1. [2026 西安三中期末] 如图,已知$△ BCE$,D为CE上一点,A为$△ BCE$外一点,连接BD,AD,且AD交BC于点F,且$∠ ABC = ∠ C$,$∠ A = ∠ E$。
(1)求证:$AD // BE$。
(2)若$∠ 1 = ∠ 2 = 69°$,$∠ DBE = 2∠ CBD$,求$∠ A$的度数。

(1)证明:$\because ∠ABC = ∠C,\therefore AB// CE$,
$\therefore ∠A = ∠ADC$,
又$\because ∠A = ∠E,\therefore ∠ADC = ∠E$,
$\therefore AD// BE$。
(2)解:$\because AD// BE,\therefore ∠CBE = ∠2 = 69°$。
$\because ∠DBE = 2∠CBD,\therefore ∠CBE = ∠DBE + ∠CBD = 3∠CBD = 69°$,
$\therefore ∠CBD = 23°,\therefore ∠DBE = 46°$。
$\because AD// BE,\therefore ∠ADB = ∠DBE = 46°$。
$\because AB// CE,\therefore ∠A + ∠ADE = 180°$,
$\therefore ∠A = 180° - ∠ADE = 180° - (∠1 + ∠ADB) = 65°$。

2. [2026 西安莲湖区期末] 如图, 在$△ ABC$中, 点 D,F 在边 BC 上, 点 E 在边 AB 上, 点 G 在边 AC 上, EF 与 GD 的延长线交于点 H, 且$∠1 = ∠ B$, $∠2 + ∠3 = 180°$。
(1) 求证: $EH // AD$。
(2) 若$∠ H = 34°$且$∠ DGC = 2∠4 + 10°$, 求$∠4$的度数。

(1)证明:$\because ∠1 = ∠B,\therefore AB// GH$,
$\therefore ∠BAD = ∠2$,
又$\because ∠2 + ∠3 = 180°,\therefore ∠BAD + ∠3 = 180°$,
$\therefore EH// AD$。
(2)解:由(1)知$EH// AD,\therefore ∠H = ∠2$。
$\because AB// GH,\therefore ∠BAC = ∠DGC,∠2 = ∠BAD$,
$\therefore ∠BAD = ∠H$,
$\therefore ∠DGC = ∠BAC = ∠BAD + ∠4 = ∠H + ∠4 = 2∠4 + 10°$,
$\therefore ∠4 = ∠H - 10°$,
又$\because ∠H = 34°,\therefore ∠4 = 24°$。

3. [2026 泉州期末]已知,直线 EF 分别与直线 AB, CD 相交于点 G,H,∠AGE + ∠DHE = 180°。
(1)如图1,求证:AB//CD。
(2)如图1,射线 HP 与直线 AB 相交于点 P,∠PHD =50°,点 M 为射线 HP 上的动点,连接 MG,当∠BGM =30°时,求∠GMH 的度数。
(3)如图2,点 O 在直线 AB,CD 之间,且在直线 EF 的右侧,连接 OG,OH, GK 平分∠BGO,QH 平分∠CHO,过点 H 作 HN // GK,N,Q 在直线 EF 的同侧,试用等式表示∠GOH 与∠QHN 之间的数量关系,并说明理由。

(1)证明:$\because ∠AGE + ∠DHE = 180°,∠AGE = ∠BGH$,
$\therefore ∠BGH + ∠DHE = 180°,\therefore AB// CD$。
(2)解:如,分两种情况,
当$∠BGM_1 = 30°$时,
$\because AB// CD,∠PHD = 50°$,
$\therefore ∠GPH = ∠PHD = 50°$,
$\therefore ∠GM_1P = 180° - ∠PGM_1 - ∠GPM_1 = 180° - 30° - 50° = 100°$,
$\therefore ∠GM_1H = 180° - ∠GM_1P = 180° - 100° = 80°$。
当$∠BGM_2 = 30°$时,
则$∠GPM_2 = 180° - ∠GPH = 180° - 50° = 130°$,
$\therefore ∠GM_2H = 180° - ∠BGM_2 - ∠GPM_2 = 20°$。
综上,$∠GMH$的度数是$80°$或$20°$。
(3)解:$∠GOH = 180° - 2∠QHN$。理由如下:
如,延长GK交直线CD于点J,过点O作$OL// AB$,
$\therefore OL// AB// CD$,
$\therefore ∠GOL = ∠BGO,∠HOL = ∠OHD$,
$\therefore ∠GOH = ∠GOL + ∠HOL = ∠BGO + ∠OHD$。
$\because AB// CD,NH// GK$,
$\therefore ∠BGK = ∠GJH = ∠CHN$。
$\because GK$平分$∠BGO,QH$平分$∠CHO$,
$\therefore ∠BGO = 2∠BGK = 2∠CHN,∠CHO = 2∠CHQ$,
$\therefore ∠GOH = ∠BGO + ∠OHD = 2∠BGK + (180° - ∠CHO) = 2∠BGK + 180° - 2∠CHQ = 2∠BGK + 180° - 2(∠CHN + ∠QHN) = 2∠BGK + 180° - 2∠CHN - 2∠QHN = 180° - 2∠QHN$,
即$∠GOH = 180° - 2∠QHN$。