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如图1，直线AB，CD被射线EF所截，EF分别与AB，CD交于点E，O。

【基础设问】
(1)若$∠ DOF = 3∠ COF$，则$∠ DOE$的度数是。
(2)要使$AB // CD$，只需添加一个条件，这个条件可以是。（不添加其他字母与辅助线）
(3)如图2，已知$AO ⊥ BO$，且$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，OB平分$∠ DOE$，$∠ 2: ∠ 3 = 2:5$。
①请说明$AB // CD$的理由；
②$∠ BEO$的度数为。

(1) $45°$
因为$∠ DOF + ∠ COF = 180°, ∠ DOF = 3∠ COF$,所以$3∠ COF + ∠ COF = 180°$,所以$∠ COF = 45°$,所以$∠ DOE = ∠ COF = 45°$。
(2) $∠ AEO = ∠ EOD$(答案不唯一)
(3) ①因为$AO ⊥ BO$,所以$∠ AOB = 90°$,
所以$∠ AOC + ∠ 2 = 90°$。
因为$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$,所以$∠ AOC = ∠ 1$,
所以$AB// CD$。
②$100°$
因为$OB$平分$∠ DOE$,所以$∠ EOB = ∠ 2$。因为$∠ 2: ∠ 3 = 2:5$,所以设$∠ 2 = ∠ EOB = 2x, ∠ 3 = 5x$。
因为$∠ EOB + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$,所以$2x + 2x + 5x = 180°$,解得$x = 20°$,所以$∠ EOB = 40°$,所以$∠ EOD = 80°$。因为$AB// CD$,所以$∠ BEO + ∠ EOD = 180°$,所以$∠ BEO = 180° - 80° = 100°$。

【能力设问】
(4)如图3,已知$AB// CD$,H为直线AB,CD之间的一点,且在EF右侧,点G为直线CD上一点。
①若$∠HGC = ∠BEF$。请说明$EF// HG$的理由。
②探究$∠EHG,∠BEH$与$∠HGD$之间的数量关系。

√答案 P71
③如图4,若EI和EH为$∠BEF$内满足$∠4 = ∠5$的两条线,分别与$∠EOD$的平分线交于点I和点H,猜想$∠EIO$和$∠EHI$的关系,并说明理由。

(4) ①因为$AB// CD$,所以$∠ BEF + ∠ EOD = 180°$。
因为$∠ HGC = ∠ BEF$,所以$∠ HGC + ∠ EOD = 180°$,
所以$EF// HG$。
②如图1,过点$H$作$HM// AB$,所以$∠ EHM = ∠ BEH$。
因为$AB// CD$,所以$HM// CD$,所以$∠ MHG = ∠ HGD$。
因为$∠ EHG = ∠ EHM + ∠ MHG$,
所以$∠ EHG = ∠ BEH + ∠ HGD$。

③猜想:$∠ EIO + ∠ EHI = 180°$。理由如下:
如图2,过点$I$作$IK// AB$,
因为$AB// CD$,所以$IK// CD$,所以$∠ 6 = ∠ IOD$。
同理(4)②可得$∠ EHI = ∠ 5 + ∠ 6$。
因为$∠ 4 = ∠ 5$,所以$∠ EHI = ∠ 4 + ∠ IOD$。
因为$OH$平分$∠ EOD$,所以$∠ EOH = ∠ IOD$,
所以$∠ EHI = ∠ 4 + ∠ EOH$,
所以$∠ EIO + ∠ EHI = ∠ EIO + ∠ 4 + ∠ EOH = 180°$。

【拓展设问】
(5)如图5，若$AB// CD$，$EN$平分$∠ AEO$，$∠ AEO = 50°$，$∠ EON = 100°$，点$G$在直线$CD$上且在点$O$右侧，过点$G$在$CD$下方作$GP ⊥ CD$，垂足为$G$，将射线$GP$绕点$G$以每秒$6°$的速度沿逆时针方向旋转$180°$，旋转过程中，射线$GT$在$∠ DGP$内部且$∠ DGT = \dfrac{1}{2}∠ DGP$，设旋转时间为$t$秒，求射线$GT$与三角形$NEO$的任意一条边平行时，$t$的值。

(5)因为$EN$平分$∠ AEO, ∠ AEO = 50°$,
所以$∠ AEN = \frac{1}{2}∠ AEO = 25°$。
因为$AB// CD$,所以$∠ EOC = 180° - ∠ AEO = 130°$,
又因为$∠ EON = 100°$,所以$∠ CON = ∠ EOC - ∠ EON = 30°$。
分三种情况讨论:
如图3,当$GT// OE$时,
$∠ DGT = ∠ EOD = 180° - ∠ EOC = 50°$,所以$∠ DGP = 2∠ DGT = 100°$。
此时射线$GP$旋转$90° + 100° = 190°$,不满足题意。

如图4,当$GT// ON$时,设$GT$所在直线交$EN$于点$T_1$,
$∠ DGT = ∠ CGT_1 = ∠ CON = 30°$,所以$∠ DGP = 2∠ DGT = 60°$,
此时射线$GP$旋转$90° - 60° = 30°$,
所以$t = 30 ÷ 6 = 5$。

如图5,当$GT// NE$时,设$GT$交$AB$于点$T_2, ∠ GT_2A = ∠ AEN = 25°$,
因为$AB// CD$,所以$∠ DGT = ∠ GT_2A = 25°$,
所以$∠ DGP = 2∠ DGT = 50°$,
此时射线$GP$旋转$90° + 50° = 140°$,
所以$t = 140 ÷ 6 = \frac{70}{3}$。

综上,当射线$GT$与三角形$NEO$的任意一条边平行时,$t$的值为$5$或$\frac{70}{3}$。