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因式分解的综合应用
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用
提公因式法
和公式法
。答案
提公因式法 公式法
解析
【分析】
解题时先回忆因式分解的核心常用方法，我们学过的因式分解基础方法主要有提公因式法和公式法两类。处理复杂因式分解问题时，通常遵循“先提公因式，再套用公式”的基本思路，部分题目在提取公因式后还需多次使用公式，或用完公式后仍可继续提取公因式，需要综合搭配使用两类方法才能将多项式分解彻底，由此可确定填空内容。
【解析】
因式分解的常规解题顺序为“一提（提公因式）、二套（套平方差/完全平方公式）、三查（检查是否分解彻底）”，对于复杂的因式分解问题，仅使用单一方法无法完成分解，需要综合运用提公因式法和公式法，多次交替操作才能得到最终结果，因此两个空依次填入提公因式法、公式法。
【答案】
提公因式法 公式法
【知识点】
1. 因式分解常用方法
2. 因式分解的步骤
【点评】
本题考查因式分解方法的综合应用，属于基础概念类题目，只要熟练掌握因式分解的基本操作顺序和常用方法就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆因式分解的核心常用方法，我们学过的因式分解基础方法主要有提公因式法和公式法两类。处理复杂因式分解问题时，通常遵循“先提公因式，再套用公式”的基本思路，部分题目在提取公因式后还需多次使用公式，或用完公式后仍可继续提取公因式，需要综合搭配使用两类方法才能将多项式分解彻底，由此可确定填空内容。
【解析】
因式分解的常规解题顺序为“一提（提公因式）、二套（套平方差/完全平方公式）、三查（检查是否分解彻底）”，对于复杂的因式分解问题，仅使用单一方法无法完成分解，需要综合运用提公因式法和公式法，多次交替操作才能得到最终结果，因此两个空依次填入提公因式法、公式法。
【答案】
提公因式法 公式法
【知识点】
1. 因式分解常用方法
2. 因式分解的步骤
【点评】
本题考查因式分解方法的综合应用，属于基础概念类题目，只要熟练掌握因式分解的基本操作顺序和常用方法就能快速作答。
【难度系数】
0.9
[典例]分解因式：
(1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$；
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$；
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$。
规律方法 多项式的形式多种多样，因此因式分解的方法也有很多种，一般可遵循下列步骤：
[举一反三]分解因式：
(1)$a^4-16$；
(2)$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$。
(1)$x^2(x-y)+2x(y-x)-(y-x)$；
(2)$(y^2-1)^2-6(y^2-1)+9$；
(3)$25a^2(x-y)+4b^2(y-x)$。
规律方法 多项式的形式多种多样，因此因式分解的方法也有很多种，一般可遵循下列步骤：
[举一反三]分解因式：
(1)$a^4-16$；
(2)$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$。
答案
[举一反三]解 (1)原式=$(a^2 + 4) · (a^2 - 4)=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$。
(2)原式=$(x^2 - 2x + 1)^2$
$=[(x - 1)^2]^2$
$=(x - 1)^4$。
(2)原式=$(x^2 - 2x + 1)^2$
$=[(x - 1)^2]^2$
$=(x - 1)^4$。
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三检查”的步骤：①先观察多项式是否有公因式，本题两个小题都无公因式，可直接进入下一步；②根据项数选公式：第(1)题是二项式，可判断符合平方差公式的特征，先套用平方差公式分解，第(2)题是三项式，将$x^2-2x$看作整体后符合完全平方公式的特征，先套用完全平方公式分解；③检查分解后的每个因式是否还能继续分解，若可以则要继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
(1) 观察$a^4-16$为二项式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，其中$m=a^2$，$n=4$：
原式$=(a^2 + 4)(a^2 - 4)$
此时$a^2-4$仍为二项式，可继续套用平方差公式分解，其中$m=a$，$n=2$：
原式$=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$
(2) 观察$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$为三项式，将$x^2-2x$看作整体，符合完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$的特征，其中$m=x^2-2x$，$n=1$：
原式$=(x^2 - 2x + 1)^2$
此时$x^2-2x+1$仍为三项式，可继续套用完全平方公式分解为$(x-1)^2$：
原式$=[(x - 1)^2]^2=(x - 1)^4$
【答案】
(1)$(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$
(2)$(x - 1)^4$
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解；因式分解的步骤
【点评】
解题时要注意整体思想的运用，将重复出现的多项式看作整体套用公式可简化计算，同时因式分解必须要分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
解决因式分解类题目遵循“一提二套三检查”的步骤：①先观察多项式是否有公因式，本题两个小题都无公因式，可直接进入下一步；②根据项数选公式：第(1)题是二项式，可判断符合平方差公式的特征，先套用平方差公式分解，第(2)题是三项式，将$x^2-2x$看作整体后符合完全平方公式的特征，先套用完全平方公式分解；③检查分解后的每个因式是否还能继续分解，若可以则要继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
(1) 观察$a^4-16$为二项式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的特征，其中$m=a^2$，$n=4$：
原式$=(a^2 + 4)(a^2 - 4)$
此时$a^2-4$仍为二项式，可继续套用平方差公式分解，其中$m=a$，$n=2$：
原式$=(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$
(2) 观察$(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1$为三项式，将$x^2-2x$看作整体，符合完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$的特征，其中$m=x^2-2x$，$n=1$：
原式$=(x^2 - 2x + 1)^2$
此时$x^2-2x+1$仍为三项式，可继续套用完全平方公式分解为$(x-1)^2$：
原式$=[(x - 1)^2]^2=(x - 1)^4$
【答案】
(1)$(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$
(2)$(x - 1)^4$
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解；因式分解的步骤
【点评】
解题时要注意整体思想的运用，将重复出现的多项式看作整体套用公式可简化计算，同时因式分解必须要分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
