【例1】一座抛物线形拱桥的横截面如图所示，水面宽度$AB=40\ \mathrm{m}$，水面离拱桥的最大高度$CD=16\ \mathrm{m}$，按图中方式建立平面直角坐标系.
(1)求出该抛物线对应的函数解析式.
(2)现有一艘宽$21\ \mathrm{m}$，高出水面$12\ \mathrm{m}$的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥.
解:
【规律方法】
解决抛物线形建筑类问题的策略
(1)根据题意，建立恰当的平面直角坐标系，设出抛物线对应的函数解析式.
(2)准确将线段的长度转化为点的坐标，将点的坐标代入函数解析式，求出二次函数的解析式.
(3)应用所求出的函数解析式及其性质解决问题.

(1) $y=-\dfrac{1}{25}x^2+16$

变式训练
1.某隧道截面图如图所示，其轮廓可近似看作抛物线的一部分.若隧道底部宽12 m，高8 m，按照图中的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m、高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.

1. (1) $y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$.
(2) 能安全通过.理由如下：
如图所示.
由题意，得点A的横坐标为$\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$.
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，
得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$.
因为$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，所以能安全通过.

【例2】如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m高的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系$y=at^2 +5t +c$.已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.

(1)当足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系$x=10t$,已知球门的高度为2.44 m(球门框厚度忽略不计),如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?
|思路分析|
思考1:由题意可得到抛物线上哪两个点的坐标?
思考2:要求足球飞行多久时,足球离地面最高及最大高度,需求出抛物线的.
思考3:判断足球能否射入球门的依据是什么?
解:
【规律方法】
在与运动有关的抛物线形问题中,解决问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系,求出运动路径所在的抛物线对应的函数解析式,用二次函数的图象及性质解决问题.

解：
(1) 由题意可知，函数$y=at^2+5t+c$的图象经过点$(0, 0.5)$和$(0.8, 3.5)$。
把$(0, 0.5)$代入$y=at^2+5t+c$，得$c=0.5$。
把$(0.8, 3.5)$、$c=0.5$代入$y=at^2+5t+c$，得：
$3.5 = 0.8^2 a + 5×0.8 + 0.5$
解得$a=-\frac{25}{16}$。
因此抛物线的解析式为：
$y=-\frac{25}{16}t^2 +5t +\frac{1}{2}$
将解析式配方变形：
$y=-\frac{25}{16}(t-\frac{8}{5})^2 + \frac{9}{2}$
因为$a=-\frac{25}{16}＜0$，所以当$t=\frac{8}{5}=1.6\ \mathrm{s}$时，$y$有最大值，最大值为$\frac{9}{2}=4.5\ \mathrm{m}$。
即当足球飞行1.6 s时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m。
(2) 把$x=28$代入$x=10t$，得$t=2.8$。
将$t=2.8$代入$y=-\frac{25}{16}t^2 +5t +\frac{1}{2}$，得：
$y=-\frac{25}{16}×2.8^2 +5×2.8 +0.5 = 2.25$
因为$2.25 ＜ 2.44$，所以足球飞行到球门处时的高度小于球门高度，他能将球直接射入球门。