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1. 有一组
2. 菱形、矩形、正方形都是特殊的
3. 菱形、矩形、正方形既是
4. 请你画图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。
邻边
相等的平行四边形叫作菱形；有一个角是直角
的平行四边形叫作矩形；有一组邻边
相等，并且有一个角是直角
的平行四边形叫作正方形。2. 菱形、矩形、正方形都是特殊的
平行四边形
，它们都具有一般平行四边形
的所有性质。3. 菱形、矩形、正方形既是
轴
对称图形，也是中心
对称图形。菱形有2
条对称轴，对称轴是每条对角线所在的直线
。矩形有2
条对称轴，对称轴是每组对边的垂直平分线
，正方形有4
条对称轴，对称轴是每条对角线所在的直线、每组对边的垂直平分线
。4. 请你画图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。
答案
1. 邻边 直角 邻边 一个角是直角
2. 平行四边形 一般平行四边形
3. 轴 中心 2 每条对角线所在的直线 2 每组对边的垂直平分线 4 每条对角线所在的直线、每组对边的垂直平分线
4.
解析
【分析】
本题主要考查特殊平行四边形的相关基础概念，解题时结合定义、性质及几类图形的从属关系逐一推导即可：
1. 回忆菱形、矩形、正方形的定义，三类图形均是在平行四边形的基础上增加限制条件得到，直接对应定义填写即可；
2. 结合图形从属关系可知，菱形、矩形、正方形都是平行四边形的特殊类型，因此具备平行四边形的所有通性；
3. 结合轴对称、中心对称图形的定义，分别判断三类图形的对称性，再对应数出对称轴数量、明确对称轴的位置即可；
4. 几类图形为包含关系：平行四边形包含矩形和菱形，矩形和菱形的公共重叠部分是正方形，对应所给图示呈现即可。
【解析】
1. 根据特殊平行四边形的定义：菱形的判定前提是平行四边形，附加条件为有一组邻边相等；矩形的判定前提是平行四边形，附加条件为有一个角是直角；正方形同时具备菱形和矩形的特征，因此在平行四边形的基础上，附加条件为有一组邻边相等且有一个角是直角。
2. 菱形、矩形、正方形都是在平行四边形的基础上增加约束条件得到的，因此都属于特殊的平行四边形，自然具有一般平行四边形的所有性质，例如对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等。
3. 结合对称的定义判断：三类图形绕对角线交点旋转180°都能与自身重合，因此都是中心对称图形；沿某条直线折叠后，直线两侧的部分都能完全重合，因此也都是轴对称图形。其中菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，共2条；矩形的对称轴是每组对边的垂直平分线，共2条；正方形同时具备菱形和矩形的对称轴，因此共有4条，分别是每条对角线所在的直线、每组对边的垂直平分线。
4. 几类图形的包含关系可通过图示直观呈现。
【答案】
1. 邻边 直角 邻边 一个角是直角
2. 平行四边形 一般平行四边形
3. 轴 中心 2 每条对角线所在的直线 2 每组对边的垂直平分线 4 每条对角线所在的直线、每组对边的垂直平分线
4.
【知识点】
特殊平行四边形的定义；特殊平行四边形的性质；特殊四边形的从属关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕特殊平行四边形的核心基础知识点展开，是后续学习特殊平行四边形的判定、几何证明与计算的基础，需要熟练掌握相关概念，理清几类图形的共性与区别。
【难度系数】
0.9
本题主要考查特殊平行四边形的相关基础概念，解题时结合定义、性质及几类图形的从属关系逐一推导即可：
1. 回忆菱形、矩形、正方形的定义，三类图形均是在平行四边形的基础上增加限制条件得到，直接对应定义填写即可；
2. 结合图形从属关系可知，菱形、矩形、正方形都是平行四边形的特殊类型，因此具备平行四边形的所有通性；
3. 结合轴对称、中心对称图形的定义，分别判断三类图形的对称性，再对应数出对称轴数量、明确对称轴的位置即可；
4. 几类图形为包含关系：平行四边形包含矩形和菱形，矩形和菱形的公共重叠部分是正方形，对应所给图示呈现即可。
【解析】
1. 根据特殊平行四边形的定义：菱形的判定前提是平行四边形，附加条件为有一组邻边相等；矩形的判定前提是平行四边形，附加条件为有一个角是直角；正方形同时具备菱形和矩形的特征，因此在平行四边形的基础上，附加条件为有一组邻边相等且有一个角是直角。
2. 菱形、矩形、正方形都是在平行四边形的基础上增加约束条件得到的，因此都属于特殊的平行四边形，自然具有一般平行四边形的所有性质，例如对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等。
3. 结合对称的定义判断：三类图形绕对角线交点旋转180°都能与自身重合，因此都是中心对称图形；沿某条直线折叠后，直线两侧的部分都能完全重合，因此也都是轴对称图形。其中菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，共2条；矩形的对称轴是每组对边的垂直平分线，共2条；正方形同时具备菱形和矩形的对称轴，因此共有4条，分别是每条对角线所在的直线、每组对边的垂直平分线。
4. 几类图形的包含关系可通过图示直观呈现。
【答案】
1. 邻边 直角 邻边 一个角是直角
2. 平行四边形 一般平行四边形
3. 轴 中心 2 每条对角线所在的直线 2 每组对边的垂直平分线 4 每条对角线所在的直线、每组对边的垂直平分线
4.
【知识点】
特殊平行四边形的定义；特殊平行四边形的性质；特殊四边形的从属关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕特殊平行四边形的核心基础知识点展开，是后续学习特殊平行四边形的判定、几何证明与计算的基础，需要熟练掌握相关概念，理清几类图形的共性与区别。
【难度系数】
0.9
1. 如图,在矩形ABCD中,∠A=∠C=90°,△BCD与△BC'D关于直线BD对称,BC=6,CD=3,BC'交AD于点E,则线段DE的长为(
A.3
B.$\frac{15}{4}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
B
)。A.3
B.$\frac{15}{4}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先结合折叠性质和矩形性质推导相等的角，进而得到相等的边，再通过设未知数，利用勾股定理列方程求解即可：
1. 折叠前后对应角相等，可得∠DBC=∠DBC'，矩形对边平行，内错角相等可得∠DBC=∠ADB，等量代换得∠DBC'=∠ADB，即可推出BE=DE；
2. 设DE的长为x，用含x的式子表示出AE和BE的长度，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程，解出x即为DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=6，AB=CD=3，AD//BC
∴∠DBC=∠ADB
∵△BCD与△BC'D关于直线BD对称
∴∠DBC=∠DBC'
∴∠DBC'=∠ADB，即∠EBD=∠EDB
∴BE=DE
设DE=x，则BE=x，AE=AD-DE=6-x
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$
代入数值：$3^2 + (6-x)^2 = x^2$
展开得：$9 + 36 - 12x + x^2 = x^2$
化简得：$12x=45$
解得$x=\frac{15}{4}$，即DE=$\frac{15}{4}$
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何中求线段长度的典型题型，通过角的等量关系推导出等腰三角形是解题的突破口，结合勾股定理列方程求解的方法在这类问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先结合折叠性质和矩形性质推导相等的角，进而得到相等的边，再通过设未知数，利用勾股定理列方程求解即可：
1. 折叠前后对应角相等，可得∠DBC=∠DBC'，矩形对边平行，内错角相等可得∠DBC=∠ADB，等量代换得∠DBC'=∠ADB，即可推出BE=DE；
2. 设DE的长为x，用含x的式子表示出AE和BE的长度，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程，解出x即为DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=6，AB=CD=3，AD//BC
∴∠DBC=∠ADB
∵△BCD与△BC'D关于直线BD对称
∴∠DBC=∠DBC'
∴∠DBC'=∠ADB，即∠EBD=∠EDB
∴BE=DE
设DE=x，则BE=x，AE=AD-DE=6-x
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$
代入数值：$3^2 + (6-x)^2 = x^2$
展开得：$9 + 36 - 12x + x^2 = x^2$
化简得：$12x=45$
解得$x=\frac{15}{4}$，即DE=$\frac{15}{4}$
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何中求线段长度的典型题型，通过角的等量关系推导出等腰三角形是解题的突破口，结合勾股定理列方程求解的方法在这类问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在菱形ABCD中，AB=AD，∠ABD=30°，则∠C=
120°
。答案
2. 120°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边相等、对角相等。已知∠ABD=30°，结合AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出△ABD中顶角∠BAD的度数，最后根据菱形对角相等的性质即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，∠C=∠BAD（菱形的四条边相等，对角相等）
∴△ABD为等腰三角形
∴∠ADB=∠ABD=30°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-30°-30°=120°
∴∠C=∠BAD=120°
【答案】
120°
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合菱形和等腰三角形的性质求解角度，解题时要熟练掌握特殊四边形和等腰三角形的相关性质，找准角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边相等、对角相等。已知∠ABD=30°，结合AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出△ABD中顶角∠BAD的度数，最后根据菱形对角相等的性质即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，∠C=∠BAD（菱形的四条边相等，对角相等）
∴△ABD为等腰三角形
∴∠ADB=∠ABD=30°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-30°-30°=120°
∴∠C=∠BAD=120°
【答案】
120°
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合菱形和等腰三角形的性质求解角度，解题时要熟练掌握特殊四边形和等腰三角形的相关性质，找准角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠D=45°,则菱形的面积为
（第3题）（第4题）
$50\sqrt{2}$
。（第3题）（第4题）答案
3. $50\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算菱形的面积，我们可以选用“底×高”的公式求解：第一步，根据菱形四条边相等的性质，确定菱形的边长都为10，可选任意一边作为底；第二步，过顶点向对边作高，结合已知的∠D=45°，利用特殊角的三角函数值求出高的长度；第三步，代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=10，
∴ AD=CD=AB=10。
过点A作AE⊥CD于点E，则∠AED=90°，
∵ ∠D=45°，
∴ 在Rt△AED中，AE=AD·sin45°=10×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$5\sqrt{2}$。
∴ 菱形ABCD的面积$S=CD·AE=10×5\sqrt{2}=50\sqrt{2}$。
【答案】
$50\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查菱形的基本性质与面积计算方法，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合45°角的特殊性质求出高，只要掌握相关基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算菱形的面积，我们可以选用“底×高”的公式求解：第一步，根据菱形四条边相等的性质，确定菱形的边长都为10，可选任意一边作为底；第二步，过顶点向对边作高，结合已知的∠D=45°，利用特殊角的三角函数值求出高的长度；第三步，代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=10，
∴ AD=CD=AB=10。
过点A作AE⊥CD于点E，则∠AED=90°，
∵ ∠D=45°，
∴ 在Rt△AED中，AE=AD·sin45°=10×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$5\sqrt{2}$。
∴ 菱形ABCD的面积$S=CD·AE=10×5\sqrt{2}=50\sqrt{2}$。
【答案】
$50\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查菱形的基本性质与面积计算方法，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合45°角的特殊性质求出高，只要掌握相关基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.如图,在正方形ABCD中,∠B=∠DAB=90°,AD=CD=4,P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
解题时先回忆正方形对角线的性质：正方形的对角线平分一组内角，因此对角线AC是∠DAB的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知PE是点P到AD边的距离，要求点P到AB边的距离，直接利用角平分线的性质即可得到两者相等，进而求出结果。
【解析】
过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PF的长度就是点P到直线AB的距离。
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AC平分∠DAB（正方形的对角线平分一组对角），
又
∵PE⊥AD，PF⊥AB，点P在AC上，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PF=PE，
∵PE=3，
∴PF=3，即点P到直线AB的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，主要考查正方形对角线的性质和角平分线性质的综合应用，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正方形对角线的性质：正方形的对角线平分一组内角，因此对角线AC是∠DAB的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知PE是点P到AD边的距离，要求点P到AB边的距离，直接利用角平分线的性质即可得到两者相等，进而求出结果。
【解析】
过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PF的长度就是点P到直线AB的距离。
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AC平分∠DAB（正方形的对角线平分一组对角），
又
∵PE⊥AD，PF⊥AB，点P在AC上，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PF=PE，
∵PE=3，
∴PF=3，即点P到直线AB的距离为3。
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，主要考查正方形对角线的性质和角平分线性质的综合应用，不需要复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图,在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°,点E,F分别在BC和CD上。若AB=3,BC=4,BE=1,AE⊥EF,则EF=
$\sqrt{10}$
。答案
5. $\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AE垂直EF，结合矩形的两个直角∠B和∠C，可通过“同角的余角相等”推导得到一组相等的锐角，进而证明△ABE与△ECF相似；再先计算线段EC的长度，用勾股定理求出AE的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出EF的长度。
【解析】
1. 计算EC的长度：
已知BC=4，BE=1，因此$EC=BC-BE=4-1=3$。
2. 推导等角，证明三角形相似：
∵$AE⊥EF$，
∴$∠ AEF=90°$，即$∠ AEB+∠ FEC=90°$。
又
∵矩形ABCD中$∠ B=90°$，
∴$∠ BAE+∠ AEB=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ BAE=∠ FEC$。
又
∵$∠ B=∠ C=90°$，
∴$△ ABE ∽ △ ECF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 用勾股定理计算AE：
在$Rt△ ABE$中，$AB=3$，$BE=1$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
4. 利用相似性质求EF：
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{EF}$，代入$AB=3$，$EC=3$，$AE=\sqrt{10}$，
可得$\frac{3}{3}=\frac{\sqrt{10}}{EF}$，解得$EF=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形相似，再结合勾股定理求解线段长度，对几何逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AE垂直EF，结合矩形的两个直角∠B和∠C，可通过“同角的余角相等”推导得到一组相等的锐角，进而证明△ABE与△ECF相似；再先计算线段EC的长度，用勾股定理求出AE的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出EF的长度。
【解析】
1. 计算EC的长度：
已知BC=4，BE=1，因此$EC=BC-BE=4-1=3$。
2. 推导等角，证明三角形相似：
∵$AE⊥EF$，
∴$∠ AEF=90°$，即$∠ AEB+∠ FEC=90°$。
又
∵矩形ABCD中$∠ B=90°$，
∴$∠ BAE+∠ AEB=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ BAE=∠ FEC$。
又
∵$∠ B=∠ C=90°$，
∴$△ ABE ∽ △ ECF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 用勾股定理计算AE：
在$Rt△ ABE$中，$AB=3$，$BE=1$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
4. 利用相似性质求EF：
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{EF}$，代入$AB=3$，$EC=3$，$AE=\sqrt{10}$，
可得$\frac{3}{3}=\frac{\sqrt{10}}{EF}$，解得$EF=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形相似，再结合勾股定理求解线段长度，对几何逻辑推理能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
