【例1】有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是8.把十位上的数字与个位上的数字调换位置后所得的新两位数乘原来的两位数得1 855，求原来的两位数.
解：
【规律方法】
数字问题不算难，巧妙设元是关键
正确而巧妙地设出未知数是解决数字问题的关键，一般采用间接设元法.
(1)若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a$，$b$，则这个两位数可表示为$10a + b$，三位数等以此类推.
(2)三个连续整数的表示：一般设中间一个数是$x$，则其余两个数分别为$x - 1$，$x + 1$.
(3)三个连续偶数或三个连续奇数的表示方法：设中间偶(奇)数为$x$，则三个连续偶(奇)数可表示为$x - 2$，$x$，$x + 2$.
| 变式训练|

原来的两位数是 35 或 53.

变式训练
1. 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到的新的两位数比这两个数字的积大38，求原来的两位数.

解：设原来的两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ 14 - x $。
根据题意列方程得：
$10(14 - x) + x = x(14 - x) + 38$
整理得：
$x^2 - 23x + 102 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 17) = 0$
解得：
$x_1 = 6$，$x_2 = 17$
由于十位数字是1到9的正整数，$ x=17 $不符合题意，舍去。
则个位数字为$ 14 - 6 = 8 $，原来的两位数为$ 10×6 + 8 = 68 $。
答：原来的两位数是68。

突破点二 几何问题
【例2】如图，某校准备在一面旧墙旁围一个矩形花圃，已知旧墙可用的最大长度为13 m，篱笆的长为24 m，设垂直于旧墙的边AB的长为x m.

(1)若围成的花圃面积为70 m²，求BC的长.
(2)若计划围成的花圃面积为78 m²，请你判断能否围成这样的花圃.如果能，求出BC的长；如果不能，请说明理由.
|思路分析|
思考1:已知垂直于旧墙的边AB的长为x m，则BC的长为m.
思考2:由题意可列出一元二次方程，然后利用判断根的情况，进而得出结论.
解:
【规律方法】
解决几何图形问题的常见方法
(1)对于常规的几何图形，如直角三角形、矩形、菱形、正方形等，涉及边长、面积等问题时，直接使用相应的公式列出一元二次方程求解即可.
(2)对于特殊的几何图形，通过平移将图形进行转化是常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据规则图形的对应公式列一元二次方程求解.

解：
由题意，垂直于旧墙的边AB长为$x$ m，则平行于旧墙的边BC长为$(24-2x)$ m。
结合旧墙可用最大长度为13 m，可得$0＜24-2x≤13$，即$\frac{11}{2}≤ x ＜12$。
(1) 由花圃面积为$70\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(24-2x)=70$
整理得：$x^2 -12x +35=0$
解得$x_1=5$，$x_2=7$。
当$x=5$时，$BC=24-2×5=14＞13$，超出旧墙最大可用长度，不符合题意，舍去；
当$x=7$时，$BC=24-2×7=10≤13$，符合题意。
答：BC的长为10 m。
(2) 不能围成这样的花圃，理由如下：
假设能围成面积为$78\ \mathrm{m}^2$的花圃，列方程：
$x(24-2x)=78$
整理得：$x^2 -12x +39=0$
计算一元二次方程根的判别式：
$\Delta=(-12)^2 -4×1×39=144-156=-12＜0$
该方程无实数根，因此不存在满足条件的边长，不能围成面积为$78\ \mathrm{m}^2$的花圃。