12. (2025 南充中考)设 $ x_1 $、$ x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)(x-2)=m^2 $ 的两个根.
(1) 当 $ x_1=-1 $ 时,求 $ x_2 $ 和 $ m $ 的值.
(2) 求证: $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0 $.

12. (1) 把x₁=-1代入方程(x-1)(x-2)=m²，得m²=6.
∴m=±√6.
∴(x-1)(x-2)=6，即x²-3x-4=0.
∴(x-4)(x+1)=0.
∴x₁=-1，x₂=4. 即x₂的值为4，m的值为±√6
(2) 方程(x-1)(x-2)=m²可化为x²-3x+2-m²=0.
∵Δ=9-4(2-m²)=4m²+1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程(x-1)(x-2)=m²，即x²-3x+2-m²=0的两个根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=2-m².
∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=2-m²-3+1=-m².
∵m²≥0，
∴-m²≤0，即(x₁-1)(x₂-1)≤0

13. (2025 内江中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - px +1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1) 填空：$x_1 + x_2 =$，$x_1x_2 =$；
(2) 求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$和$x_1 + \frac{1}{x_1}$的值；
(3) 已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，求$p$的值.

13. (1) p 1
(2)
∵x₁+x₂=p，x₁x₂=1，
∴x₁=1/x₂，x₂=1/x₁.
∴1/x₁ + 1/x₂ =x₂+x₁=p，x₁+1/x₁=x₁+x₂=p
(3) 由根与系数的关系，得x₁+x₂=p，x₁x₂=1.
∵x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=2p+1，
∴p²-2=2p+1. 解得p=3或p=-1. 当p=3时，Δ=p²-4=9-4=5＞0；当p=-1时，Δ=p²-4=-3＜0.
∴p=3

14. (2025 遂宁中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1) 求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$,满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$,求$m$的值.

14. (1) x²-(m+2)x+m-1=0. 这里，a=1，b=-(m+2)，c=m-1，
∴Δ=b²-4ac=[-(m+2)]²-4×1×(m-1)=m²+4m+4-4m+4=m²+8＞0.
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根
(2) 由根与系数的关系，得x₁+x₂=m+2，x₁x₂=m-1.
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=(x₁+x₂)²-3x₁x₂=9，
∴(m+2)²-3(m-1)=9. 解得m=-2或m=1