2. 综合与实践:探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究.

(1)【初步探究】如图①,已知 $Rt△ ABC$, $∠ ABC=90°$, 将 $△ CBA$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90°$得 $△ CDE$, 连接 $BE$ 交 $CD$ 于点 $P$, 交 $CA$ 于点 $Q$. 求证:$\frac{EP}{BP}=\frac{AB}{BC}$.
(2)【类比探究】如图②,已知正方形 $CBAD$, 将正方形 $CBAD$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $45°$得正方形 $CGFE$, 连接 $BE$ 交 $CD$ 于点 $P$, 直接写出 $\frac{EP}{BP}$ 的值.

2.(1) 证明:$\because △ CBA$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90°$得$△ CDE,\therefore △ CBA≌△ CDE,∠ BCD=90°,\therefore AB=DE,∠ CDE=∠ ABC=90°$.$\because ∠ CDE=∠ BCD=90°,\therefore DE// BC,\therefore △ EPD∽△ BPC,\therefore \frac{EP}{BP}=\frac{DE}{CB}$.又$\because DE=AB,\therefore \frac{EP}{BP}=\frac{AB}{BC}$.
(2) 解:如图所示,过点 $E$ 作 $EM⊥ CD$ 于点 $M$. 设正方形的边长为 $a$,则 $CB=CD=a$,旋转 $45°$ 后 $CE=CB=a$,$∠ ECD=45°,\therefore EM=MC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$. 易得 $EM// BC$,$\therefore △ EPM∽△ BPC,\therefore \frac{EP}{BP}=\frac{EM}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3.(2025·新疆中考)如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，$CF ⊥ AB$于点F，$∠ FCE=2∠ A$，$BD // CE$交CF于点G，交AC于点D.
(1)求证:$CE$是$\odot O$的切线.
(2)若 $\tan∠ BCE=\frac{1}{2}$，$BE=1$，求$DG$的长.

3.(1) 证明:如图,连接 $OC$. $\because CF⊥ AB$ 于点 $F$,$\therefore ∠ CFO=90°$.$\because OC=OA,\therefore ∠ COF=2∠ A$.$\because ∠ FCE=2∠ A,\therefore ∠ COF=∠ FCE$.$\because ∠ COF+∠ OCF=90°,\therefore ∠ FCE+∠ OCF=90°$,即$∠ OCE=90°$. 又$\because OC$ 为$\odot O$ 的半径,$\therefore CE$ 是$\odot O$ 的切线.
(2) 解:$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ACB=90°$. 作 $DH⊥ AB$ 于点 $H$, 如图. $\because ∠ ACB=∠ OCE,\therefore ∠ ACO=∠ BCE,\therefore ∠ A=∠ ACO=∠ BCE$.$\because BD// CE$,$\therefore ∠ BCE=∠ DBC$,$\therefore \tan∠ BCE=\tan A=\tan∠ DBC=\frac{1}{2}$. 设 $CD=a$,$BC=2a$,$AC=4a$,$AD=3a$. 由勾股定理可得 $AB=2\sqrt{5}a$.$\because BD// CE$,$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BE}$,即$\frac{3a}{a}=\frac{2\sqrt{5}a}{1}$,解得 $a=\frac{3\sqrt{5}}{10}$,故 $AB=3$,$AD=\frac{9\sqrt{5}}{10}$,$BC=\frac{3\sqrt{5}}{5}$. 又$\because CF=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4a· 2a}{2\sqrt{5}a}=\frac{4\sqrt{5}a}{5}=\frac{6}{5}$,$\therefore BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2-(\frac{6}{5})^2}=\frac{3}{5}$.$\because \tan A=\frac{1}{2}$,$\therefore \cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AHD$ 中,$AH=AD·\cos A=\frac{9\sqrt{5}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{9}{5}$,故 $BH=AB-AH=3-\frac{9}{5}=\frac{6}{5}$.$\because BF=\frac{1}{2}BH$,$CF// DH$,$\therefore DG=\frac{1}{2}DB$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$DB=\frac{CD}{\sin∠ DBC}=\frac{CD}{\sin A}=\frac{3\sqrt{5}}{10}·\sqrt{5}=\frac{3}{2}$,$\therefore DG=\frac{3}{4}$.