的变形方向完全相反，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，互为逆过程。
问题2
多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如分解多项式$4x^2 + 6x$，先确定两项的公因式是$2x$，再将公因式$2x$提取出来，可得：
$4x^2 + 6x = 2x · 2x + 2x · 3 = 2x(2x+3)$
这个分解因式的过程就是运用提公因式法完成的。
解析
【分析】
这两道题均为因式分解的基础概念类题目。问题1需先分别明确整式乘法、因式分解的变形目标，对比二者的变形方向即可得出二者为互逆恒等变形的关系，再分别举出对应变形的实例验证即可；问题2需先明确公因式的定义，再梳理提公因式法的操作逻辑：先找到多项式各项的公因式，再将公因式提取出来，把多项式改写为公因式与另一个因式的乘积形式，最后结合实例演示完整操作过程即可。
【解析】
问题1解答
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形：
整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式的运算，例如：$m(a+b)=ma+mb$；
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，例如：$ma+mb=m(a+b)$。
二者的变形方向完全相反，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，互为逆过程。
问题2解答
多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如分解多项式$4x^2 + 6x$，先确定两项的公因式是$2x$，再将公因式$2x$提取出来，可得：
$4x^2 + 6x = 2x · 2x + 2x · 3 = 2x(2x+3)$
这个分解因式的过程就是运用提公因式法完成的。
【答案】
问题1
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形：
整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式的运算，例如：$m(a+b)=ma+mb$；
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，例如：$ma+mb=m(a+b)$。
二者的变形方向完全相反，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，互为逆过程。
问题2
多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如分解多项式$4x^2 + 6x$，先确定两项的公因式是$2x$，再将公因式$2x$提取出来，可得：
$4x^2 + 6x = 2x · 2x + 2x · 3 = 2x(2x+3)$
该过程就是运用提公因式法分解因式的过程。
【知识点】
因式分解与整式乘法的关系；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的入门基础题，重点考查对核心概念和基本方法的理解，熟练掌握二者的互逆关系和提公因式的操作步骤，是后续学习因式分解其他方法、解决相关综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
这两道题均为因式分解的基础概念类题目。问题1需先分别明确整式乘法、因式分解的变形目标，对比二者的变形方向即可得出二者为互逆恒等变形的关系，再分别举出对应变形的实例验证即可；问题2需先明确公因式的定义，再梳理提公因式法的操作逻辑：先找到多项式各项的公因式，再将公因式提取出来，把多项式改写为公因式与另一个因式的乘积形式，最后结合实例演示完整操作过程即可。
【解析】
问题1解答
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形：
整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式的运算，例如：$m(a+b)=ma+mb$；
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，例如：$ma+mb=m(a+b)$。
二者的变形方向完全相反，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，互为逆过程。
问题2解答
多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如分解多项式$4x^2 + 6x$，先确定两项的公因式是$2x$，再将公因式$2x$提取出来，可得：
$4x^2 + 6x = 2x · 2x + 2x · 3 = 2x(2x+3)$
这个分解因式的过程就是运用提公因式法完成的。
【答案】
问题1
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形：
整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式的运算，例如：$m(a+b)=ma+mb$；
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，例如：$ma+mb=m(a+b)$。
二者的变形方向完全相反，整式乘法是“积化多项式”，因式分解是“多项式化积”，互为逆过程。
问题2
多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，把多项式的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如分解多项式$4x^2 + 6x$，先确定两项的公因式是$2x$，再将公因式$2x$提取出来，可得：
$4x^2 + 6x = 2x · 2x + 2x · 3 = 2x(2x+3)$
该过程就是运用提公因式法分解因式的过程。
【知识点】
因式分解与整式乘法的关系；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的入门基础题，重点考查对核心概念和基本方法的理解，熟练掌握二者的互逆关系和提公因式的操作步骤，是后续学习因式分解其他方法、解决相关综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】下列变形:①$8xy^3=4xy·2y^2$;②$x^2+1=x(x+\frac{1}{x})$;③$(x+1)(x-1)=x^2-1$;④$x^2+2x-1=x(x+2)-1$;⑤$x^2+xy^2=x(x+y^2)$;⑥$x^2+4x+4=(x+2)^2$,属于因式分解的有 ()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】①等号左边不是多项式;②等号右边不是整式;③是整式乘法;④等号右边不是整式的积;⑤与⑥符合因式分解的概念,属于因式分解.
念,属于因式分解.
【答案】C
【规律方法】识别因式分解的关键是掌握因式分解的概念,厘清整式乘法与因式分解是方向相反的变形,可以从以下几个角度帮助我们理解因式分解的全貌.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】①等号左边不是多项式;②等号右边不是整式;③是整式乘法;④等号右边不是整式的积;⑤与⑥符合因式分解的概念,属于因式分解.
念,属于因式分解.
【答案】C
【规律方法】识别因式分解的关键是掌握因式分解的概念,厘清整式乘法与因式分解是方向相反的变形,可以从以下几个角度帮助我们理解因式分解的全貌.
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是紧扣因式分解的定义判断，首先明确因式分解的四个判断标准：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积；③每个因式都不能再分解；④变形是恒等变形，且和整式乘法（积化多项式）是互逆过程。接下来我们逐个分析6个变形，依次对照标准排查即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个变形是否符合因式分解的要求：
1. 变形①：等号左边$8xy^3$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，不属于因式分解；
2. 变形②：等号右边的$\frac{1}{x}$是分式不是整式，不符合结果为整式乘积的要求，不属于因式分解；
3. 变形③：等号左边是两个整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
4. 变形④：等号右边是$x(x+2)-1$，是乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
5. 变形⑤：等号左边是多项式，右边是两个整式$x$和$x+y^2$的乘积，且两个因式均不能再分解，变形是恒等变形，符合因式分解的要求，属于因式分解；
6. 变形⑥：等号左边是多项式，右边是整式$(x+2)$的平方，因式不能再分解，变形是恒等变形，符合因式分解的要求，属于因式分解。
综上，属于因式分解的是⑤⑥，共2个。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的概念，整式的判定，整式乘法
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的关键是牢记因式分解的判断要点，注意区分因式分解和整式乘法、其他整式变形的差异，掌握概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题的核心是紧扣因式分解的定义判断，首先明确因式分解的四个判断标准：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的乘积；③每个因式都不能再分解；④变形是恒等变形，且和整式乘法（积化多项式）是互逆过程。接下来我们逐个分析6个变形，依次对照标准排查即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个变形是否符合因式分解的要求：
1. 变形①：等号左边$8xy^3$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，不属于因式分解；
2. 变形②：等号右边的$\frac{1}{x}$是分式不是整式，不符合结果为整式乘积的要求，不属于因式分解；
3. 变形③：等号左边是两个整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
4. 变形④：等号右边是$x(x+2)-1$，是乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
5. 变形⑤：等号左边是多项式，右边是两个整式$x$和$x+y^2$的乘积，且两个因式均不能再分解，变形是恒等变形，符合因式分解的要求，属于因式分解；
6. 变形⑥：等号左边是多项式，右边是整式$(x+2)$的平方，因式不能再分解，变形是恒等变形，符合因式分解的要求，属于因式分解。
综上，属于因式分解的是⑤⑥，共2个。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的概念，整式的判定，整式乘法
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的关键是牢记因式分解的判断要点，注意区分因式分解和整式乘法、其他整式变形的差异，掌握概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
