1.(2023·新疆中考)某数学兴趣小组利用无人机测量某烽燧的高度,如图,无人机飞至距地面高度31.5米的A处,测得烽燧BC的顶部C处的俯角为$50°$,测得烽燧BC的底部B处的俯角为$65°$,试根据提供的数据计算烽燧BC的高度.(参考数据:$\sin50°\approx0.8,\cos50°\approx0.6,\tan50°\approx1.2,\sin65°\approx0.9,\cos65°\approx0.4,\tan65°\approx2.1$)

1. 解:如图,过点 A 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 E,则 BE=AD=31.5 米. 在 Rt△ABE 中,BE=31.5 米,∠AEB=90°,∠BAE=65°,tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$,
∴ AE ≈ $\frac{31.5}{2.1}$ = 15(米). 在 Rt△ACE 中,∠CAE = 50°, tan ∠CAE = $\frac{CE}{AE}$,
∴ CE = AE · tan∠CAE = 15 × tan 50° ≈ 15 × 1.2 = 18(米),
∴BC=BE-CE=31.5-18=13.5(米).答:烽燧 BC 的高度约为 13.5 米.

2. (2025·新疆中考)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动,撰写实验报告如下.
| 实验主题 | 测量校徽的高度 | 工具准备 | 测角仪、卷尺等 |
| --- | --- | --- | --- |
| 实验过程 | μlticolumn{3}{l}{(1)站在与教学楼底部$A$同一水平地面的$B$处,由于大树$CD$的遮挡,视线恰能看到悬挂的校徽顶部$E$处.(此时$F,C,E$三点在同一直线上)
(2)测量$A,D$两点和$B,D$两点间的距离.
(3)用测角仪测得从眼睛$F$处看校徽顶部$E$处的仰角$∠ EFG$.
(4)向后退至点$H$处时,视线恰能看到校徽底部$M$处(此时$N,C,M$三点在同一直线上),测量$B,H$两点间的距离.
(5)用测角仪测得从眼睛$N$处看校徽底部$M$处的仰角$∠ MNG$.} |
| 实验图示 | μlticolumn{3}{l}{} |
| 测量数据 | μlticolumn{3}{l}{$AD=4\ \mathrm{m}$ $BD=10\ \mathrm{m}$
$BH=13.5\ \mathrm{m}$ $∠ EFG=43°$
$∠ MNG=21.8°$} |
| 备注 | μlticolumn{3}{l}{图上所有点均在同一平面内.
$AE,CD,FB,NH$ 均与地面垂直.
(参考数据:$\sin21.8°\approx0.37,\cos21.8°\approx0.93,\tan21.8°\approx0.40,\sin43°\approx0.68,\cos43°\approx0.73,\tan43°\approx0.93$)} |
请你根据以上信息,计算校徽的高度$EM$的值.

2. 解:如图,延长 BF 交 MN 于点 P.
∵∠MNG=21.8°,NF=BH=13.5 m,
∴PF=NF · tan 21.8°≈13.5×0.40=5.4(m).
∵BP//AE,
∴$\frac{PF}{EM}=\frac{BD}{AD}$,
∴$\frac{5.4}{EM}=\frac{10}{4}$,
∴EM=2.16 m.答:校徽的高度约为2.16 m.