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1. 若一个直角三角形的一条直角边长为 12 cm，斜边长为 20 cm，则这个直角三角形的另一条直角边长为
16
cm。答案
1. 16
解析
【分析】
已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一条直角边，可直接利用勾股定理求解。首先回忆勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，将公式变形为“未知直角边的平方=斜边平方-已知直角边的平方”，计算后开算术平方根（边长为正，舍去负根）即可得到结果。
【解析】
设这个直角三角形的另一条直角边长为$x$cm。
根据勾股定理可得：
$x^2 + 12^2 = 20^2$
移项计算得：
$x^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{256} = 16$。
【答案】
16
【知识点】
勾股定理；算术平方根的计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，核心考查勾股定理的公式及变形运用，只要熟记定理内容，就能快速完成计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一条直角边，可直接利用勾股定理求解。首先回忆勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，将公式变形为“未知直角边的平方=斜边平方-已知直角边的平方”，计算后开算术平方根（边长为正，舍去负根）即可得到结果。
【解析】
设这个直角三角形的另一条直角边长为$x$cm。
根据勾股定理可得：
$x^2 + 12^2 = 20^2$
移项计算得：
$x^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{256} = 16$。
【答案】
16
【知识点】
勾股定理；算术平方根的计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，核心考查勾股定理的公式及变形运用，只要熟记定理内容，就能快速完成计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图1-1-1，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以$△ ABC$的三条边为边向外作三个正方形，$S_1$，$S_2$，$S_3$分别表示这三个正方形的面积，若$S_2=289$，$S_3=225$，则$BC$的长为（
A.16
B.15
C.8
D.64
图1-1-1 图1-1-2
C
）。A.16
B.15
C.8
D.64
图1-1-1 图1-1-2
答案
2. C
解析
【分析】
首先观察题目特征，以直角三角形三边向外作正方形时，正方形的面积等于对应边长的平方，因此三个正方形的面积刚好对应直角三角形三条边的平方。直角三角形满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们可以先通过已知的两个正方形面积求出BC边对应正方形的面积，再开平方即可得到BC的长度。
【解析】
1. 根据正方形面积公式，正方形面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积与△ABC三边的关系为：$S_1=BC^2$，$S_3=AC^2$，$S_2=AB^2$。
2. 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，代入面积对应关系得：$S_3 + S_1 = S_2$。
3. 将已知$S_2=289$，$S_3=225$代入上式，得$S_1 = S_2 - S_3 = 289 - 225 = 64$，即$BC^2=64$。
4. 由于BC是三角形的边长，长度为正数，因此$BC=\sqrt{64}=8$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，将正方形面积与直角三角形三边关系结合，重点考查对勾股定理的理解和基础运算能力，解题的关键是建立正方形面积和三角形边长平方的对应关系。
【难度系数】
0.8
首先观察题目特征，以直角三角形三边向外作正方形时，正方形的面积等于对应边长的平方，因此三个正方形的面积刚好对应直角三角形三条边的平方。直角三角形满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们可以先通过已知的两个正方形面积求出BC边对应正方形的面积，再开平方即可得到BC的长度。
【解析】
1. 根据正方形面积公式，正方形面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积与△ABC三边的关系为：$S_1=BC^2$，$S_3=AC^2$，$S_2=AB^2$。
2. 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，代入面积对应关系得：$S_3 + S_1 = S_2$。
3. 将已知$S_2=289$，$S_3=225$代入上式，得$S_1 = S_2 - S_3 = 289 - 225 = 64$，即$BC^2=64$。
4. 由于BC是三角形的边长，长度为正数，因此$BC=\sqrt{64}=8$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，将正方形面积与直角三角形三边关系结合，重点考查对勾股定理的理解和基础运算能力，解题的关键是建立正方形面积和三角形边长平方的对应关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图1-1-2，在水塔O的东北方向32 m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为
40
m。答案
3. 40
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义分析：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此OA与OB的夹角为90°，即△AOB是直角三角形，已知两条直角边OA、OB的长度，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵点A在水塔O的东北方向，点B在水塔O的东南方向，
∴∠AOB = 45° + 45° = 90°，即△AOB是直角三角形，∠O为直角。
已知OA=32m，OB=24m，根据勾股定理，在Rt△AOB中：
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
代入数值得：
$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
∵AB为线段长度，取正值，
∴$AB = \sqrt{1600} = 40\ \mathrm{m}$
【答案】
40
【知识点】
方向角的识别，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题关键是根据方向角的特征判断出三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算即可，侧重对基础知识的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合方向角的定义分析：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此OA与OB的夹角为90°，即△AOB是直角三角形，已知两条直角边OA、OB的长度，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵点A在水塔O的东北方向，点B在水塔O的东南方向，
∴∠AOB = 45° + 45° = 90°，即△AOB是直角三角形，∠O为直角。
已知OA=32m，OB=24m，根据勾股定理，在Rt△AOB中：
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
代入数值得：
$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
∵AB为线段长度，取正值，
∴$AB = \sqrt{1600} = 40\ \mathrm{m}$
【答案】
40
【知识点】
方向角的识别，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题关键是根据方向角的特征判断出三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算即可，侧重对基础知识的应用考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图 1-1-3，在$△ ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD ⊥ BC$，垂足为 $D$，则 $AD$ 的长为
4
。 答案
4. 4
解析
【分析】
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得出D是BC的中点，从而求出直角边BD的长度；再观察到△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，直接利用勾股定理即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形
又
∵AD⊥BC，BC=6
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
∴$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是先利用等腰三角形三线合一得到直角边的长度，再结合勾股定理计算未知线段，熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得出D是BC的中点，从而求出直角边BD的长度；再观察到△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，直接利用勾股定理即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形
又
∵AD⊥BC，BC=6
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
∴$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是先利用等腰三角形三线合一得到直角边的长度，再结合勾股定理计算未知线段，熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图1-1-4，在方格纸中，线段AB和AC的端点在格点上，则AB
＞
AC。（填“＞”“＜”或“=”）答案
5. ＞
解析
【分析】
要比较线段AB和AC的大小，可先计算两条线段的长度再比较。由于两条线段的端点都在格点上，我们可以将每条线段看作直角三角形的斜边，以线段横向、纵向所占的格长为直角边，借助勾股定理计算长度；为了简化运算，也可以直接比较两条线段长度的平方，正数的平方越大，对应的原数也越大，无需开方即可得到结果。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据勾股定理：
线段AB作为直角三角形斜边，两条直角边的长度分别为3和1，因此
$AB^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$；
线段AC作为直角三角形斜边，两条直角边的长度分别为2和2，因此
$AC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$。
因为$10＞8$，且AB、AC均为正数，所以$AB＞AC$。
【答案】
＞
【知识点】
勾股定理；实数大小比较
【点评】
本题考查勾股定理在格点问题中的应用，通过比较线段长度的平方来判断线段大小，是格点线段长度计算的常用技巧，解题的关键是正确构造直角三角形找到对应直角边的长度。
【难度系数】
0.9
要比较线段AB和AC的大小，可先计算两条线段的长度再比较。由于两条线段的端点都在格点上，我们可以将每条线段看作直角三角形的斜边，以线段横向、纵向所占的格长为直角边，借助勾股定理计算长度；为了简化运算，也可以直接比较两条线段长度的平方，正数的平方越大，对应的原数也越大，无需开方即可得到结果。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据勾股定理：
线段AB作为直角三角形斜边，两条直角边的长度分别为3和1，因此
$AB^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$；
线段AC作为直角三角形斜边，两条直角边的长度分别为2和2，因此
$AC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$。
因为$10＞8$，且AB、AC均为正数，所以$AB＞AC$。
【答案】
＞
【知识点】
勾股定理；实数大小比较
【点评】
本题考查勾股定理在格点问题中的应用，通过比较线段长度的平方来判断线段大小，是格点线段长度计算的常用技巧，解题的关键是正确构造直角三角形找到对应直角边的长度。
【难度系数】
0.9
6. 如图1-1-5，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，$AC=20$，$BC=15$，$CD=12$，求$AB$的长。
答案
6. 解:因为 CD⊥AB，所以∠CDB=∠CDA=90°。在Rt△BCD 中，因为 BC=15,CD=12，所以 BD²=BC²−CD²=15²−12²=81。因为 BD＞0,所以 BD=9。在Rt△ACD 中,因为 AC=20,CD=12，所以 AD²=AC²−CD²=20²−12²=256。因为 AD＞0,所以 AD=16。则 AB=AD+BD=16+9=25。
解析
【分析】
首先观察图形，CD是AB边上的高，因此将△ABC拆分为Rt△ACD和Rt△BCD两个直角三角形。要求AB的长，由于AB=AD+BD，我们只需要分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AD、BD的长度，再将两段长度相加即可得到AB的长度。解题时先由垂直确定直角三角形，再分别用勾股定理求未知边，最后求和即可。
【解析】
因为CD⊥AB，所以∠CDB=∠CDA=90°。
在Rt△BCD中，已知BC=15，CD=12，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2=15^2-12^2=81$，
因为线段长度为正数，所以$BD=9$。
在Rt△ACD中，已知AC=20，CD=12，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=256$，
因为线段长度为正数，所以$AD=16$。
因此$AB=AD+BD=16+9=25$。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；垂直的定义；线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题目，解题关键是借助三角形的高将原三角形拆分为两个直角三角形，分别计算未知边长后合并得到结果，解题时要注意三角形边长均为正数，开平方时仅取正根即可。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，CD是AB边上的高，因此将△ABC拆分为Rt△ACD和Rt△BCD两个直角三角形。要求AB的长，由于AB=AD+BD，我们只需要分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AD、BD的长度，再将两段长度相加即可得到AB的长度。解题时先由垂直确定直角三角形，再分别用勾股定理求未知边，最后求和即可。
【解析】
因为CD⊥AB，所以∠CDB=∠CDA=90°。
在Rt△BCD中，已知BC=15，CD=12，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2=15^2-12^2=81$，
因为线段长度为正数，所以$BD=9$。
在Rt△ACD中，已知AC=20，CD=12，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=256$，
因为线段长度为正数，所以$AD=16$。
因此$AB=AD+BD=16+9=25$。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；垂直的定义；线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题目，解题关键是借助三角形的高将原三角形拆分为两个直角三角形，分别计算未知边长后合并得到结果，解题时要注意三角形边长均为正数，开平方时仅取正根即可。
【难度系数】
0.8
7. 图1-1-6是一段楼梯的示意图，截面可看成一个直角三角形ABC。已知直角边BC长5 m，斜边AB长13 m。现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2 m。那么购买这种地毯至少需要多少元？
图1-1-6
图1-1-6
答案
7. 解:在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=5 m,AB=13 m，在Rt△ABC 中,由勾股定理得,AC²=AB²−BC²=13²−5²=144，所以 AC=12 m。在楼梯上铺地毯需要的长度为 AC+BC=12+5=17(m)，因为楼梯宽为 2 m，所以需要铺地毯的面积为 17×2=34(m²)。因为每平方米的地毯售价是 150 元，所以购买这种地毯至少需要 34×150=5 100(元)。
解析
【分析】
要计算购买地毯的总费用，需先求出地毯的总面积，而总面积=地毯总长度×楼梯宽度。首先思考地毯长度的计算方法：将楼梯所有台阶的水平边平移后，总长度等于直角边AC的长度；将所有台阶的竖直边平移后，总长度等于直角边BC的长度，因此地毯总长度为AC与BC的和。已知直角三角形ABC的斜边AB和直角边BC，可通过勾股定理求出AC的长度，再依次计算地毯总长度、地毯面积，最后乘单价即可得到总费用。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5 m，AB=13 m，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2-BC^2=13^2-5^2=169-25=144$，
因此$AC=12\ \mathrm{m}$（长度为正数，舍去负根）。
结合平移的性质，地毯总长度$=AC+BC=12+5=17\ \mathrm{m}$。
已知楼梯宽为2 m，所以地毯面积$=17×2=34\ \mathrm{m}^2$。
每平方米地毯售价150元，总费用$=34×150=5100$元。
【答案】
5100元
【知识点】
勾股定理，平移的应用，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题关键是利用平移思想将地毯总长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，将实际问题转化为几何问题求解，很好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
要计算购买地毯的总费用，需先求出地毯的总面积，而总面积=地毯总长度×楼梯宽度。首先思考地毯长度的计算方法：将楼梯所有台阶的水平边平移后，总长度等于直角边AC的长度；将所有台阶的竖直边平移后，总长度等于直角边BC的长度，因此地毯总长度为AC与BC的和。已知直角三角形ABC的斜边AB和直角边BC，可通过勾股定理求出AC的长度，再依次计算地毯总长度、地毯面积，最后乘单价即可得到总费用。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5 m，AB=13 m，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2-BC^2=13^2-5^2=169-25=144$，
因此$AC=12\ \mathrm{m}$（长度为正数，舍去负根）。
结合平移的性质，地毯总长度$=AC+BC=12+5=17\ \mathrm{m}$。
已知楼梯宽为2 m，所以地毯面积$=17×2=34\ \mathrm{m}^2$。
每平方米地毯售价150元，总费用$=34×150=5100$元。
【答案】
5100元
【知识点】
勾股定理，平移的应用，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题关键是利用平移思想将地毯总长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，将实际问题转化为几何问题求解，很好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
